乘法表对于我们每个人来说都不陌生，毕竟它的存在感太强：在全世界无数的教室、书房里都可以见到它的踪影。

标准乘法表

这幅图片的准确性虽然无可指摘，可惜这个表格却不够精巧，它只是排列着一堆看起来毫无关联的数列——虽然它们都是毋庸置疑的正确答案。这些数字原本只需要被学习、背诵并直至能够回想起来，但在专业人士眼里，这些表格和数字其实大有学问。一个数学家在乘法表里看到的，是一个远远大于100个实数的广阔世界。我们夸张一点说，这种感觉就像黑客帝国（The Matrix）的男主角看到的是图像，普通人看到的就只是编码。

所以在数学家看来，乘法表也许是这种成比例的样子：

乘法表比例图，图片来源于网络

通过这样简单的微调，我们眼中的乘法表开始逐渐明晰了起来。它不再是简单的数字排列，还包含了大小和比例的概念。这样一来，原本看似无关的领域被交织在了一起 — 代数与几何、乘法和面积。

借助不同的颜色，我们能够获得一个不一样的乘法表——此时的它由颜色不同、大小相同的小格子组成：

彩色乘法表，图片来源于网络

在这张图乘法表里，不同颜色的格子突出了一些新概念，不，其实是用不同的呈现方式突出了已知的元素。从这张表里，你能否看出为什么前n个奇数的和恰好等于n²？

提升你数学潜能的关键，就是要有正确的心理表征（Mental Representation）

正如成功学作家马尔科姆·格拉德威尓在《异类》一书中提出的定律——想要成为某领域的专家，至少需要付出一万小时练习的积累。格拉德威的理论其实比较笼统，而心理学家安德斯·艾利克森，则在他的《刻意练习》一书中提出了更明确的概念。他适当地纠正了格拉德威过度强调“一万小时标准”的观点，并指出成功需要的时间，在不同领域、不同的人之间会有一定的差距。更重要的是，一万小时理论并没有对不同种类的“练习”加以区分，而艾利克森的研究，以及他著作中的核心内容，都是以“刻意练习”为前提的。

图片来源于网络

“刻意练习”理论的核心，就在于它可以帮助我们构建丰富的心理表征，或者说，那些早就存在于我们长期记忆中的信息图案。

随着我们心理表征的丰富和充实，我们可以用它们去构建更多的想法、创意，锻炼我们的直觉并解决困难的问题。

图片来源：deviantart.com

心理表征是数学世界观的基石，所以多多益善。在亚当·格兰特的著作《离经叛道》中，揭示了成为创造型天才的必经之路。其中重要的一点就是，这些人中翘楚在接手一项任务时，能够想象出更多的方法。

在数学领域，也有相同的佐证：你知识库里储备的方法越多，你就越容易解决一个难题。而能够激发出这些方法的，恰恰就是我们的心理表征。

但就像并非所有的练习都能带来同样的进步一样，有些心理表征会比其他的更强势一些。这也解释了为何许多人在毕业以后，明明对乘法运算十分熟悉，却缺少对于数字敏锐的直觉。究其原因，他们较为薄弱的心理表征，更注重的是记忆而非理解。

如果一个学生被填鸭式地灌输了乘法表，却并且不理解数字之间的联系，不难想象他们以后很难将这些知识点联系起来，并在更加广泛的数学领域中将其应用。在杰出的数学家眼里，乘法表就像是一张由许多概念编织成的漂亮壁毯，对于他们而言，熟练的记忆和透彻的理解是相辅相成的。

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当心理表征很弱时，你眼里的数学就会像一潭死水。

质数在课本里并不受人青睐，对于很多人来说，它不过是恰巧只有两个除数的数字。而在教学大纲里，质数也只不过是出现在考试卷上，用来解决最大公因数、最小公倍数问题的一些数字。但在数学家的眼里，质数就像是数学里的DNA一样，这种生物学的比喻可以说非常的恰如其分。

根据算数基本定理，任何一个整数都可以被唯一分解成有限个质数的乘积。随着学习的不断深入，你就会越来越被质数的魔力所吸引住。所以当质数的概念被神秘的面纱笼罩着时，就产生了许多数学领域中十分深奥的千古难题。

图片来源：deviantart.com 

质数的美妙并非只有专业的数学家们才能欣赏，只要构建了恰当的心理表征，你也能领略它的魅力并对它着迷。下图就是丹尼尔·芬克尔所做的，将1-100的数字分解成质数乘积的图片：

丹尼尔·芬克尔的1-100质数乘积分解图，图片来源于网络

按芬克尔自己的话来说，这个图表已经告诉你一切了。仔细探究每一个图案，研究他们的构成，再与乘法口诀深入地联系起来，你就会发现质数在乘法表里有多关键。

如果你在学校读书时，数学对你来说不过就是一堆杂乱无章的符号，你可以这样来安慰自己：一个崭新的、迷人的花花世界正等着你来探索。数学的世界里充满着许多有趣的心理表征，并且是那种能够促进人的思考、在想法之间建立联系的心理表征。

我想，这也许是数学家们爱上数学的原因吧。

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编辑 ∑Pluto

来源：算数学苑

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