有限等距性质（Restricted Isometry Property, RIP）

记录当下的一些个人理解，以后学多了再改改。

疑问：

为什么需要RIP准则？
为什么介绍K阶RIP准则后恢复K稀疏信号又要用2K阶RIP的性质？

解惑：

在考虑稀疏信号的可恢复性时，我们先考虑简单的，零空间特性（NSP）和spark(Φ)spark\left( \varPhi \right)spark(Φ)（spark = sparse + rank）适用于没有噪声的情况。一个矩阵的spark定义为这个矩阵列向量中最少线性相关列向量的个数，所以我们有：

定理当且仅当spark(Φ)>2Kspark\left( \varPhi \right) >2Kspark(Φ)>2K，对于任何矢量y∈RMy\in \mathbb{R}^My∈RM，至多存在一个信号x∈ΣKx\in \varSigma _Kx∈ΣK使得y=Φxy=\varPhi xy=Φx。

从这个定理的反证法中，我们可以看出一些问题，当spark(Φ)⩽2Kspark\left (\varPhi\right)\leqslant2Kspark(Φ)⩽2K时，矩阵Φ\varPhiΦ中至多存在2K个线性相关的列向量，那么一定存在一个向量h=x−x′h=x-x'h=x−x′属于Φ\varPhiΦ的零空间且满足Φh=Φ(x−x′)=0\varPhi h=\varPhi\left(x-x'\right)=0Φh=Φ(x−x′)=0，因而Φx=Φx′\varPhi x=\varPhi x'Φx=Φx′。因此我们可以理解为，要想恢复出K稀疏的信号，矩阵Φ\varPhiΦ中最少线性相关的列向量个数一定要大于2K。这个更好理解所以先放在前面。

问 1：那么当测量值中包含噪声时，能否唯一的恢复出K稀疏信号，就要对矩阵Φ\varPhiΦ施加更严格的限制，因此引入了RIP。注意，别看下面的公式是Φ\varPhiΦ与x相乘，实际上这仅仅是Φ\varPhiΦ的性质，你可以把Φ\varPhiΦ与x相乘看作是从Φ\varPhiΦ中取了K个列出来按一定系数加在了一起。

定义如果存在δK∈(0,1)\delta_K\in \left(0,1\right)δK∈(0,1)，使得
(1−δK)∥x∥22⩽∥Φx∥22⩽(1+δK)∥x∥22\left( 1-\delta _K \right) \lVert x \rVert _{2}^{2}\leqslant \lVert \varPhi x \rVert _{2}^{2}\leqslant \left( 1+\delta _K \right) \lVert x \rVert _{2}^{2} (1−δK)∥x∥22⩽∥Φx∥22⩽(1+δK)∥x∥22对所有x∈ΣK{x:∥x∥2⩽K}x\in\varSigma_K \{x:\lVert x\rVert_2\leqslant K\}x∈ΣK{x:∥x∥2⩽K}都成立，其中如果针对所有K阶稀疏矢量x均满足上式的最小常数δK\delta_KδK，则矩阵Φ\varPhiΦ满足K阶约束等距特性，δK\delta_KδK称为约束等距常数。

我们先来看看这个定义，可以用能量来解释，向量的2范数的平方一般表示信号能量，在上式中可以看出的是，向量x在乘上一个矩阵Φ\varPhiΦ后能量将会在一个范围内波动，这个范围由参数δK\delta_KδK控制。如当δK\delta_KδK为0时，信号x在乘上一个矩阵后能量不变，那么就可以认为矩阵Φ\varPhiΦ是一个正交阵，他对向量x做了正交变换。然而实际上我们不会有这种随便取K列就完全正交的矩阵（况且通常这个K列的子集就不是个方阵），这个参数δK\delta_KδK的范围为(0,1)(0,1)(0,1)，当参数δK\delta_KδK很小的时候，可以解释为K个列是“近似正交”的。那么RIP可以看作是一个矩阵中K列组成的子集与正交阵的相似程度。

问 2：前面介绍的是K阶RIP，它就是一个矩阵的性质，一个定义，与我们是否恢复多少稀疏的信号并不直接相关。为了证明压缩感知的方法能恢复出一个K阶信号，我们需要的是一个满足2K阶RIP特性的矩阵。对于这样的矩阵Φ\varPhiΦ来说，我们可以看作从矩阵Φ\varPhiΦ中任意拿出2K个列向量构成的子集应该都是“近似正交的”，那么可以理解为这2K个列都是不相关的，这个矩阵的最少线性相关的列向量个数至少为2K+1，那它也就相当于满足了spark条件，可以唯一的恢复出一个K稀疏的信号。具体的证明过程在很多书和论文中都有，与spark的证明蛮相似的，主要关心概念理解就不抄一遍证明了。后续研究有结论1是当δK<1\delta_K<1δK<1时零范数可以恢复出唯一的K稀疏信号，结论2是当δK<2−1\delta_K<\sqrt{2}-1δK<2−1时可以保证一范数也可以恢复出唯一的K稀疏信号，结论2就衍生出了很多凸优化相关的解法。

总结一下性质：传感矩阵Φ\varPhiΦ只有满足了2K阶RIP才能保证一个K阶稀疏信号对观测信号y的映射是唯一的，这个传感矩阵不能有2K列线性相关。 然后还有对于一个感知矩阵而言，一定阶数的 RIP 常数越小越好，其物理意义在于RIP 常数越小说明该矩阵内的任意小于该阶数的列向量之间的正交性越好，利用其对稀疏信号进行感知采样时，感知矩阵各列“采集”到的信息差异性越大，越有利于进行信号的重构和恢复。对于稀疏测向而言，这个传感矩阵都是给定的，我们对这个矩阵的优化也主要集中在如何是其列间相关性变得更弱，相关性越弱测向结果的分辨力应该就越好，测角结果也越好。

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