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题目链接

AtCoder Beginner Contest 187 B 题，https://atcoder.jp/contests/abc187/tasks/abc187_b。

Problem Statement

On the xyxyxy-plane, We have NNN points numbered 111 to NNN. Point iii is at (xi,yi)(x_i,y_i)(xi,yi), and the xxx-coordinates of the NNN points are pairwise different.
Find the number of pairs of integers (i,j)(i<j)(i,j) (i<j)(i,j)(i<j) that satisfy the following condition:
The line passing through Point iii and Point jjj has a slope between −1−1−1 and 111 (inclusive).

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N
xi yi
.
.
.
xn yn

Output

Print the answer.

Sample 1

Sample Input 1

Sample Output 1

Explaination

The slopes of the lines passing through (0,0)(0,0)(0,0) and (1,2)(1,2)(1,2), passing through (0,0)(0,0)(0,0) and (2,1)(2,1)(2,1), and passing through (1,2)(1,2)(1,2) and (2,1)(2,1)(2,1) are 222, 12\frac{1}{2}21, and −1−1−1, respectively.

Sample 2

Sample Input 2

1
-691 273

Sample Output 2

Sample 3

Sample Input 3

Sample Output 3

Constraints

All values in input are integers.
1 ≤ N ≤ 10^3
|xi|,|yi| ≤ 10^3
xi≠xj for i≠j.

题解报告

题目翻译

在 xyxyxy 坐标系中，有 NNN 个点，编号为 1−N1 - N1−N，第 iii 个点的坐标为 (xi,yi)(x_i, y_i)(xi,yi)，这 NNN 个点的坐标各不相同，并且坐标为整数。
请找出有多少个点对 (i,j)(i<j)(i, j) (i < j)(i,j)(i<j) 满足以下条件：
1、连接第 iii 和 jjj 点的直线斜率在 −1-1−1 和 111 之间。

题目分析

本题是一个数学题，核心就是如何求两个点组成的直线斜率。

直线斜率

假设我们有两个点 NiN_iNi 和 NjN_jNj，满足 i<ji < ji<j，对应的坐标为 (xi,yi)(x_i, y_i)(xi,yi) 和 (xj,yj)(x_j, y_j)(xj,yj)，如下图所示。
如图所示，通过这两个点的直线的斜率为：yj−yixj−xi\frac{y_j - y_i}{x_j - x_i}xj−xiyj−yi。
因此，本题就是遍历所有可能的两个点组成的直线，计算其斜率，并判断是否符合题目要求。

改进

由于计算斜率我们不可避免会得到一个浮点数，为了优化，我们可以进一步讨论一下数学问题。
满足要求的斜率为：
−1≤yj−yixj−xi≤1⇔∣yj−yixj−xi∣≤1⇔∣yj−yi∣≤∣xj−xi∣-1 \leq \frac{y_j - y_i}{x_j - x_i} \leq 1 \quad \Leftrightarrow \quad \lvert \frac{y_j - y_i}{x_j - x_i} \rvert \leq 1 \quad \Leftrightarrow \quad \lvert y_j - y_i \rvert \leq \lvert x_j - x_i \rvert −1≤xj−xiyj−yi≤1⇔∣xj−xiyj−yi∣≤1⇔∣yj−yi∣≤∣xj−xi∣

数据分析

样例数据 1

根据样例数据，我们知道有三个点：(0,0),(1,2),(2,1)(0, 0), (1, 2), (2, 1)(0,0),(1,2),(2,1)。因此可以构成三条直线。
第一条直线，通过点 (0,0)(0, 0)(0,0) 和点 (1,2)(1, 2)(1,2)。对应的斜率为 2−01−0=2\frac{2-0}{1-0}=21−02−0=2。
第二条直线，通过点 (0,0)(0, 0)(0,0) 和点 (2,1)(2, 1)(2,1)。对应的斜率为 1−02−0=12\frac{1-0}{2-0}=\frac{1}{2}2−01−0=21。
第三条直线，通过点 (1,2)(1, 2)(1,2) 和点 (2,1)(2, 1)(2,1)。对应的斜率为 1−22−1=−1\frac{1-2}{2-1}=-12−11−2=−1。
因此，符合要求的直线有两条，分别是第二条和第三条。

数据范围分析

NNN 的最大值为 10310^3103，因此使用暴力遍历 O(N2)O(N^2)O(N2) 可以满足需求。

AC 代码

//https://atcoder.jp/contests/abc187/tasks/abc187_b
//B - Gentle Pairs
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;//如果提交到OJ，不要定义 __LOCAL
//#define __LOCALconst int MAXN=1e3+4;
int x[MAXN];
int y[MAXN];int main() {#ifndef __LOCAL//这部分代码需要提交到OJ，本地调试不使用ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#endifint n;cin>>n;for (int i=1; i<=n; i++) {cin>>x[i]>>y[i];}//int ans=0;for (int i=1; i<n; i++) {for (int j=i+1; j<=n; j++) {if (abs(y[j]-y[i])<=abs(x[j]-x[i])) {ans++;}}}cout<<ans<<"\n";#ifdef __LOCAL//这部分代码不需要提交到OJ，本地调试使用system("pause");
#endifreturn 0;
}

时间复杂度

O(N2)O(N^2)O(N2)。

空间复杂度

O(N)O(N)O(N)。

和使用浮点数比较代码对比

相同的代码，差距在比较使用浮点数。我们仅仅比对时间。

//https://atcoder.jp/contests/abc187/tasks/abc187_b
//B - Gentle Pairs
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;//如果提交到OJ，不要定义 __LOCAL
//#define __LOCALconst int MAXN=1e3+4;
int x[MAXN];
int y[MAXN];int main() {#ifndef __LOCAL//这部分代码需要提交到OJ，本地调试不使用ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#endifint n;cin>>n;for (int i=1; i<=n; i++) {cin>>x[i]>>y[i];}//int ans=0;int yy;int xx;double slope;for (int i=1; i<n; i++) {for (int j=i+1; j<=n; j++) {yy=y[j]-y[i];xx=x[j]-x[i];slope=1.0*yy/xx;if (slope>=-1 && slope<=1) {ans++;}}}cout<<ans<<"\n";#ifdef __LOCAL//这部分代码不需要提交到OJ，本地调试使用system("pause");
#endifreturn 0;
}

可以明显的看出，相同的代码，使用浮点数比较需要 15ms，而使用定点数比较，只需要 8ms，速度快了一倍。因此尽量少用浮点数比较。

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