Floyd-Warshall算法详解(转)
Floyd-Warshall算法,简称Floyd算法,用于求解任意两点间的最短距离,时间复杂度为O(n^3)。我们平时所见的Floyd算法的一般形式如下:
2 int i,j,k;
3 for (k = 1 ;k <= n;k ++ )
4 for (i = 1 ;i <= n;i ++ )
5 for (j = 1 ;j <= n;j ++ )
6 if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j])
7 dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
8 }
注意下第6行这个地方,如果dist[i][k]或者dist[k][j]不存在,程序中用一个很大的数代替。最好写成if(dist[i][k]!=INF && dist[k][j]!=INF && dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j]),从而防止溢出所造成的错误。
上面这个形式的算法其实是Floyd算法的精简版,而真正的Floyd算法是一种基于DP(Dynamic Programming)的最短路径算法。
设图G中n 个顶点的编号为1到n。令c [i, j, k]表示从i 到j 的最短路径的长度,其中k 表示该路径中的最大顶点,也就是说c[i,j,k]这条最短路径所通过的中间顶点最大不超过k。因此,如果G中包含边<i, j>,则c[i, j, 0] =边<i, j> 的长度;若i= j ,则c[i,j,0]=0;如果G中不包含边<i, j>,则c (i, j, 0)= +∞。c[i, j, n] 则是从i 到j 的最短路径的长度。
对于任意的k>0,通过分析可以得到:中间顶点不超过k 的i 到j 的最短路径有两种可能:该路径含或不含中间顶点k。若不含,则该路径长度应为c[i, j, k-1],否则长度为 c[i, k, k-1] +c [k, j, k-1]。c[i, j, k]可取两者中的最小值。
状态转移方程:c[i, j, k]=min{c[i, j, k-1], c [i, k, k-1]+c [k, j, k-1]},k>0。
这样,问题便具有了最优子结构性质,可以用动态规划方法来求解。
为了进一步理解,观察上面这个有向图:若k=0, 1, 2, 3,则c[1,3,k]= +∞;c[1,3,4]= 28;若k = 5, 6, 7,则c [1,3,k] = 10;若k=8, 9, 10,则c[1,3,k] = 9。因此1到3的最短路径长度为9。
下面通过程序来分析这一DP过程,对应上面给出的有向图:
2 using namespace std;
3
4 const int INF = 100000 ;
5 int n = 10 ,map[ 11 ][ 11 ],dist[ 11 ][ 11 ][ 11 ];
6 void init(){
7 int i,j;
8 for (i = 1 ;i <= n;i ++ )
9 for (j = 1 ;j <= n;j ++ )
10 map[i][j] = (i == j) ? 0 :INF;
11 map[ 1 ][ 2 ] = 2 ,map[ 1 ][ 4 ] = 20 ,map[ 2 ][ 5 ] = 1 ;
12 map[ 3 ][ 1 ] = 3 ,map[ 4 ][ 3 ] = 8 ,map[ 4 ][ 6 ] = 6 ;
13 map[ 4 ][ 7 ] = 4 ,map[ 5 ][ 3 ] = 7 ,map[ 5 ][ 8 ] = 3 ;
14 map[ 6 ][ 3 ] = 1 ,map[ 7 ][ 8 ] = 1 ,map[ 8 ][ 6 ] = 2 ;
15 map[ 8 ][ 10 ] = 2 ,map[ 9 ][ 7 ] = 2 ,map[ 10 ][ 9 ] = 1 ;
16 }
17 void floyd_dp(){
18 int i,j,k;
19 for (i = 1 ;i <= n;i ++ )
20 for (j = 1 ;j <= n;j ++ )
21 dist[i][j][ 0 ] = map[i][j];
22 for (k = 1 ;k <= n;k ++ )
23 for (i = 1 ;i <= n;i ++ )
24 for (j = 1 ;j <= n;j ++ ){
25 dist[i][j][k] = dist[i][j][k - 1 ];
26 if (dist[i][k][k - 1 ] + dist[k][j][k - 1 ] < dist[i][j][k])
27 dist[i][j][k] = dist[i][k][k - 1 ] + dist[k][j][k - 1 ];
28 }
29 }
30 int main(){
31 int k,u,v;
32 init();
33 floyd_dp();
34 while (cin >> u >> v,u || v){
35 for (k = 0 ;k <= n;k ++ ){
36 if (dist[u][v][k] == INF) cout << " +∞ " << endl;
37 else cout << dist[u][v][k] << endl;
38 }
39 }
40 return 0 ;
41 }
输入 1 3
输出 +∞
+∞
+∞
+∞
28
10
10
10
9
9
9
Floyd-Warshall算法不仅能求出任意2点间的最短路径,还可以保存最短路径上经过的节点。下面用精简版的Floyd算法实现这一过程,程序中的图依然对应上面的有向图。
2 using namespace std;
3
4 const int INF = 100000 ;
5 int n = 10 ,path[ 11 ][ 11 ],dist[ 11 ][ 11 ],map[ 11 ][ 11 ];
6 void init(){
7 int i,j;
8 for (i = 1 ;i <= n;i ++ )
9 for (j = 1 ;j <= n;j ++ )
10 map[i][j] = (i == j) ? 0 :INF;
11 map[ 1 ][ 2 ] = 2 ,map[ 1 ][ 4 ] = 20 ,map[ 2 ][ 5 ] = 1 ;
12 map[ 3 ][ 1 ] = 3 ,map[ 4 ][ 3 ] = 8 ,map[ 4 ][ 6 ] = 6 ;
13 map[ 4 ][ 7 ] = 4 ,map[ 5 ][ 3 ] = 7 ,map[ 5 ][ 8 ] = 3 ;
14 map[ 6 ][ 3 ] = 1 ,map[ 7 ][ 8 ] = 1 ,map[ 8 ][ 6 ] = 2 ;
15 map[ 8 ][ 10 ] = 2 ,map[ 9 ][ 7 ] = 2 ,map[ 10 ][ 9 ] = 1 ;
16 }
17 void floyd(){
18 int i,j,k;
19 for (i = 1 ;i <= n;i ++ )
20 for (j = 1 ;j <= n;j ++ )
21 dist[i][j] = map[i][j],path[i][j] = 0 ;
22 for (k = 1 ;k <= n;k ++ )
23 for (i = 1 ;i <= n;i ++ )
24 for (j = 1 ;j <= n;j ++ )
25 if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j])
26 dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j],path[i][j] = k;
27 }
28 void output( int i, int j){
29 if (i == j) return ;
30 if (path[i][j] == 0 ) cout << j << ' ' ;
31 else {
32 output(i,path[i][j]);
33 output(path[i][j],j);
34 }
35 }
36 int main(){
37 int u,v;
38 init();
39 floyd();
40 while (cin >> u >> v,u || v){
41 if (dist[u][v] == INF) cout << " No path " << endl;
42 else {
43 cout << u << ' ' ;
44 output(u,v);
45 cout << endl;
46 }
47 }
48 return 0 ;
49 }
输入 1 3
输出 1 2 5 8 6 3
floyd算法
弗洛伊德(Floyd)算法过程:
1、用D[v][w]记录每一对顶点的最短距离。
2、依次扫描每一个点,并以其为基点再遍历所有每一对顶点D[][]的值,看看是否可用过该基点让这对顶点间的距离更小。
算法理解:
最短距离有三种情况:
1、两点的直达距离最短。(如下图<v,x>)
2、两点间只通过一个中间点而距离最短。(图<v,u>)
3、两点间用通过两各以上的顶点而距离最短。(图<v,w>)
对于第一种情况:在初始化的时候就已经找出来了且以后也不会更改到。
对于第二种情况:弗洛伊德算法的基本操作就是对于每一对顶点,遍历所有其它顶点,看看可否通过这一个顶点让这对顶点距离更短,也就是遍历了图中所有的三角形(算法中对同一个三角形扫描了九次,原则上只用扫描三次即可,但要加入判断,效率更低)。
对于第三种情况:如下图的五边形,可先找一点(比如x,使<v,u>=2),就变成了四边形问题,再找一点(比如y,使<u,w>=2),可变成三角形问题了(v,u,w),也就变成第二种情况了,由此对于n边形也可以一步步转化成四边形三角形问题。(这里面不用担心哪个点要先找哪个点要后找,因为找了任一个点都可以使其变成(n-1)边形的问题)。
floyd的核心代码:
{
for (i = 0 ;i < g.vexnum;i ++ )
{
for (j = 0 ;j < g.vexnum;j ++ )
{
if (distance[i][j] > distance[i][k] + distance[k][j])
{
distance[i][j] = distance[i][k] + distance[k][j];
}
}
}
}
结合代码 并参照上图所示 我们来模拟执行下 这样才能加深理解:
第一关键步骤:当k执行到x,i=v,j=u时,计算出v到u的最短路径要通过x,此时v、u联通了。
第二关键步骤:当k执行到u,i=v,j=y,此时计算出v到y的最短路径的最短路径为v到u,再到y(此时v到u的最短路径上一步我们已经计算过来,直接利用上步结果)。
第三关键步骤:当k执行到y时,i=v,j=w,此时计算出最短路径为v到y(此时v到y的最短路径长在第二步我们已经计算出来了),再从y到w。
依次扫描每一点(k),并以该点作为中介点,计算出通过k点的其他任意两点(i,j)的最短距离,这就是floyd算法的精髓!同时也解释了为什么k点这个中介点要放在最外层循环的原因.
// 求出所有点对之间的最短路经,传入图的大小和邻接阵
// 返回各点间最短距离min[]和路径pre[],pre[i][j]记录i到j最短路径上j的父结点
// 可更改路权类型,路权必须非负!
#define MAXN 200
#define inf 1000000000
typedef int elem_t;
void floyd_warshall( int n,elem_t mat[][MAXN],elem_t min[][MAXN], int pre[][MAXN]){
int i,j,k;
for (i = 0 ;i < n;i ++ )
for (j = 0 ;j < n;j ++ )
min[i][j] = mat[i][j],pre[i][j] = (i == j) ?- 1 :i;
for (k = 0 ;k < n;k ++ )
for (i = 0 ;i < n;i ++ )
for (j = 0 ;j < n;j ++ )
if (min[i][k] + min[k][j] < min[i][j])
min[i][j] = min[i][k] + min[k][j],pre[i][j] = pre[k][j];
}
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