01

知识框架

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知识点详解

1

B树

①定义与性质

B树也叫B-树。B树是一种平衡的多分树，通常我们说m阶的B树，是二叉排序树的一种扩展，它必须满足如下条件：

01

每个结点最多只有m-1个关键字。

02

根结点最少可以只有1个关键字。

03

非根结点至少有m/2个关键字。

04

每个结点中的关键字都按照从小到大的顺序排列，每个关键字的左子树中的所有关键字都小于它，而右子树中的所有关键字都大于它。

根结点的关键字数量范围为[1,m-1]；非根结点的关键字数量范围为[m/2,m-1]；

②B树的插入

在进行B树的插入时，根据上面提到的B树的性质，我们可以总结出一条准则:在向B树插入结点时，先判断当前结点关键字的个数是否小于等于m-1，如果满足，直接插入即可，如果不满足，将结点的中间的关键字将这个结点分为左右两部分，中间的结点放到父结点中即可。下面我们来看具体的例子:Q：向一颗5阶B树中插入关键字A：5阶B树中，每个结点最多有4个关键字，最少有2个关键字(根结点除外)。

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插入15，30，45，60

02

插入19，此时该结点的关键字个数大于，需进行分裂

03

插入20，25，28

左边结点的关键字数大于4，分裂

③B树的删除

B树的插入比插入稍复杂些，只要牢记B树应该满足的条件，就能够解题。下面我们来看一个B树删除关键字的例子：

01

删除19，19所在结点所剩关键字个数大于2，则可以直接删除

02

删除30，30不是叶子结点，不能直接删除。这种情况的规则：30是非叶子结点，对于非叶子结点的删除，我们需要用后继的关键字覆盖要删除的关键字，然后在后继关键字所在的分支中删除该关键字。对于删除30，需要将后继元素32移到被删除的30所在的结点。

此时发现35所在的结点只有一个关键字，小于2个，这时候的规则是(向兄弟结点借元素)：如果删除叶子结点，如果删除元素后元素个数少于(m/2)，并且它的兄弟结点的元素大于(m/2)，也就是说兄弟结点的元素比最少值m/2还多，将先将父结点的元素移到该结点，然后将兄弟结点的元素再移动到父结点。

03

删除40，删除后不满足B树要求。需要考虑向兄弟结点借元素，但兄弟结点也没有多的结点(2个)，借不了。若遇到这样的情况，还是将先将父结点的元素移到该结点，然后，将当前结点及它的兄弟结点中的关键字合并，形成一个新的结点。

再与兄弟结点合并

2

B+树

①定义与性质

B树与B+树有很多相似之处：

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根结点所含关键字范围：1 <= k <= m-1

02

非根结点所含关键字范围：m/2 <= k <= m-1

不同点：

01

B+树有两种类型的结点：内部结点(也称索引结点)和叶子结点。内部结点就是非叶子结点，内部结点不存储数据，只存储索引，数据都存储在叶子结点。

02

内部结点中的关键字都按照从小到大的顺序排列，对于内部结点中的一个关键字，左树中的所有关键字都小于它，右子树中的关键字都大于等于它。叶子结点中的记录也按照关键字的大小排列。

03

每个叶子结点都存有相邻叶子结点的指针，叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。

04

父结点存有右孩子的第一个元素的索引。

下面我们来看一颗B+树，感受一下它和B树的区别。

②B＋树的插入

B＋插入操作很简单，掌握一个要点即可：当结点关键字数量大于m-1的时候，按中间关键字分裂成左右两部分，中间关键字分裂到父结点当做索引存储，但是，中间的关键字自身还是分裂右边结点这一部分的。下面给大家举一个B+树的插入例子：向一颗5阶的B+树中插入元素。分析：5阶B+树的结点中最少2个关键字，最多4个关键字。

01

插入10，16，22，28

02

插入30，此时该结点的关键字数量大于4个了，进行结点分裂

03

接着插入35，39，结点继续分裂

③B＋树的插入

对于删除操作是比B树简单一些的，由于叶子结点有指针的存在，向兄弟结点借元素时，不需要通过父结点了，而是可以直接通过兄弟节移动即可(前提是兄弟结点的元素大于m/2)，然后更新父结点的索引；如果兄弟结点的元素不大于m/2(兄弟结点也没有多余的元素)，则将当前结点和兄弟结点合并，并且删除父结点中的关键字。下面我们来看一个例子：初始状态B+树：

01

删除22，删除后，发现B+树不满足要求，且左边兄弟结点的关键字个数够借，借关键字后再修改父结点索引。

02

删除元素28，发现B+树不满足要求，并且发现左右兄弟结点都没有多余的关键字可借，此时选择与其兄弟结点合并再修改父结点索引。

此时，其父结点(30)也不满足B+树条件，故将结点30与其兄弟结点进行合并

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相关习题

01

(2012年统考)已知一棵三阶B树，如下图所示删除关键字78得到一棵新B树，其 最右叶结点中的关键字是()

A、60

B、 60, 62

C、62, 65

D、65

(点击选项查看答案)Tips：根据B树应满足的条件以及删除B树结点的准则即可解题。

02

(2016年统考)B+树不同于B树的特点之一是()

A、能支持顺序查找

B、 结点中含有关键字

C、根结点至少有两个分支

D、所有叶结点都在同一层上

(点击选项查看答案)Tips：B+树的叶结点包含了全部关键字信息，且按大小排列，故B+树支持顺序查找。B树只支持多路查找。

03

(2018年统考)高度为5的3阶B树含有的关键字个数至少是()

A、15

B、31

A、解放思想

B、与时俱进

C、实事求是

D、持续稳定

进

C、62

D、242

(点击选项查看答案)Tips：3阶B树的非根结点所包含的关键字个数最少是2个，而根结点最少包含1个关键字，这样的树型相当于一棵高度为5的满二叉树，利用公式计算出其包含的关键字个数最少是31。

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