文章出处：极客时间《数据结构和算法之美》-作者：王争。该系列文章是本人的学习笔记。

莱文斯坦距离

在搜索引擎中会有搜索词纠错的功能。这个功能背后的原理是编辑距离。

编辑距离

编辑距离是量化两个词之间的相似度。编辑距离是指将一个字符串变为另外一个字符串，需要的最少编辑操作次数。编辑操作包含新增一个字符、修改一个字符、删除一个字符。编辑次数越少，编辑距离越小，两个字符串相似度越大。如果两个字符串完全相同，编辑距离为0。

根据所包含的编辑操作种类的不同，编辑距离有多种不同的计算方式，比较著名的有莱文斯坦距离（Levenshtein distance）和最长公共子串长度（Longest common substring length）。其中，莱文斯坦距离允许增加、删除、替换字符这三个编辑操作，最长公共子串长度只允许增加、删除字符这两个编辑操作。

莱文斯坦距离

用莱文斯坦距离替换两个字符串的过程。

回溯解法

莱文斯坦距离将一个字符串替换为另外一个字符串，计算最少的编辑次数。需要考虑字符串中每一位上的字符。如果字符相同怎么处理，字符不同怎么处理。这是一个多阶段决策最优解模型。

贪心、回溯、动态规划都可以解决这类问题。我们先用回溯法解决，看是不是有重复子问题。如果没有，回溯就是最优解；如果有重复子问题，那就需要用动态规划优化。

回溯是一个递归处理问题的过程。假设我们要把a字符串替换为b字符串。如果a[i]和b[j]匹配，则i++,j++。如果不匹配，可以采取的措施有：
1 删除a[i]，然后递归考察a[i+1]和b[j]；
2 在a[i]前面插入字符b[j]，然后递归考察a[i]和b[j+1]；
3 将a[i]替换为b[j]，然后递归考察a[i+1]和b[j+1]。

翻译成代码：

 public class LevenshteinDistance {private char[] a = "mitcmu".toCharArray();private char[] b = "mtacnu".toCharArray();private int n = a.length;private int m = b.length;private int minEdist = Integer.MAX_VALUE;private void lwstBT(int i,int j,int edist){if(i==n || j==m){if(j<m) {edist += m-j;}if(i<n){edist += n-i;}minEdist = Math.min(edist,minEdist);return;}if(a[i]==b[j]){lwstBT(i+1,j+1,edist);}else{lwstBT(i+1,j,edist+1);//删除a[i]lwstBT(i,j+1,edist+1);//在a[i]前面插入b[j]lwstBT(i+1,j+1,edist+1);//修改a[i]=b[j]}}public void lwstBT(){lwstBT(0,0,0);}public static void main(String[] args){LevenshteinDistance l =  new LevenshteinDistance();l.lwstBT();System.out.println(l.minEdist);}
}

我们依据回溯代码来看下递归树。

递归树的每一个节点表示一种状态，用(i,j,edist)表示，i表示指针在a字符串的位置，j表示指针在b字符串的位置，(i,j)都表示将要处理的字符位置，edist表示到达(i,j)时已经执行的编辑次数。递归树中的一条边对应一种处理方式。

从树中能够看出(i,j)相同的节点很多。例如(2,2)、（2,3）。同一个状态的节点只要保留一个编辑距离最小的就可以。因为我们的目标就是找编辑距离最小的。这样也可以避免递归树节点指数级增长。

我们接着看下状态转移方式。状态(i,j)可能从(i-1,j-1)、(i-1,j)、(i,j-1)这三个状态的任一状态转变过来。

状态表法

接下来我们按照这种方式，计算状态转移表。我们画出一个二维状态表，表中的行、列表示字符串在a、b中的位置，表中的数值表示从（0，0）到这个位置需要执行的最短编辑次数。需要说明的是这个编辑次数是包含本次操作的。与递归树的状态中数值的含义略微不同。

这里说一下填表的过程。
(0,0):m->m 不需要编辑。
(0,1)m->mt 需要一次编辑。
…
这张表比较难填写，我没明白怎么填写的。如果从（0，0）开始算后面还能算明白，想往回递推就搞不懂了。
比较简单的理解就是想决定(2,2)的值，从(1,1). (1,2). (2,1)三个值中选择一个最小值，再加1。就对了。加1是因为a!=t。（图下面有补充2021-1-1）

这里补充一下之前不能理解的地方。例如想要到达dp[2][2]这个状态，就是说想要字符串"mit"变为"mta"。
我们已经知道dp[1][1]=1，也就是说从"mi"最少有1次操作，可以变为"mt"。这个时候，我们在"mi"变成的"mt"后面添加一个t，在"mt"字符串后面添加一个a，我们将t替换为a(mtc->mta)，就可以实现将字符串"mit"变为"mta"。也就是说dp[1][1]+1。这里需要说明的是，如果同时追加的都是a字符的话，那就不用编辑操作。（mta->mta）不需要操作，那这时候的编辑次数就是dp[i-1][j-1]。
我们已经知道dp[1][2]=2，也就是说从"mi"变为"mta"需要2次操作。这时候在mi后面追加字符t，那么只需要把字符t删除(mtat->mta)，就能实现从"mit"变为"mta"。也就是说dp[1][2]+1。
我们已经知道dp[2][1]=1，也就是说从"mit"变为"mt"需要1次操作。那么只需要在后面添加一个a字符(mt->mta)，就能实现从"mit"变为"mta"。也就是说dp[2][1]+1。

状态转移方程

根据状态转移方式很容易得到状态转移方程。
如果a[i]=b[j]

 min_edist(i.j) = min(min_edist(i-1,j)+1,min_edist(i,j-1)+1,min_edist(i-1,j-1));

如果a[i]!=b[j]

 min_edist(i.j) = min( min_edist(i-1,j)+1,min_edist(i,j-1)+1,min_edist(i-1,j-1)+1 );

DP代码：

 public int lwstDP(char[] a, int n, char[] b, int m) {int[][] minDist = new int[n][m];for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<m;j++){if(i==0 && j==0){minDist[0][0] = a[0]==b[0]?0:1;}else{minDist[i][j] = Integer.MAX_VALUE;if(i>0 && j>0){minDist[i][j] = Math.min(minDist[i][j],minDist[i-1][j-1]+(a[i]==b[j]?0:1));}if(i==0 && j>0){minDist[i][j] = Math.min(minDist[i][j],minDist[i][j-1]+1);}if(i>0 && j==0){minDist[i][j] = Math.min(minDist[i][j],minDist[i-1][j]+1);}}}}return minDist[n-1][m-1];}

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