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1、优化设计实验课件,现代工程计算 - MATLAB,目录,第1章 MATLAB基础 第2章 优化计算,第1章 MATLAB基础,1.1 MATLAB环境简介 1.2 数据表示 1.3 矩阵运算 1.4 MATLAB的图形系统简介 1.5 源文件(M文件),1.1 MATLAB窗口,启动MATLAB 其窗口如右,1.1 MATLAB窗口,1、Command Window(命令窗口) 一行可写入一个或多个命令，命令之间用逗号或分号隔开，如果命令尾带分号将不显示该命令的执行结果；如果命令有返回结果，如果不赋给自定义变量，将默认赋给变量ans；变量还可有续行；最后用回车提交命令。 命令窗口常用键 键显示。

2、前个命令 键显示后个命令 Esc键取消输入 Ctrl+x剪切 Ctrl+c复制,1.1 MATLAB窗口,2、Workspace(工作区) 程序运行中的自定义变量和默认变量都包含在工作 区中。可通过工作区观察变量的大小、类型，双击变量 名可查看数值大小。 也可用who和whos命令查看 3、Command History(命令记录) 记录了Command Window 中的每一条命令，双击 Command History中的命令，即可重复那条命令。,1.1MATLAB的帮助系统,4. 帮助命令： help 文件名 或 函数名 帮助菜单： 演示命令：demo 总体看，matlab可以被视为一个计。

3、算工具、绘图工具、编程工具,1.2 数据表示,1.2.1数据类型 有整型、实型、复型、字符串四种类型 1、常数 1)整型常数：10 0 10 2)实型常数：0.3 .3 3. 3914e-2 (表示范围约10308) 3)复型常数：12i 3.56.18i 13.2i 4)字符串常数: MATLAB I cant do. (两个连写的单撇号表示一个单撇号) 注意：没有逻辑型，但与C语言那样，非0为真，0为假,1.2.1数据类型,2、变量 变量用标识符表示(字母打头、字母、数字、下划线组成，长度19)。可以合法出现而定义。区分大小写字母，以当前值定义其类型。 3、函数名 函数名用标识符表示。 4。

4、、特殊常数 ANS、PI等。,1.2.1数据的输出格式,输出格式 ： SHORT 按5位小数(含小数点、下同)输出 LONG 按15位小数(含小数点、下同)输出 SHORT e 按5位小数、科学记数方式输出 LONG e 按15位小数、科学记数方式输出 HEX 按16进制输出,1.2.1数据的输出格式,在MATLAB中，数据的存储和运算都以双精度进行，但输出结果可指定格式。 指定输出格式的方法有两种： 1 菜单命令法 V6.1中，选择File中的Preferences命令，在General、Command Window等项目中设置。 2 使用Format命令法 格式： Format 格式串,1。

5、.2.1数据的输出格式,例如： format long e 5/3 ans = 1.66666666666667e + 000 format rat 0.75 ans = 3/4,1.2.2数组,1.2.2 数组 分为行向量、列向量、矩阵。普通变量可看成11数组。 1、创建数组的基本方法 1)直接列表定义数组 变量元素值1 元素值2 元素值n 变量元素值1,元素值2 ,元素值n 变量行1各元素;行2各元素;行n各元素 例如： x=1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 y=1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 z=1,2,3,4,5;2,3,4,5,6,7,1.2.2数组,2)域表定义数组 。

6、变量初值：增量：终值初值：终值 变量(初值：增量：终值)常数 例如： x=0:0.02:10 y=1:80 z=(1:0.1:7)*10e-5,1.2.2数组,3)利用函数定义数组 变量linspace(初值,终值,元素个数) 如：x = linspace(0,pi,11) 的结果为: x = Columns 1 through 4 0 0.3142 0.6283 0.9425 Columns 5 through 8 1.2566 1.5708 1.8850 2.1991 Columns 9 through 11 2.5133 2.8274 3.1416,1.2.2数组,2、 数组的访问(一维。

7、) 数组名 表示全体元素 数组名(k) 表示第k元素 数组名(k1:k2) 表示第k1到k2元素 数组名(k1:k2:k3) 表示第k1、k1+k2、 k1+2k2，到k3元素 数组名(k1,k2,kn) 表示第k1,k2,kn元素 其中：kp也可为初值:终值或初值:增量:终值的形式。,1.2.2数组,例如：a = 1:2:15 则： 1 3 a(2) 5 a(3:5) 7 a(5:-1:2) 9 a(2,6,8) 11 13 15,a的值,1.2.3 数组运算,1、数组的基本运算 设有数组 变量或常量 1)一维数组拼接 u = a x 结果为a1an x1xm 或u = a c1 c2 ck。

8、 结果为 a1an c1 c2 ck 2)转置 a. 点转置 a 共轭转置,1.2.3数组运算,2. 纯量与数组的算术运算 a c1 或 c1 a 其中可为、 结果为a1c1 a2c1 anc1 或c1a1 c1a2 c1an 3. 数组加(减) 使两数组的对应各元素相加(减) a+b 结果为a1+b1 a2+b2an+bn ab 结果为a1b1 a2b2anbn (a与b的维数必须相同),1.2.3 数组运算,4. 数组点乘 使两数组的对应元素相乘a.*b 结果为a1b1 a2b2anbn (a与b的维数必须相同) 5. 数组点正除(右除) 使两数组的对应元素正除 a./b 结果为: (a、。

9、b维数必须相同),1.2.3 数组运算,6. 数组点反除(左除)a.b 结果为： 显然：a./b = b.a (a、b维数必须相同) 7. 数组的幂运算 a.c1 结果为a1c1 a2c1anc1 c1.a 结果为c1a1 c1a2c1an a.b 结果为a1b1 a2b2anbn,1.2.3 数组运算,8、 1数组和0数组 1) 1数组 ones(n) 建立nn全为1的数组 ones(r,c) 建立r行c列的1数组 2) 0数组 zeros(n) 建立nn全为0的数组 zeros(r,c) 建立r行c列的0数组,1.2.3 数组运算,9. 用逻辑数组操作一个数组 对数组的逻辑运算产生逻辑数组。

10、，且结果中用1表示真，0表示假 如： x = 3:3 x = 3 2 1 0 1 2 3 t = abs(x) 1 t为逻辑数组 t = 1 1 0 0 0 1 1 y = x(t) 提取t中为真对应的x元素 y = 3 2 2 3,1.2.3 数组运算,对数组有以下的逻辑运算： l 比较运算符： = = 两数组对应元素相比较，或一个数组的各元素与一个纯量相比较，结果为逻辑数组。显然相比较的数组必须具有相同大小 l 逻辑运算符 (与) (或) (非) XOR(异或) 两相同大小的数组进行(与)、(或)、XOR(异或)运算是对应元素的运算(也允许一个数组与一纯量进行这些运算)。对任一数组都可以进。

11、行(非)运算 如： A4,5,6;7,8,9; 插入：A(2,6) = 10 插入后，A变成3行6列矩阵，未定义的新元素值内定为0。即,1.3 矩阵运算,3. 重排 如对A = 1,2,3;4,5,6;7,8,9; B = A(3:1:1,:) 或B = A(3:1:1,1:3) 将把A的各列元素倒排生成B B= 7 8 9 4 5 6 1 2 3,1.3 矩阵运算,4. 提取 如： A(:,1 3) %提取A的第1、3列 A(1:2,2:3) %提取A中前两行的后两列 设 C = 1 3 则： A(C,C) %提取A第1、3行中第1、3列各元素，效果与 A(1 3,1 3)相同.,1.3 矩。

12、阵运算,5. 置空(删去某行或某列) 如： A = 1,2,3;4,5,6;7,8,9; B = A； B(:,2) = ； 将B的第2列删掉 B = A； B(1,:) = ； 删去B的第1行,1.3 矩阵运算,6. 置零 如：A(2,:) = 0,0,0 将把A的第2行置零。注意：不能写成 A(2,:) = 0 7. 数组的规模 s = size(A) 生成行向量s，值为A的行数，列数 r,c = size(A) 返回A的行数r，列数c r = size(A,1) 返回A的行数r c = size(A,2) 返回A的列数,1.3 矩阵运算,8. 矩阵乘 设gmn和hnm，则 gh 结果为m。

13、m矩阵 hg 结果为nn矩阵 注意：矩阵乘()与数组乘(.)的区别 9. 矩阵除 矩阵正除(右除)：A/B 矩阵反除(左除)：AB 由于在MATLAB中是根据关系式： BA = (A/B) 所以 AB相当于A1B,1.3 矩阵运算,10. 矩阵乘方 矩阵的标量乘方 Ap 当p为整数时，A应为方阵： p0 则 Ap = AAA p次 p=0 则 Ap = A0 等于与A同维的单位矩阵 p0 则Ap=inv(Aabs(p) 即求A自乘|p|次后的逆矩阵,1.3 矩阵运算,11. 逆矩阵 利用inv函数可以求得逆矩阵 例：A=1 2 ；3 2 x=inv(A) 则 x=-0.5 0.5；0.75 -。

14、0.25 若 I=inv(A)*A 则 I=1 0 ；0 1 12. 特征向量 利用eig函数可以求得矩阵的特征向量,1.3 矩阵运算,练习输入数组 计算 2*a、a+b、a-b、a.*b、a、a,b、a.2、a./b 练习求解线性方程组 提示：将方程组化为 的矩阵形式，利用矩阵运算求解,1.4MATLAB图形系统简介,1.PLOT命令 PLOT命令用来绘制二维图形 例：在命令窗口输入 X=0:0.1:1 Y=0:0.3:3 Plot(x,y) 2.LINE命令 LINE命令用来根据点画线 例：在命令窗口输入 X=5,6,7;y=8,12,6 Line(x,y),1.4MATLAB图形系统简介。

15、,3.GRID ON命令 用来显示绘图网格 4. 编辑图形对象属性 点击工具栏上的箭头按钮(edit plot)，选中绘制的图形，单击右键，选“properties”命令。 line styleline width line color marker style marker size marker color 5.添加辅助说明 点击工具栏上的A(insert text)和右箭头(insert arrow)按钮，在图形中添加辅助说明的箭头和文字,1.4MATLAB图形系统简介,6.PATCH命令 PATCH 命令用来绘制二维面 例：在命令窗口输入 X=5,6,7；y=8,12,6；z=5,4,。

16、3 Patch(y,z,4); patch(x,y,3) 7.图表生成命令 pie命令用来生成饼图；bar命令用来生成直方图 例：在命令窗口输入 X=5,6,7； y=8,12,6；z=5,4,3 Pie(x); bar(x,z),1.5 源文件(M文件),分为两类：函数文件和非函数文件。都用扩展名.M 1.5.1函数文件(相当于子程序) 格式1(无返回值函数) Function 函数名(输入表) %称为函数头 函数体 例如:function box(opt_box); 格式2(有返回值函数) function 输出表函数名(输入表) 函数体,1.5.1 函数文件,其中：输出表 是函数的返回值。

17、，若输出表中只有一项, 则方括号可省略。 例如:function ab = getobj(HG) 注意： 函数名必须与定义它的文件名主名相同 函数体是对各参数、局部变量和全局变量的操作。输入、输出变量间用逗号隔开。 函数体内必须对输出表中的变量赋值。 函数头与函数体之间可以有多个以符号“”开始的注释行，说明函数的功能和使用方法。 语句后加分号，则在命令窗口中显示其计算结果。,1.5.2 非函数文件,实例：见例3.7.1 文件objfun.m为函数文件； 文件main.m为非函数文件,1.5.2非函数文件 是无函数头的M文件，由若干命令和注释构成。相当于批处理文件或主程序 如： %Filenam。

18、e is a sine.m x = 0:0.1:2*pi; y = sin(x); plot(x,y) %可包含汉字注释,1.5.3 M-文件的操作,1、建立新M-文件 在命令窗中选File/New/M-file命令，打开编辑窗口可同时打开多个M文件 2、保存M文件 在文本编辑器中选File/Save As 命令,1.5.3 M-文件的操作,3、编辑M文件 在命令窗口/文本编辑器中选 File/ Open 命令 4 运行M文件 在文本编辑器中选Debug/Run 命令 或按F5键 或在命令窗口使用命令行调用，格式为： 文件名,第2章优化计算,2.1线性规划及其优化工具箱函数 2.2无约束非线性。

19、及其优化函数 2.3约束及其优化函数 2.4综合应用,2.1线性规划及其优化函数,线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性函数的问 题，MATLAB解决的线性规划问题的标准形式为 ： 其中： 。,2.1线性规划及其优化函数,函数 linprog 格式 x = linprog(f,A,b,Aeq,beq) x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) x,fval = linprog() x,fval,exitflag。

20、 = linprog() x,fval,exitflag,output = linprog() x,fval,exitflag,output,lambda = linprog(),2.1线性规划及其优化函数,说明 f: 是优化参数x的系数矩阵； lb,ub: 设置优化参数x的上下界； fval: 返回目标函数在最优解x点的函数值； exitflag:返回算法的终止标志； output: 返回优化算法信息的一个数据结构。,2.1线性规划及其优化函数,应用举例 求使函数 取最小值的x值， 且满足约束条件：,2.1线性规划及其优化函数,代码f = -5; -4; -6; A = 1 -1 1;3 2。

21、 4;3 2 0; b = 20; 42; 30; lb = zeros(3,1); x,fval = linprog(f,A,b,lb) 结果 x = 0.0000 15.0000 3.0000 fval = -78.0000,练习解下面线性规划问题,某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产品每件需要材料9Kg、3个工时、4KW电，可获利60元。生产乙种产品每件需要材料4Kg、10个工时、5KW电，可获利120元。若每天能供应材料360Kg，有300个工时，能供200KW电，问每天生产甲、乙两种产品各多少件，才能获得最大的利润。,2.1线性规划及其优化函数,提示：,2.2无约束非线性及其优化函数。

22、,函数 fminsearch 格式 x = fminsearch(fun,x0) x = fminsearch(fun,x0,options) x,fval = fminsearch() x,fval,exitflag = fminsearch() x,fval,exitflag,output = fminsearch(),2.2无约束非线性及其优化函数,说明 fun 是目标函数 options 设置优化选项参数 fval 返回目标函数在最优解 x点的函数值 exitflag 返回算法的终止标志 output 返回优化算法信息的一个数据结构,2.2无约束非线性及其优化函数,应用举例求函数 取最。

23、小值时的值。 代码%首先编写f(x)的.m 文件 function f=myfun(x) f=sin(x)+3; %然后调用函数fminsearch x0=2 ; %起始点 x,fval=fminsearch(myfun,x0) 结果 x = 4.7124 fval = 2.0000,练习 的最小值 提示： x,fval = fminsearch(fun,x0)的基本格式不能动。因此x和x0应为12向量，目标函数可写成,2.2无约束非线性及其优化函数,或,2.2无约束非线性及其优化函数,函数fminunc 格式x = fminunc(fun,x0) x = fminunc(fun,x0,opt。

24、ions) x,fval = fminunc() x,fval,exitflag = fminunc() x,fval,exitflag,output = fminunc() x,fval,exitflag,output,grad = fminunc() x,fval,exitflag,output,grad,hessian = fminunc(),2.2无约束非线性及其优化函数,说明 fun 是目标函数 options 设置优化选项参数 fval 返回目标函数在最优解x点的函数值 exitflag 返回算法的终止标志 output 返回优化算法信息的一个数据结构 grad 返回目标函数在最优。

25、解x点的梯度 hessian 返回目标函数在最优解x点的Hessian矩阵值,2.2无约束非线性及其优化函数,应用举例 的最小值 代码%首先编写目标的.m文件 function f=myfun(x) f=3*x(1)2+2*x(1)*x(2)+x(2)2 %然后调用函数 fminunc %起始点 x0=1,1; x,fval=fminunc(myfun,x0),2.2无约束非线性及其优化函数,结果 x = 1.0e-008 * -0.7512 0.2479 fval = 1.3818e-016,2.3约束及其优化函数,函数 fminbnd 格式 x = fminbnd(fun,x1,x2) x。

26、 = fminbnd(fun,x1,x2,options) x,fval = fminbnd() x,fval,exitflag = fminbnd() x,fval,exitflag,output = fminbnd(),应用背景给定区间x1xx2，求函数f(x)的最小值。X可以是多元向量,2.3约束及其优化函数,说明 fun 是目标函数 x1,x2 设置优化变量给定区间的上下界 options 设置优化选项参数 fval 返回目标函数在最优解x点的函数值 exitflag 返回算法的终止标志 output 是一个返回优化算法信息的结构,2.3约束及其优化函数,应用举例 求函数 在区间(0，。

27、5)内的最小值 代码 %首先编写目标函数的.m文件 function f=myfun(x) f=(x-3).2-1; %调用函数fminbnd x,fval=fminbnd(myfun,0,5) 结果 x = 3 fval = -1,2.3约束及其优化函数,函数 fmincon 格式 x = fmincon(fun,x0,A,b) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x = fmincon(fun,x。

28、0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) x,fval = fmincon() x,fval,exitflag = fmincon() x,fval,exitflag,output = fmincon(),2.3约束及其优化函数,x,fval,exitflag,output,lambda = fmincon() x,fval,exitflag,output,lambda,grad = fmincon() x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian = fmincon() 说明fun 是目标函数 options 设置优化选。

29、项参数 fval 返回目标函数在最优解x点的函数值 exitflag 返回算法的终止标志 output 返回优化算法信息的一个数据结构 grad 返回目标函数在最优解x点的梯度 hessian 返回目标函数在最游解x点Hessian矩阵值,nonlcon：函数由每一个输入变量x计算出c和ceq，用于估计给定x点的非线性不等式 和非线性等式 。 和 见综合应用例。 应用背景约束条件如下，求解函数f(x)的最小值,其中A、Aeq是矩阵，b、x、beq、lb、ub均是向量,2.3约束及其优化函数,应用举例计算使函数 取最小值时的x值， ,约束条件为 分析：将约束条件化为两个不等式 ： 从而可将它们写。

30、成矩阵不等式的形式： 其中A=-1,-2,-2;1,2,2,b=0;27,2.3约束及其优化函数,代码：%首先编写目标函数的.m文件 function f=myfun(x) f=-x(1)*x(2)*x(3); x0=10;10;10%起始点 A=-1,-2,-2;1,2,2; b=0;27; x,fval=fmincon(myfun,x0,A,b),2.3约束及其优化函数,解得 x = 1.0e+006 * 2.0057 -0.5014 -0.5014 fval = -5.0426e+017,2.4综合应用,一、基础 1、options：设置优化选项参数，它是一个结构参数，主要参数如下： D。

31、isplay 设置显示算法返回值的类别，“off”表示不显示结果，“iter”表示每次迭代都显示返回值，“final”表示只显示最后返回值； MaxFunEval 设置算法中函数估计的最大数目； MaxIter 设置算法迭代的最大次数； Tolx 设置使算法终止的x值。 Tolfun 设置使算法终止的f(x)值 LargeScale 是采用large-scale算法还是medium-scale算法,2.4综合应用,2、optimget函数 功能 获取优化算法的特征参数值。 工程应用背景 优化函数的语法中都带有一个参数options,它是一个结构参数，可以通过调用optimget函数来获取指定的。

32、options结构成员参数的值。 语法 val=optimget(options, param); val=optimget(options,param,default);,2.4综合应用,说明 一般来说，调用optimget函数时指定的param参数应该在options中有定义；如果param 参数在options中没有定义，则返回default指定的参数值。 实例分析 要返回某一优化函数的options的Display的值。 分析： val=optimget(options,Display);,2.4综合应用,3、optimset函数 功能 设置或编辑优化算法的特征参数值。 工程应用背景 。

33、在实际应用中，可能需要对优化算法的特征结构参数options的某些成员参数进行具体设置或编辑以达到预期的效果，这时可以应用optimset函数 语法 options=optimset(param1,value1, param2,value2,.) options=optimset(optimfun) options=optimset(oldoptions, param1,value1,.),2.4综合应用,options=optimset(oldoptions,newoptions) 说明 param 是options的成员特征参数，value是其所要设置的值，oldoptions代表以前的优。

34、化参数，newoptions代表另一个优化参数，从而用newoptions的非空参数值代替oldoptions中相应的参数的值。 实例分析 (1)设置options 的Display属性为iter,TolFun的属性值为1e-8: options=optimset(Display, iter, TolFun,1e-8),2.4综合应用,(2)将oldoptions的值复制给newoptions： newoptions=optimset(oldoptions) (3)将oldoptions的值复制给 newoptions，同时改变其中的TolX属性值为1e-8: newoptions=optim。

35、set(oldoptions, TolX,1e-8),2.4综合应用,二、范例 1、已知函数 求 且满足非线形约束： 边界约束：,2.4综合应用,分析 这样的非线性约束优化问题可以用MATLAB优化工具箱中的fmincon函数来求解，因为约束为非线性约束，所以不能将约束条件信息直接包含在函数的输入中，必须编写函数返回在每一点x处的约束值，然后再调用优化函数fmincon；另一方面，fmincon函数要求的约束条件一般为c(x) 0,所以将约束改为：,2.4综合应用,程序清单 %编写目标函数 function y=objfun(x) y=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x。

36、(1)*x(2)+2*x(2)+1); %编写返回约束值的函数 functionc,ceq=confun(x) %非线性不等式约束 C=1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10;,2.4综合应用,%线形等式约束 ceq=; %初始点 x0=-1,1; %设置下界 lb=0,0; %无上界 ub=;,2.4综合应用,%采用标准算法 options=optimset(largescale, off); x,fval=fmincon(objfun,x0,lb,ub, confun,options) c,ceq=confun(x); 结果输出 x= 0 1.5000 。

37、fval= 8.5000,2.4综合应用,2、传递转矩并承受弯矩的等截面轴的最优化设计 具体见书P164 分析 1、数学模型已建见书 2、选用fmincon函数 3、参数选取： 材料 普通碳刚 取7800 扭转角许用值 轴所传递的最大转短矩 1000N*m 许用扭转应力 110 Mpa 材料的剪切弹性模数 81Gpa,2.4综合应用,%编写目标函数() function y=objfun(x) y=7800*pi*x(1)2*x(2)/4; %编写返回约束值的函数 function c,ceq=confun(x) %不等式约束 c=16*0.01/pi/(x(1)3)-110;32*0.01*。

38、x(2)/pi/81000/(x(1)4)-5/180*pi; %等式约束 ceq=;,2.4综合应用,%dmin dmax-直径上下界 lmax-传动元件间距上下界 %初始点 x0=-2,2; %设置下界 lb=0.05,0.8; %s设置上界 ub=0.2,1; %采用标准算法 options=optimset(largescale,off); x,w,existflag,output=fmincon(objfun,x0, lb,ub,confun,options) c,ceq=confun(x);,2.4综合应用,结果 x = 0.0871 0.8000 w = 37.2082 即当轴的直径取87.1mm、传动元件间距取800mm时， 轴的质量最小37.21kg。,2.4综合应用,练习 1、无约束优化问题教材P146 计算 3-13 至 3-17题 2、约束优化问题教材P146、P147 计算 3-21 至3-27题。