AES加密算法的数学基础

本文是根据自己对AES加密算法的理解，总结并整理出的AES算法数学基础。表述方面存在诸多不足，后续会慢慢改进。

1、字节运算：有限域GF(2^8)上的运算

（1）有限域GF(2^8)

有限域GF(2^8)表示特征为2的具有2^8个元素的有限域，这里表示成系数在{0,1}中的多项式集合：

b(x)={b7x^7+b6x^6+b5x^5+b4x^4+b3x^3+b2x^2+b1x+b0}

这样任意的8位二进制数就和有限域中的一个多项式建立了一一对应的关系。

（2）加法运算

在多项式表示中，GF(2^8)上两个元素的和仍然是一个次数不超过7的多项式，其系数等于两个元素对应的系数的模2加（即异或）。

由于每个元素的加法逆元等于自己，所以减法和加法相同。

（3）乘法运算

在AES算法中，若两个多项式进行乘法运算，运算的方法为两个多项式相乘，若运算的结果超过8次方，则必须对此结果对一个多项式m(x)进行模运算。AES算法中，这个8次不可约多项式确定为m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1。

乘法原理：

在二进制中，所有的数都能用0x01,0x02,0x04,0x08,0x10,0x20,0x40,0x80异或得到。

0x01,0x02,0x04,0x08,0x10,0x20,0x40,0x80的表示如下：

也就是说，一切乘法的结果都由用上式得到。

乘法运算代码如下：

unsigned char multiply(unsigned char a, unsigned char b)
{unsigned char temp[8] = { a };unsigned char tempmultiply = 0x00;int i = 0;for (i = 1; i < 8; i++) {temp[i] = XTIME(temp[i - 1]);//经过这个循环可以得到一串包含8个字符的数组。//分别是0x01*x,0x02*x,0x04*x,0x08*x,0x10*x,0x20*x,0x40*x,0x80*x。}tempmultiply = (b & 0x01) * a;for (i = 1; i <= 7; i++){tempmultiply ^= (((b >> i) & 0x01) * temp[i]);//通过这个循环，另一个乘数b右移一位和0x01进行与运算，//分别和8个字符相乘，再把相乘结果异或，就得到a*b的结果}return tempmultiply;
}

（4）x乘法

GF(2^8)上还定义了一个运算，称为x乘法，其定义为：

x*b(x)=b7x^8+b6x^7+b5x^6+b4x^5+b3x^4+b2x^3+b1x^2+b0x(modm(x))

XTIME函数的含义是求一个数x与0x02的乘积，一般求一个数的2倍，都是左移一位。要计算有限域乘法，必须先确定GF上的8次不可约多项式。AES算法中，多项式确定为x^8+x^4+x+1，如果最高位是1的话，左移一位的同时要异或0x1b，是因为高位是1的话，再继续左移会超出域的最大值，这个时候需要除以同余式，也就是异或0x1b。

代码如下：

unsigned char XTIME(unsigned char x)
{return (x<<1^(x&0x80)?0x1B:0x00));
}

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