题目

题解

首先这种 iii 天与前面 jjj 天有关联，而且让你求最后一天的极值
我们一定会联想到 DPDPDP

先搞定 dpdpdp 定义?

第一维毋庸置疑就是表示 iii 天，接着思考一下第二维 jjj
1）如果表示 iii 天买了或者卖了 jjj 股票，就遇到了一个问题，i−W−1i-W-1i−W−1 天的时候股票数又是多少呢?
难道我要再去用一重循环枚举吗？显然不现实。

2）如果表示 iii 天手上还拥有着 jjj 股票（ iii 天已经操作完成了）
那么 ±k±k±k 就是 i−W−1i-W-1i−W−1 的股票数了

综上 dp[i][j]:idp[i][j]:idp[i][j]:i 天手上的股票数为 jjj 时的最大收益。

最后输出 dp[n][0]dp[n][0]dp[n][0] 就可以了，nnn 天的时候手上没有股票数肯定是最优解了，不然你手上捏着股票又买卖不了，拿来擦屁股吗？？

找到转移方程式?

这一天闲得慌，不买也不卖

dp[i][j]=dp[i−1][j](0≤j≤MaxP)dp[i][j]=dp[i-1][j] (0≤j≤MaxP)dp[i][j]=dp[i−1][j](0≤j≤MaxP)
这一天才开始玩股票，只能去购进股票

dp[i][j]=−j∗api(j−asi≤k<j)dp[i][j]=-j*ap_i(j-as_i≤k<j)dp[i][j]=−j∗api(j−asi≤k<j)
自由权比较大，手上有点资本，也要购进

dp[i][j]=dp[i−W−1][k]−(j−k)∗api(j−asi≤k<j)dp[i][j]=dp[i-W-1][k]-(j-k)*ap_i(j-as_i≤k<j)dp[i][j]=dp[i−W−1][k]−(j−k)∗api(j−asi≤k<j)
该开始赚钱钱了，卖一点股票出去

dp[i][j]=dp[i−W−1][k]+(k−j)∗bpi(j<k≤j+bsi)dp[i][j]=dp[i-W-1][k]+(k-j)*bp_i(j<k≤j+bs_i)dp[i][j]=dp[i−W−1][k]+(k−j)∗bpi(j<k≤j+bsi)

在这四种情况下，取一个 maxmaxmax 即可。

那么为什么i-W-1就是当前最优解呢？

因为我们是一天一天递推过去的，当前最优解会被传递过去，

这也是我们DP需要完成的

分析这个 DPDPDP 的时间复杂度，O(n3)O(n^3)O(n3)。

所以必须对 kkk 优化

我们就去拆一拆 case3 case4 的 DPDPDP 式

dp[i][j]=dp[i−W−1][k]−(j−k)∗api(j−asi≤k<j)dp[i][j]=dp[i-W-1][k]-(j-k)*ap_i(j-as_i≤k<j)dp[i][j]=dp[i−W−1][k]−(j−k)∗api(j−asi≤k<j)⇓\Downarrow ⇓dp[i][j]=dp[i−W−1][k]+k∗api−j∗api(j−asi≤k<j)dp[i][j]=dp[i-W-1][k]+k*ap_i-j*ap_i(j-as_i≤k<j)dp[i][j]=dp[i−W−1][k]+k∗api−j∗api(j−asi≤k<j)
我们会发现 j∗apij*ap_ij∗api 是固定不变的。

也就是说真正影响 dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j] 的是 dp[i−W−1][k]+k∗apidp[i-W-1][k]+k*ap_idp[i−W−1][k]+k∗api

而且 dp[i−W−1][k]+k∗apidp[i-W-1][k]+k*ap_idp[i−W−1][k]+k∗api 越大越好。

发现这个方程的实质是 k∈[j−asi,j)k∈[j-as_i,j)k∈[j−asi,j) 这个范围内取得的且只和 kkk 有关。

dp[i][j]=dp[i−W−1][k]+(k−j)∗bpi(j<k≤j+bsi)dp[i][j]=dp[i-W-1][k]+(k-j)*bp_i(j<k≤j+bs_i)dp[i][j]=dp[i−W−1][k]+(k−j)∗bpi(j<k≤j+bsi)⇓\Downarrow⇓dp[i][j]=dp[i−W−1][k]+k∗bpi−j∗bpi(j<k≤j+bsi)dp[i][j]=dp[i-W-1][k]+k*bp_i-j*bp_i(j<k≤j+bs_i)dp[i][j]=dp[i−W−1][k]+k∗bpi−j∗bpi(j<k≤j+bsi)

我们会发现 j∗bpij*bp_ij∗bpi 是固定不变的。

也就是说真正影响 dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j] 的是 dp[i−W−1][k]+k∗bpidp[i-W-1][k]+k*bp_idp[i−W−1][k]+k∗bpi

而且 dp[i−W−1][k]+k∗bpidp[i-W-1][k]+k*bp_idp[i−W−1][k]+k∗bpi 越大越好。

发现这个方程的实质是 k∈(j,j+bsi]k∈(j,j+bs_i]k∈(j,j+bsi] 这个范围内取得的且只和k有关

结合以上两种情况：就会联想到我们的单调队列了。

维护 kkk 的范围而且从大到小，每次取队头 headheadhead 进行更值

这样就转化成了O(n2)O(n^2)O(n2)。

最后注意一下循环顺序

买股票就从小到大 0∼MaxP0\sim MaxP0∼MaxP

卖股票就从大到小 MaxP∼0MaxP\sim 0MaxP∼0

代码实现

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define MAXN 2005
int T, MaxP, W;
int ap, bp, as, bs;
int head, tail;
int deq[MAXN];
int dp[MAXN][MAXN];
int main() {scanf ( "%d %d %d", &T, &MaxP, &W );++ W;dp[0][0] = -MAXN * MAXN;for ( int i = 1;i <= MaxP;i ++ )dp[0][i] = dp[0][i - 1];for ( int i = 1;i <= T;i ++ ) {scanf ( "%d %d %d %d", &ap, &bp, &as, &bs );for ( int j = 0;j <= MaxP;j ++ )dp[i][j] = dp[i - 1][j];for ( int j = 0;j <= as;j ++ )dp[i][j] = max ( dp[i][j], -j * ap );if ( i > W ) {head = 1, tail = 0;for ( int j = 0;j <= MaxP;j ++ ) {while ( head <= tail && deq[head] < j - as )head ++;while ( head <= tail && deq[tail] * ap + dp[i - W][deq[tail]] <= j * ap + dp[i - W][j] )-- tail;deq[++ tail] = j;dp[i][j] = max ( dp[i][j], dp[i - W][deq[head]] + deq[head] * ap - j * ap );}head = 1, tail = 0;for ( int j = MaxP;j >= 0;j -- ) {while ( head <= tail && deq[head] > j + bs )head ++;while ( head <= tail && deq[tail] * bp + dp[i - W][deq[tail]] <= j * bp + dp[i - W][j] )tail --;deq[++ tail] = j;dp[i][j] = max ( dp[i][j], dp[i - W][deq[head]] + deq[head] * bp - j * bp );}}}printf ( "%d", dp[T][0] );return 0;
}

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