第17章关于局部波动率的一些总结

这学期会时不时更新一下伊曼纽尔·德曼（Emanuel Derman）教授与迈克尔B.米勒（Michael B. Miller）的《The Volatility Smile》这本书，本意是协助导师课程需要，发在这里有意的朋友们可以学习一下，思路不一定够清晰且由于分工原因我是从书本第13章写起，还请大家见谅。

第17章关于局部波动率的一些总结

局部波动率的优点和缺点

优点

在布莱克-斯科尔斯-默顿（BSM）模型的所有扩展式中，局部波动率模型是能够解释波动率微笑曲线的最简单模型。通过标的股票价格和时间的函数来描述股票的波动率，我们可以得到 σ ( S , t ) \sigma(S,t) σ(S,t)，并使其满足某个市场的隐含波动率曲面 Σ ( S , t , K , T ) \Sigma(S,t,K,T) Σ(S,t,K,T)，这相当于是用一个统一的波动率流程替代大量不同的 BSM 隐含波动率
d S S = μ d t + σ ( S , t ) d Z \frac{dS}{S}=\mu dt+\sigma(S,t)dZ SdS=μdt+σ(S,t)dZ
若 σ ( S , t ) \sigma(S,t) σ(S,t) 已知，通过复制原理可以推导股票型期权BSM偏微分方程的扩展式：
∂ C ∂ t + ∂ C ∂ S r S + 1 2 σ ( S , t ) 2 S 2 ∂ 2 C ∂ S 2 = r C \frac{\partial C}{\partial t}+\frac{\partial C}{\partial S}rS+\frac{1}{2}\sigma(S,t)^2S^2\frac{\partial^2C}{\partial S^2}=rC ∂t∂C+∂S∂CrS+21σ(S,t)2S2∂S2∂2C=rC
明确了局部波动率的函数式后，就可以用局部波动率模型得到无套利机会的期权价格，也可以计算得到标准期权和奇异期权的对冲比率。这类模型一个非常好的优势在于，它跟初始的 BSM 模型及其变化的联系非常密切。BSM隐含波动率等于初始股票价格和行权价格之间的局部波动率的平均数，这一概念可以有很多直观的经验法则，比如在有斜度的情况下，期权价值和对冲比率跟 BSM 模型中（斜度等于0）的结果有什么差异。正是由于这些原因，局部波动率模型在学术界和市场上都越来越流行

关键问题

问题：局部波动率模型是否能够较好地反映真实的情况？模型中标的资产的变动及其波动率是否能描述目标市场的实际走势？标的资产的变动情况是否服从下面这个随机微分方程？
d S S = μ d t + σ ( S , t ) d Z \frac{dS}{S}=\mu dt+\sigma(S,t)dZ SdS=μdt+σ(S,t)dZ
我们需要的效果是，模型的结果在实际期权估值和对冲方面确实是有用的。不同标的资产市场（股票、固定收益、商品等）的变动情况在局部波动率模型中都可以有所体现

缺点

1、需要定期不断再调整

随着时间流逝，标的股票价格或者指数水平会发生变化，隐含波动率曲面也会发生变化，因此需要从这些数据中提取新的局部波动率曲面模型。而根据新的曲面，对冲比率和奇异期权的价值需要重新计算，模型的参数并不是静态的

2、无法描述短期斜度

局部波动率模型很难用来描述未来的短期斜度。要理解这一点，我们可以用单因子短期利率期限结构模型来分析短期利率的变动情况

就一条典型的收益率曲线而言，短期收益率是向上倾斜的，而 20 年以上的长期收益率会逐渐平坦。因此在单因子期限结构模型中，对于利率期限的调整是，令利率树形图上的短期平均利率逐步升高，而20年以上的长期利率不变。这就意味着，在这个经调整的模型中，期限为20年以上的收益率曲线变得相对平坦，而不再是向上倾斜。如果在期限结构模型中所做的假设是无偏的，也就是说令期限为 20 年以内的收益率也是相对平坦的，这就会使分析结果出现问题，因为20年以内的收益率曲线通常应该是向上倾斜的

局部波动率模型在处理短期斜度的时候也会出现类似现象，但是影响主要是并联关系而不是串联关系。以行权价为维度来看股票指数期权，期限较短的期权对应的隐含波动率斜度更陡峭，而期限较长的期权对应的隐含波动率更平坦。要根据这一斜度变化的情况来调整局部波动率模型，就需要考虑在未来使短期的波动率斜度变得更平坦化。如果当前的短期斜度总是陡峭的，而坚持在模型中令未来的短期斜度保持平坦，那么分析结果也会出现问题

指数期权的局部波动率模型检验

期权模型取决于能否构建一个无风险的对冲策略。且该策略的损益(P&L)的方差等于0，因此是否是好模型的判断标准之一就是，通过模型得到的对冲比率能否将一个对冲组合的损益方差降到最低。如果复制是绝对精确的，那么一个对冲组合的损益方差应该等于0

不同市场结构对于对冲组合损益方差的影响

假设有一个看涨期权 C C C，通过卖出标的股票 S S S 对其进行delta对冲。我们可以选择用BSM对冲比率 Δ B S M \Delta_{BSM} ΔBSM 或者局部波动率对冲比率 Δ l o c \Delta_{loc} Δloc 对其进行瞬时对冲。相应的对冲组合价值为：
π B S M = C − Δ B S M S π l o c = C − Δ l o c S \pi_{BSM}=C-\Delta_{BSM}S\\ \pi_{loc}=C-\Delta_{loc}S πBSM=C−ΔBSMSπloc=C−ΔlocS
如果标的股票价格发生变动 d S dS dS，局部波动率对冲组合的损益和BSM对冲组合的损益差就等于：
d π l o c − d π B S M = ( Δ B S M − Δ l o c ) d S = ε d S d\pi_{loc}-d\pi_{BSM}=(\Delta_{BSM}-\Delta_{loc})dS=\varepsilon dS dπloc−dπBSM=(ΔBSM−Δloc)dS=εdS
此处假设期权的市场价值变动 d C dC dC 在两个方案下都是相等的。在之前的章节中我们用链式法则证明过如下的关系式：
Δ l o c ≈ Δ B S M − V B S M β \Delta_{loc}\approx\Delta_{BSM}-V_{BSM}\beta Δloc≈ΔBSM−VBSMβ
其中 V B S M V_{BSM} VBSM 表示BSM中的vega值， β \beta β 表示隐含波动率方程中的负斜度绝对值（此处 β \beta β 是正数）。由于 V B S M V_{BSM} VBSM 也是正数，当斜度为负时， Δ l o c \Delta_{loc} Δloc 就会小于 Δ B S M \Delta_{BSM} ΔBSM，因此：
ε = Δ B S M − Δ l o c > 0 \varepsilon=\Delta_{BSM}-\Delta_{loc}>0 ε=ΔBSM−Δloc>0
delta对冲的损益在很短的时间间隔 d t dt dt 内取决于实际波动率 σ R \sigma_R σR，且存在如下关系式：
d π B S M = 1 2 Γ B S S 2 ( σ R 2 − σ B S M 2 ) d t d π l o c = 1 2 Γ l o c S 2 ( σ R 2 − σ l o c 2 ( S , t ) ) d t d\pi_{BSM}=\frac{1}{2}\Gamma_{BS}S^2(\sigma_R^2-\sigma_{BSM}^2)dt\\ d\pi_{loc}=\frac{1}{2}\Gamma_{loc}S^2(\sigma_R^2-\sigma_{loc}^2(S,t))dt dπBSM=21ΓBSS2(σR2−σBSM2)dtdπloc=21ΓlocS2(σR2−σloc2(S,t))dt
其中 σ B S M \sigma_{BSM} σBSM 表示期权的BSM隐含波动率， σ l o c ( S , t ) \sigma_{loc}(S,t) σloc(S,t) 表示在隐含树形图中股价等于 S S S、时间等于 t t t 时的局部波动率。若BSM模型正确，则上述第一个式子中的损益变动值就等于0；若局部波动率模型正确，则上述第二个式子中的损益变动值等于0。若两个都不是绝对正确，则应该选择损益变动值最小的模型

如果股票价格变动 d S dS dS，同时时间增加 d t dt dt，则根据下面三式：
d π l o c − d π B S M = ( Δ B S M − Δ l o c ) d S = ε d S d π l o c = 1 2 Γ l o c S 2 ( σ R 2 − σ l o c 2 ( S , t ) ) d t d\pi_{loc}-d\pi_{BSM}=(\Delta_{BSM}-\Delta_{loc})dS=\varepsilon dS\\ d\pi_{loc}=\frac{1}{2}\Gamma_{loc}S^2(\sigma_R^2-\sigma_{loc}^2(S,t))dt dπloc−dπBSM=(ΔBSM−Δloc)dS=εdSdπloc=21ΓlocS2(σR2−σloc2(S,t))dt
可以得到：
d π B S M = d π l o c − ε d S = 1 2 Γ l o c S 2 [ σ R 2 − σ l o c 2 ( S , t ) ] d t − ε d S d\pi_{BSM}=d\pi_{loc}-\varepsilon dS=\frac{1}{2}\Gamma_{loc}S^2[\sigma_R^2-\sigma_{loc}^2(S,t)]dt-\varepsilon dS dπBSM=dπloc−εdS=21ΓlocS2[σR2−σloc2(S,t)]dt−εdS
BSM对冲的总误差包含两项，第1项来自于波动率预测的偏差，第2项来自于delta对冲操作的偏差。第1项是由于波动率的变动，是一个二次非定向式，其符号只取决于波动率的误差 [ σ R 2 − σ l o c 2 ( S , t ) ] [\sigma_R^2-\sigma_{loc}^2(S,t)] [σR2−σloc2(S,t)]。第2项是由于 delta 对冲的误差，是一个线性定向式。因为 ε \varepsilon ε 是正数，其符号只取决于 d S dS dS 的符号

Crepey (2004) 曾经用4个不同市场结构来检验上式的效果，他将这4个市场结构分成两个维度，如下表所示：在下一个时间阶段，指数可以上行或下行，实际波动率可以高于或者低于当前的局部波动率

d π B S M = d π l o c − ε d S = 1 2 Γ l o c S 2 [ σ R 2 − σ l o c 2 ( S , t ) ] d t − ε d S d\pi_{BSM}=d\pi_{loc}-\varepsilon dS=\frac{1}{2}\Gamma_{loc}S^2[\sigma_R^2-\sigma_{loc}^2(S,t)]dt-\varepsilon dS dπBSM=dπloc−εdS=21ΓlocS2[σR2−σloc2(S,t)]dt−εdS
对于高波动率的下行市场（快速下跌），上式右侧的两项均导致 d π B S M d\pi_{BSM} dπBSM 上升，于是由波动率变动以及指数价格变动导致的对冲误差的作用效果互相强化，因此最终导致的BSM对冲误差 d π B S M d\pi_{BSM} dπBSM 为正数。对于低波动率的上行市场（缓慢上涨），两项都会导致 d π B S M d\pi_{BSM} dπBSM 下降，于是 d π B S M d\pi_{BSM} dπBSM 为负数。因此，在一个典型的指数市场上，BSM对冲比率通常不等于0。与此相反，如果是缓慢下跌或者快速上涨，两项的变动效果会相互抵消，因此对冲误差会减小。但对于BSM模型来说，指数市场的这种变动方式（缓慢下跌或者快速上涨，这是对冲误差很小的两种市场结构）并不常见。总结而言，BSM 对冲策略的表现可能会更糟糕一些——在典型的股票指数市场中，对冲组合损益的波动会更加剧烈。因此，我们认为对于股票指数市场而言，BSM 模型的表现要逊于局部波动率模型的表现。Crepey(2004)根据市场历史数据分析了对冲组合的损益情况，其结论也支持这一观点。我们再次强调，很显然，在用这种模型进行对冲之前，需要不断地进行模型调整