Occupancy Map

将空间划分为一个个小网格（cell），每个cell中存储cell内是否有障碍物的概率，这样的地图称为Occupancy Map，由于所有cell构成一个网，所以也称为Grid Map。

以2D Occupancy Map为例，每个cell中都有一个概率，那整个地图可以看做一个描述障碍物分布的概率分布（严格要归一化后才是概率分布）。构建地图的过程，就是根据传感器（比如Lider）的观测，更新这个概率分布。

设每个cell的概率相对于其他cell是独立的，更新地图的概率分布就简化为更新每个cell的概率。即在已知1到t时刻所有观测的情况下，该cell中有障碍物的概率，记为

p(mi∣z1:t)p(m_i|z_{1:t}) p(mi∣z1:t)

Odds

考虑到更新的方便，每个cell中实际存储的是概率对应的Odds。

Odds定义为有障碍物的概率与无障碍物概率的比，即

o(mi∣z1:t)=p(mi∣z1:t)1−p(mi∣z1:t)=p(mi∣z1:t)p(¬mi∣z1:t)o(m_i|z_{1:t})=\frac{p(m_i|z_{1:t})}{1 - p(m_i|z_{1:t})} = \frac{p(m_i|z_{1:t})}{p(\neg m_i|z_{1:t})} o(mi∣z1:t)=1−p(mi∣z1:t)p(mi∣z1:t)=p(¬mi∣z1:t)p(mi∣z1:t)

已知Odds，也很容易反算出对应的概率。可以将Odds理解为一个映射，将值域在[0,1][0, 1][0,1]之间的概率映射到[0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞)。

Odds的更新

根据贝叶斯公式，有

p(mi∣z1:t)=p(zt∣mi,z1:t−1)p(mi∣z1:t−1)p(zt∣z1:t−1)p(m_i|z_{1:t})=\frac{p(z_t|m_i, z_{1:t-1})p(m_i|z_{1:t-1})}{p(z_t|z_{1:t-1})} p(mi∣z1:t)=p(zt∣z1:t−1)p(zt∣mi,z1:t−1)p(mi∣z1:t−1)

根据Markov假设，已知障碍物mim_imi的情况下，观测结果与之前的观测无关，则

p(mi∣z1:t)=p(zt∣mi)p(mi∣z1:t−1)p(zt∣z1:t−1)p(m_i|z_{1:t})=\frac{p(z_t|m_i)p(m_i|z_{1:t-1})}{p(z_t|z_{1:t-1})} p(mi∣z1:t)=p(zt∣z1:t−1)p(zt∣mi)p(mi∣z1:t−1)

于是根据Odds的定义，可得

o(mi∣z1:t)=p(mi∣z1:t)p(¬mi∣z1:t)=p(zt∣mi)p(mi∣z1:t−1)p(zt∣¬mi)p(¬mi∣z1:t−1)=p(zt∣mi)p(zt∣¬mi)⋅o(mi∣z1:t−1)=p(mi∣zt)p(zt)/p(mi)p(¬mi∣zt)p(zt)/p(¬mi)⋅o(mi∣z1:t−1)再次利用了贝叶斯公式=o(mi∣zt)⋅o(mi∣z1:t−1)⋅p(¬mi)p(mi)⎵prior\begin{aligned} o(m_i|z_{1:t})&=\frac{p(m_i|z_{1:t})}{p(\neg m_i|z_{1:t})} \\ &=\frac{p(z_t|m_i)p(m_i|z_{1:t-1})}{p(z_t|\neg m_i)p(\neg m_i|z_{1:t-1})} \\ &=\frac{p(z_t|m_i)}{p(z_t|\neg m_i)}\cdot o(m_i|z_{1:t-1}) \\ &=\frac{p(m_i|z_t)p(z_t)/p(m_i)}{p(\neg m_i|z_t)p(z_t)/p(\neg m_i)} \cdot o(m_i|z_{1:t-1}) \ \ \ \ \text{再次利用了贝叶斯公式} \\ &=o(m_i|z_t)\cdot o(m_i|z_{1:t-1})\cdot \underbrace{\frac{p(\neg m_i)}{p(m_i)}}_{\text{prior}} \end{aligned} o(mi∣z1:t)=p(¬mi∣z1:t)p(mi∣z1:t)=p(zt∣¬mi)p(¬mi∣z1:t−1)p(zt∣mi)p(mi∣z1:t−1)=p(zt∣¬mi)p(zt∣mi)⋅o(mi∣z1:t−1)=p(¬mi∣zt)p(zt)/p(¬mi)p(mi∣zt)p(zt)/p(mi)⋅o(mi∣z1:t−1) 再次利用了贝叶斯公式=o(mi∣zt)⋅o(mi∣z1:t−1)⋅priorp(mi)p(¬mi)

在没有观测的情况下，一般假设cell有障碍物的概率为0.5，即p(mi)=p(¬mi)=0.5p(m_i)=p(\neg m_i)=0.5p(mi)=p(¬mi)=0.5，所以最终有

o(mi∣z1:t)=o(mi∣zt)⋅o(mi∣z1:t−1)o(m_i|z_{1:t})=o(m_i|z_t)\cdot o(m_i|z_{1:t-1}) o(mi∣z1:t)=o(mi∣zt)⋅o(mi∣z1:t−1)

即更新某个cell的Odds时，只需用新的观测结果对应的Odds，乘以该cell原本的Odds即可。

比如Lider击中cell中的物体，并返回一个距离值，这时可认为cell中有障碍物的概率为0.9，即p(mi∣hit)=0.9p(m_i|hit)=0.9p(mi∣hit)=0.9，对应的Odds就是o(mi∣hit)=9o(m_i|hit)=9o(mi∣hit)=9，如果激光没有击中任何东西，则其传输路径上的所有cell存在障碍物的概率就较低，设为p(mi∣loss)=0.2p(m_i|loss)=0.2p(mi∣loss)=0.2，对应的Odds即o(mi∣loss)=0.25o(m_i|loss)=0.25o(mi∣loss)=0.25。这样，Odds的更新就变成了根据激光的返回情况，选择乘以9还是0.25。

对数Odds

更进一步的，可以对Odds取对数，每个cell中保存的也是Odds的对数值，则Odds的更新变为

log⁡o(mi∣z1:t)=log⁡o(mi∣zt)+log⁡o(mi∣z1:t−1)\log o(m_i|z_{1:t})=\log o(m_i|z_t) + \log o(m_i|z_{1:t-1}) logo(mi∣z1:t)=logo(mi∣zt)+logo(mi∣z1:t−1)

即将乘法变为了加法，在log⁡o(mi∣zt)\log o(m_i|z_t)logo(mi∣zt)是几个已知常数值的情况下（如之前Lider的例子），这种方式更高效。

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Occupancy Map（Occupancy Grid）的更新

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