数学板块学习之FWT

FWT

快速沃尔什变换，在计算数学中，一个与阿达马变换有高度相关的快速沃尔什转换（fast Walsh–Hadamard transform，FWHTh）是一个十分有效率的算法，目的是计算阿达马变换。快速沃尔什转换是一个分而治之的算法，是一个常见的递回方法，将大小N的沃尔什转换拆成两个大小为N/2 的沃尔什转换。——百度百科

参考博客：
https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/9065615.html
https://blog.csdn.net/zhouyuheng2003/article/details/84728063

首先，我们要弄明白我们为什么要用FWT，用它求什么。
对于Cn=∑i+j=nAi∗BjCn=∑i∗j=nAi∗BjCn=∑i∣j=nAi∗BjCn=∑i&j=nAi∗BjCn=∑i⊕j=nAi∗Bj\begin{aligned} C_n&=\sum_{i+j=n}A_i*B_j\\ C_n&=\sum_{i*j=n}A_i*B_j\\ C_n&=\sum_{i|j=n}A_i*B_j\\ C_n&=\sum_{i\&j=n}A_i*B_j\\ C_n&=\sum_{i\oplus j=n}A_i*B_j\\ \end{aligned}CnCnCnCnCn=i+j=n∑Ai∗Bj=i∗j=n∑Ai∗Bj=i∣j=n∑Ai∗Bj=i&j=n∑Ai∗Bj=i⊕j=n∑Ai∗Bj
对于这几个公式，第一个的i+j=ni+j=ni+j=n是可以使用FFT来求取的，第二个的i∗j=ni*j=ni∗j=n的特殊情况下也是可以使用FFT的。但是后面三个是无法使用FFT的。所以也就有了FWT

定义：
A−B=(a0−b0,a1−b1,⋯ ,an−1−bn−1)A+B=(a0+b0,a1+b1,⋯ ,an−1+bn−1)A∗B=(a0∗b0,a1∗b1,⋯ ,an−1∗bn−1)A@B=(∑i@j=0ai∗bj,∑i@j=1ai∗bj,⋯ ,∑i@j=n−1ai∗bj)\begin{aligned} A-B&=(a_0-b_0,a_1-b_1,\cdots,a_{n-1}-b_{n-1})\\ A+B&=(a_0+b_0,a_1+b_1,\cdots,a_{n-1}+b_{n-1})\\ A*B&=(a_0*b_0,a_1*b_1,\cdots,a_{n-1}*b_{n-1})\\ A@B&=(\sum_{i@j=0}a_i*b_j,\sum_{i@j=1}a_i*b_j,\cdots,\sum_{i@j=n-1}a_i*b_j) \end{aligned}A−BA+BA∗BA@B=(a0−b0,a1−b1,⋯,an−1−bn−1)=(a0+b0,a1+b1,⋯,an−1+bn−1)=(a0∗b0,a1∗b1,⋯,an−1∗bn−1)=(i@j=0∑ai∗bj,i@j=1∑ai∗bj,⋯,i@j=n−1∑ai∗bj)
其中@@@属于集合{∣(或),&(与),∧(异或)}\{ |(或),\&(与), \wedge(异或) \}{∣(或),&(与),∧(异或)}
并且@@@运算具有分配率A@(B+C)=A@B+A@CA@(B+C)=A@B+A@CA@(B+C)=A@B+A@C也具有交换律A∣B=B∣AA|B=B|AA∣B=B∣A

另外定义A0A_0A0为多项式AAA(A有2n2^n2n项)的前2n−12^{n-1}2n−1项，A1A_1A1为多项式AAA的后2n−12^{n-1}2n−1项
A=(A0,A1)A=(A_0,A_1)A=(A0,A1)表示多项式A0A_0A0后面加上A1A_1A1多项式形成多项式AAA

思路
和FFT一样，先进行FWT求出两个多项式的FWT(A),FWT(B)FWT(A),FWT(B)FWT(A),FWT(B)，然后对应相乘得到FWT(C)FWT(C)FWT(C),最后逆运算IFWT得到答案多项式C

1.OR 或卷积
ck=∑i∣j=kai∗bjC=A∣B=(∑i∣j=0ai∗bj,∑i∣j=1ai∗bj,⋯ ,∑i∣j=n−1ai∗bj)\begin{aligned} c_k&=\sum_{i|j=k}a_i*b_j\\ C=A|B&=(\sum_{i|j=0}a_i*b_j,\sum_{i|j=1}a_i*b_j,\cdots,\sum_{i|j=n-1}a_i*b_j)\\ \end{aligned}ckC=A∣B=i∣j=k∑ai∗bj=(i∣j=0∑ai∗bj,i∣j=1∑ai∗bj,⋯,i∣j=n−1∑ai∗bj)
正变换FWT(A)={(FWT(A0),FWT(A0+A1))n>0An=0FWT(A)=\begin{cases} (FWT(A_0),FWT(A_0+A_1))&\text{n>0}\\ A&\text{n=0} \end{cases}FWT(A)={(FWT(A0),FWT(A0+A1))An>0n=0
对应项相乘
FWT(C)=FWT(A)∗FWT(B)FWT(C)=FWT(A)*FWT(B)FWT(C)=FWT(A)∗FWT(B)
逆变换
IFWT(A)={(IFWT(A0),IFWT(A1)−IFWT(A0))n>0An=0IFWT(A)=\begin{cases} (IFWT(A_0),IFWT(A_1)-IFWT(A_0))&\text{n>0}\\ A&\text{n=0} \end{cases}IFWT(A)={(IFWT(A0),IFWT(A1)−IFWT(A0))An>0n=0

2.AND 与卷积
ck=∑i&j=kai∗bjC=A&B=(∑i&j=0ai∗bj,∑i&j=1ai∗bj,⋯ ,∑i&j=n−1ai∗bj)\begin{aligned} c_k&=\sum_{i\&j=k}a_i*b_j\\ C=A\&B&=(\sum_{i\&j=0}a_i*b_j,\sum_{i\&j=1}a_i*b_j,\cdots,\sum_{i\&j=n-1}a_i*b_j)\\ \end{aligned}ckC=A&B=i&j=k∑ai∗bj=(i&j=0∑ai∗bj,i&j=1∑ai∗bj,⋯,i&j=n−1∑ai∗bj)
正变换FWT(A)={(FWT(A0+A1),FWT(A1))n>0An=0FWT(A)=\begin{cases} (FWT(A_0+A_1),FWT(A_1))&\text{n>0}\\ A&\text{n=0} \end{cases}FWT(A)={(FWT(A0+A1),FWT(A1))An>0n=0
对应项相乘
FWT(C)=FWT(A)∗FWT(B)FWT(C)=FWT(A)*FWT(B)FWT(C)=FWT(A)∗FWT(B)
逆变换
IFWT(A)={(IFWT(A0)−IFWT(A1),IFWT(A0))n>0An=0IFWT(A)=\begin{cases} (IFWT(A_0)-IFWT(A_1),IFWT(A_0))&\text{n>0}\\ A&\text{n=0} \end{cases}IFWT(A)={(IFWT(A0)−IFWT(A1),IFWT(A0))An>0n=0

3.XOR 异或卷积

ck=∑i⊕j=kai∗bjC=A⊕B=(∑i⊕j=0ai∗bj,∑i⊕j=1ai∗bj,⋯ ,∑i⊕j=n−1ai∗bj)\begin{aligned} c_k&=\sum_{i\oplus j=k}a_i*b_j\\ C=A\oplus B&=(\sum_{i\oplus j=0}a_i*b_j,\sum_{i\oplus j=1}a_i*b_j,\cdots,\sum_{i\oplus j=n-1}a_i*b_j)\\ \end{aligned}ckC=A⊕B=i⊕j=k∑ai∗bj=(i⊕j=0∑ai∗bj,i⊕j=1∑ai∗bj,⋯,i⊕j=n−1∑ai∗bj)
正变换FWT(A)={(FWT(A0+A1),FWT(A0−A1))n>0An=0FWT(A)=\begin{cases} (FWT(A_0+A_1),FWT(A_0-A_1))&\text{n>0}\\ A&\text{n=0} \end{cases}FWT(A)={(FWT(A0+A1),FWT(A0−A1))An>0n=0
对应项相乘
FWT(C)=FWT(A)∗FWT(B)FWT(C)=FWT(A)*FWT(B)FWT(C)=FWT(A)∗FWT(B)
逆变换
IFWT(A)={(IFWT(A0)+IFWT(A1)2,IFWT(A0)−IFWT(A1)2)n>0An=0IFWT(A)=\begin{cases} (\cfrac{IFWT(A_0)+IFWT(A_1)}{2},\cfrac{IFWT(A_0)-IFWT(A_1)}{2})&\text{n>0}\\ A&\text{n=0} \end{cases}IFWT(A)=⎩⎨⎧(2IFWT(A0)+IFWT(A1),2IFWT(A0)−IFWT(A1))An>0n=0

代码

/*
*opt =  1 正变换
*opt = -1 逆变换
*/
void FWT_or(int *a,int opt，int N){for(int i = 1; i < N; i <<= 1){for(int p = i<<1,j = 0; j < N; j += p){for(int k = 0; k < i; ++k){int x = a[j+k],y = a[i+j+k];if(opt == 1) a[i+j+k] = (x+y)%MOD;else a[i+j+k] = (y-x+MOD)%MOD;}}}
}void FWT_and(int *a,int opt,int N){for(int i = 1; i < N; i <<= 1){for(int p = i<<1, j = 0; j < N; j += p){for(int k = 0; k < i; ++k){int x = a[j+k],y = a[i+j+k];if(opt == 1) a[i+j+k] = (x+y)%MOD;else a[i+j+k] = (x-y+MOD)%MOD;}}}
}void FWT_xor(int *a,int opt,int N){for(int i = 1; i < N; i <<= 1){for(int p = i<<1,j = 0; j < N; j += p){for(int k = 0; k < i; ++k){int x = a[j+k],y = a[i+j+k];a[j+k] = (x+y)%MOD;a[i+j+k] = (x-y+MOD)%MOD;//inv2表示2在模mod下的逆元，如果不是在模意义下的话，开一个long long，然后把乘逆元变成直接除二if(opt == -1) a[j+k] = 1LL*a[j+k]*inv2%MOD,a[i+j+k] = 1LL*a[i+j+k]*inv2%MOD;}}}
}

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