差分进化算法python 指派问题_一类指派问题的改进矩阵解法

一类指派问题的改进矩阵解法

孙静

(广州科技职业技术学院电子信息系，广东广州 510550)

摘要：本文介绍了求历时最短的指派问题，给出了改

进矩阵解法的求解步骤，论述了这种解法的合理性，最后举例

说明了这种解法的方便可行性。

关键词：指派问题改进矩阵解法整数规划效率矩阵

1．引言

我们经常遇到这样的问题：某单位需要完成某n项任务，

恰好有n个人可承担这些任务。由于每个人的专长不同，每个

人完成某项任务的效率也不同。于是产生了应指派哪个人去

完成哪项任务，才能使完成这n项任务的总效率最高，或者说

是所用总时间最短的问题，这类问题被称为指派问题或分派

问题[， ]。根据这类指派问题的特点，我们可以用匈牙利法等

方法求解，但其过程非常复杂．容易出现错误。以下介绍一种

求解这类指派问题的较为简便的方法——改进矩阵解法。

2．改进矩阵解法的步骤

指派问题是整数规划，是0—1规划的特例，也是运输问题

的特例．因此当然可以用整数规划、0—1规划或运输问题的解

法求解，即可用枚举法和表上作业法等方法求解，但这就如同

用单纯形法求解运输问题一样是不划算的。我们通常利用指

派问题的特点来求解指派问题，即匈牙利法。但这种方法的过

程太过于繁琐，且容易出错。下面给出一种求解历时最短的指

派问题的新解法，即矩阵解法。具体的方法和步骤如下l3-5]。

第一步：利用最小一最大元素法给出初始指派。

1)找出效率矩阵中每-~3／0元素的最小元素，记为，a：，j=1，

2，⋯，m，若有不止一个最小元素，可任选其一试行；

2)找出效率矩阵中每一列元素的最小元素中的最大者，

记为0．，若有不止一个最大元素，亦可任选其一试行；

3)给元素0．加()，同时将效率矩阵中其所在的行和列划去；

4)重复以上三步，分别可得到0．，0 一，0 。此时所有加()

者便构成一个初始指派。

第二步：检验初始指派，具体方法如下。

找出所有加()中的最大者，记为0，为了说明方便，我们

不妨假设0=0 ，e =a；(al；为效率矩阵中对角线上的元素， 1，

2，⋯，m)，分别将0．与0．(j=2，⋯，m)所位于的行和列中交叉位

置的四个元素取出构成一个二阶方阵。

B9．f‘ ’ ali_)]

1)若a ≤max{a a，．}(j=2，⋯，m)，则初始指派即为所求指

派，问题解决，结束。否则，进入下一步。

2)若aI】)max{ali,a】)(．j=2，⋯，m)，则aI1将和的括号去掉，并

给对应的a1．和a；．加()。返回第二步，重新检验，直到结束为止。

3)若通过检验条件1)，确定了指派问题的解，此时如果所

有加()的元素中存在这样两个处于对角线位置的元素，其和

与另一侧对角线上的两个元素之和相等，则可以去掉这两个

加()元素的()，并给另一侧对角线上的两个元素加()，所得的

新指派问题也是原指派问题的解。

另外，第二步中的3)是检验指派问题存在重解的一种情

况。当条件满足时，所求指派问题一定存在重解，且按照3)的

方法即可求得一个重解，但当条件不满足时，所求指派问题也

有可能存在重解。

3．论述

求解历时最短的指派问题．实质就是要解决两个问题：

(1)在n阶系数矩阵中确定n个独立元素；(2)保证所确定的指

派中的的n个独立元素之和是所有情况中最小的。(这里的独

立元素是指系数矩阵中既非同行又非同列的元

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