最大子序列求和_算法——求最大子段和

一、问题描述

给定由n个整数组成的序列(a_1,a_2,…,a_n)，最大子段和问题要求该序列形如

的最大值(1≤i≤j≤n)，当序列中所有整数均为负整数时，其最大子段和为0。

例如，序列(-20, 11, -4, 13, -5, -2)的最大子段和为：

注意：必须是连续整数的和。

二、分治策略

（1）划分

–按照平衡子问题的原则，将序列(

,…,

) 划分成长度相同的两个子序列(

,…,

)和(

,…,

)，则会出现以下三种情况：

①

,…,

的最大子段和 =

,…,

的最大子段和；

②

,…,

的最大子段和 =

,…,

的最大子段和；

③

,…,

的最大子段和 =

, 且1≤i≤⌊

⌋ , ⌊

⌋+1≤j≤n

（2）求解子问题

对于划分阶段的情况①和②可递归求解

对情况③，分别计算

则

为情况③的最大子段和。

（3）合并

–比较在划分阶段的三种情况下的最大子段和，取三者之中的较大者为原问题的解。

步骤示意图

三、算法实现

  int MaxSum(int a[ ], int left, int right){sum=0;if (left= =right) {      //如果序列长度为1，直接求解if (a[left]>0) sum=a[left];else sum=0;}else {center=(left+right)/2;    //划分leftsum=MaxSum(a, left, center);                //对应情况①，递归求解rightsum=MaxSum(a, center+1, right);      //对应情况②，递归求解s1=0; lefts=0;              //以下对应情况③，先求解s1for (i=center; i>=left; i--) {lefts+=a[i];if (lefts>s1) s1=lefts;}s2=0; rights=0;             //再求解s2for (j=center+1; j<=right; j++) { rights+=a[j];if (rights>s2) s2=rights;}sum=s1+s2;              //计算情况③的最大子段和 if (sum<leftsum) sum=leftsum;  //合并，在sum、leftsum和rightsum中取较大者if (sum<rightsum) sum=rightsum;}return sum;
}

思考：采用分治法求解(-20,11,-4,13,-5,-2)的最大子段和, 写出求解过程。

四、时间复杂度分析

对应划分得到的情况①和②，需要分别递归求解；

对应情况③，两个并列for循环的时间复杂性是O(n)，所以，存在如下递推式：

综上，时间复杂性为O(nlog2n)。

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