题目 2307: 蓝桥杯2019年第十届省赛真题-灵能传输

题目

在游戏《星际争霸 II》中，高阶圣堂武士作为星灵的重要 AOE 单位，在游戏的中后期发挥着重要的作用，其技能”灵能风暴“可以消耗大量的灵能对一片区域内的敌军造成毁灭性的伤害。经常用于对抗人类的生化部队和虫族的刺蛇飞龙等低血量单位。

你控制着 n 名高阶圣堂武士，方便起见标为 1, 2, · · · , n。每名高阶圣堂武士需要一定的灵能来战斗，每个人有一个灵能值 ai 表示其拥有的灵能的多少(ai 非负表示这名高阶圣堂武士比在最佳状态下多余了 ai 点灵能，ai 为负则表示这名高阶圣堂武士还需要 −ai 点灵能才能到达最佳战斗状态)。现在系统赋予了你的高阶圣堂武士一个能力，传递灵能，每次你可以选择一个 i ∈ [2, n − 1]，若 ai ≥ 0 则其两旁的高阶圣堂武士，也就是 i − 1、i + 1 这两名高阶圣堂武士会从 i 这名高阶圣堂武士这里各抽取 ai 点灵能;若 ai < 0 则其两旁的高阶圣堂武士，也就是 i − 1, i + 1 这两名高阶圣堂武士会给 i 这名高阶圣堂武士 −ai 点灵能。形式化来讲就是 ai−1+ = ai, ai+1+ = ai, ai− = 2ai。

灵能是非常高效的作战工具，同时也非常危险且不稳定，一位高阶圣堂武士拥有的灵能过多或者过少都不好，定义一组高阶圣堂武士的不稳定度为
maxni=1∣ai∣{max}_{n}^{i=1}|a_i|maxni=1∣ai∣ ，请你通过不限次数的传递灵能操作使得你控制的这一组高阶圣堂武 i=1士的不稳定度最小。

输入
本题包含多组询问。输入的第一行包含一个正整数 T 表示询问组数。接下来依次输入每一组询问。
每组询问的第一行包含一个正整数n，表示高阶圣堂武士的数量。接下来一行包含n个数a1,a2,··· ,an。
(对于所有评测用例，T ≤ 3，3 ≤ n ≤ 300000，|ai| ≤ 109。)

输出
输出 T 行。每行一个整数依次表示每组询问的答案

样例输入

样例输出

3
0
3

解题思路

本题可以DFS列举，但时间肯定会超限。于是，看到一维数列，想到了采用前缀和，对于给定的数列a₁—a_n，其前缀和可以表示为s[1]-s[0]、s[2]-s[1]…s[n]-s[n-1]（其中s[0]为0），这样，题目要求的maxni=1∣ai∣{max}_{n}^{i=1}|a_i|maxni=1∣ai∣ 就转化为了求前缀和相邻两项之差的最大绝对值的最小值。

再来看题目中规定的变换：a_i−1+ = a_i, a_i+1+ = a_i, a_i−=2a_i，反映到前缀和即为：s_i-1+=a_i,s_i-=a_i，因此，如果发生题中所述的变换，即为将原来的s_i-1和s_i的值进行交换（使用前缀和之差的好处得以显现，交换操作被简化），而交换并不影响s_i+1的值。

最后，要求“前缀和相邻两项之差的最大绝对值的最小值”：由于s[0]始终为0不可更改，s[n]又是一个定值，不可交换（因为a[n-1]是最后一个“可选择的高阶圣堂武士”），故本题转变为一个“s[0]、s[n]为定值，s[1]-s[n-1]为已知，通过交换s[1]-s[n-1]，使得数组s相邻两个数之间差的绝对值最小的问题”。

显然，如果是一个数列a，所有元素都可以自由交换，则升序或者降序排列可使得相邻元素之差绝对值最小；借鉴此思路，我们假设s[0] = min(s[0],s[n])，s[n] = max(s[0],s[n])，那么在s数列的s[0]、s[n]同样可以视为升序数列中的两个点，但原点和终点的位置在数列中间某处，s中的其余数值按照升序排列放入其中，如下图所示：

但我们会发现，原点和终点之间的差值一定会很大，这显然不符合我们要求，所以想到“交叉放置”升序数列中的s[i]（i!=0且i!=n）（没有数学推理）。比如，n=9, s[10] = {0,1,-3,2,-6,-1,5,8,-4,4}，由于s[0]<s[n]，因此选择升序排列，排列后得到{-6,-4,-3,-1,0,1,2,4,5,8}。为了便于直观感受，我画出了最终调换后的数组，如下图所示：

根据实际给定数据的不同，需要注意s[0]和s[n]的大小关系，当前者大于后者时，对s进行降序排列；反之，升序排列。还需要注意最后可能不一定能“跳回”s[n]，因此，若恰好无法跳回，注意补充给s[n]赋值。

（参考视频：https://www.bilibili.com/video/BV1Mb411t7M1?share_source=copy_web，感谢分享思路！）

易错点

Lmax函数中，“跳着取”s[i]的值的下标需要注意，以及跳出循环的条件需要注意；
求出的前缀和可能很大，因此需要以long int来存储，相应的，qsort当中的cmp函数也需要重写，不可以将long int类型直接相减的值作为返回值，否则将排序错误。

代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int cmp_up(const void *a, const void *b){long int c = *(long int *)a;long int d = *(long int *)b;if (c>d)//升序return 1;elsereturn -1;
}int cmp_d(const void *a, const void *b){long int c = *(long int *)a;long int d = *(long int *)b;if (c<d)//降序return 1;elsereturn -1;
}long int int_abs(long int a){//返回long int类型的绝对值return (a>=0)?a:-a;
}long int Lmax(int n, long int s[],int sub_s0, int sub_sn){int i,k=1;long int max=0,temp=0;long int a[n+1];a[0] = 0;//避免0是最小数，a[0]未赋值的情况a[n] = s[sub_sn];//printf("%d %d",sub_s0,sub_sn);for (i=sub_s0-2;i>=0;i-=2)//从s0到s_min/s_max{a[k++] = s[i];if (i<=1)break;}for (i = (i==0)?1:0;i<sub_s0;i+=2)//从s_min到s_0{a[k++] = s[i];if ((i+2)>=sub_s0)break;}for (i = sub_s0+1;i<sub_sn;i++)//中间部分a[k++] = s[i];for (i = sub_sn+1;i<=n;i+=2)//从sn后面的第一个到末尾{a[k++] = s[i];if((i+2)>n)break;}for (i = (i==n)?(n-1):n;i>=sub_sn;i-=2)//从smax回到sn{a[k++] = s[i];if ((i-2)<sub_sn)break;}for (i=1;i<=n;i++)//遍历查找最大值{temp = int_abs(a[i]-a[i-1]);//printf("%ld",temp);if (temp>max)max = temp;}return max;
}int main()
{int T,i,n,j,sub_s0,sub_sn;long int sn;scanf("%d",&T);for (i=0;i<T;i++){scanf("%d",&n);long int a[n+1],s[n+1];//累加和可能是long intsub_s0=-1;sub_sn=-1;s[0] = 0;//为了便于求第一项前缀和for (j=1;j<=n;j++){scanf("%ld",&a[j]);s[j] = s[j-1]+a[j];//求前缀和}sn = s[n];//记录下sn的值，便于之后查找if (sn>=0)//如果sn>s0，那么升序排列qsort(s,n+1,sizeof(long int),cmp_up);else//反之，降序排列qsort(s,n+1,sizeof(long int),cmp_d);for (j=0;j<=n;j++)//sub_sn>sub_s0{if (sub_sn==-1 && s[j]==sn)sub_sn = j;else if (sub_s0==-1 && s[j]==0)sub_s0 = j;if (sub_s0>-1 && sub_sn>-1)//找到了下标break;}printf("%ld\n",Lmax(n,s,sub_s0,sub_sn));}return 0;
}

错误代码

以下代码是错误代码（43分），主要问题是求前缀和的数列没有用long int类型，且Lmax函数中的“跳着取”的边界条件错误。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int cmp_up(const void *a, const void *b){return *(int *)a - *(int *)b;//升序
}int cmp_d(const void *a, const void *b){return *(int *)b - *(int *)a;//降序
}int int_abs(int a){return (a>=0)?a:-a;
}int Lmax(int n, int s[],int sub_s0, int sub_sn){int i,k=1,max=0,temp=0;int a[n+1];a[0] = 0;//避免0是最小数，a[0]未赋值的情况for (i=sub_s0-2;i>1;i-=2)//从s0到s_min/s_maxa[k++] = s[i];for (i = (i==0)?1:0;i<(sub_s0-2);i+=2)//从s_min到s_0a[k++] = s[i];for (i = sub_s0+1;i<sub_sn;i++)//中间部分a[k++] = s[i];for (i = sub_sn+1;i<=(n-2);i+=2)//从sn后面的第一个到末尾a[k++] = s[i];for (i = (i==n)?(n-1):n;i>=(sub_sn+2);i-=2)a[k++] = s[i];a[n] = s[sub_sn];for (i=1;i<=n;i++){temp = int_abs(a[i]-a[i-1]);if (temp>max)max = temp;}return max;
}int main()
{int T,i,n,j,sub_s0,sub_sn;int sn;scanf("%d",&T);for (i=0;i<T;i++){scanf("%d",&n);int a[n+1],s[n+1];sub_s0=-1;sub_sn=-1;s[0] = 0;//为了便于求第一项前缀和for (j=1;j<=n;j++){scanf("%d",&a[j]);s[j] = s[j-1]+a[j];//求前缀和}sn = s[n];//记录下sn的值，便于之后查找if (sn>0)qsort(s,n+1,sizeof(int),cmp_up);elseqsort(s,n+1,sizeof(int),cmp_d);for (j=0;j<=n;j++)//sub_sn>sub_s0{if (sub_sn==-1 && s[j]==sn)sub_sn = j;else if (sub_s0==-1 && s[j]==0)sub_s0 = j;if (sub_s0>-1 && sub_sn>-1)//找到了下标break;}printf("%d\n",Lmax(n,s,sub_s0,sub_sn));}return 0;
}