文/William Dunham

提起数学里的平面几何与立体几何，就不得不提到建立这个理论系统的人：生活在2000多年以前的古希腊数学家欧几里得。欧几里得天才的、完美的创造物是《几何原本》。《几何原本》是整个人类文明发展史上的里程碑，是全人类文明遗产中妙用无穷的瑰宝。

公元前4世纪的最后30余年，马其顿国王亚历山大即位，开始了他征服世界的历程。公元前332年，亚历山大大帝征服埃及，随之在尼罗河入海口建立一座新城市——亚历山大城。这座城市发展迅速，据说在30年后便成为拥有50万人口的大都市。而更为重要的是，在这座城市中建立了宏大的亚历山大图书馆，这座图书馆很快便取代了雅典的柏拉图学院，一跃而成为世界第一的学术中心。亚历山大图书馆光是纸莎草纸文稿的收藏量就超过600000卷，如此完整而恢宏的收藏规模远远超过了之前的任何一家学术机构。的确，在整个希腊和罗马统治时期，亚历山大城始终是地中海地区的学术中心，直到公元641年被阿拉伯人摧毁。

大约公元前300年，亚历山大城吸引了众多学者，其中有一位名叫欧几里得。他来到亚历山大城，创办了一所数学学校。我们对欧几里得的生平和他到达非洲海岸前后的情况都知之甚少，但他似乎曾在希腊柏拉图学院接受过柏拉图弟子的训导。不管情况是怎样的，欧几里得的深远影响是不可否认的，实际上，所有后来的希腊数学家都或多或少地与亚历山大学派有着某种联系。

欧几里得在数学史上的显赫声名，得益于他编纂的《几何原本》。这部著作对西方思想有着深远的影响，人们一个世纪又一个世纪地研究、分析和编辑此书，直至现代。据说在西方文明的全部书籍中，人们研究欧几里得这本《几何原本》的仔细程度仅次于《圣经》。

得到人们高度评价的《几何原本》是一部大型汇编书籍，全书分为13卷，有465个命题，涉及平面几何、立体几何及数论等领域。今天，人们一般认为，在所有这些定理中，只有比较少的一部分是欧几里得本人创立的。尽管如此，从整个希腊数学体系来看，他毕竟创造了一座数学宝库，这部编排得井井有条的命题集是那么的成功，那么的受人尊崇，以至于所有前人的类似著作都相形见绌。欧几里得的著作很快就成为了一种标准。如此一来，当一个数学家说到I.47时，无需多作解释，人们就知道这指的就是《几何原本》第一卷中的命题47，犹如人们一提到“I《列王记》7∶23”，就知道说的是《圣经》一样。

实际上，这种对比是非常恰当的，因为除了欧几里得的大作外，没有一本书能堪称“数学的圣经”。几百年来，《几何原本》已经有2000多个版本问世，这个数字足以使今天数学教科书的编著者羡慕不已。众所周知，即使在当时，《几何原本》也获得了巨大的成功。罗马帝国没落后，阿拉伯学者将《几何原本》带到了巴格达。文艺复兴时期，《几何原本》再度出现于欧洲，其影响十分深远。16世纪的意大利著名学者及100年后年轻的剑桥大学学生艾萨克·牛顿都曾拜读过这部巨著。就连亚伯拉罕·林肯也不例外。下面，我们就从卡尔·桑德堡著的《亚伯拉罕·林肯传》中摘录一段，看一看没有受过什么正规教育的年轻律师林肯是如何磨砺他的推理技能的：

……购买一部欧几里得的《几何原本》，这部书已有2300年的历史……他在外出巡回出庭时，都会(把书)装在他的旅行袋里。晚上……别人都已入睡了，他还在借着烛光研读欧几里得的《几何原本》。

人们屡屡提及，林肯的散文造诣正是受益于对莎士比亚和《圣经》的研读。同样，他的许多政治论证也明显地反映出欧几里得命题的逻辑思路。

伯特兰·罗素(1872—1970)对《几何原本》情有独钟，他在自传中写下了这样一段非凡的回忆：

11岁时，我开始学习欧几里得的《几何原本》，并请我的哥哥当老师。这是我生活中的一件重大事件，犹如初恋般令我神魂颠倒。

我们应该铭记，我们是在沿着一条许多人业已走过的道路前进的。只有极少数的经典著作，如《伊利亚特》和《奥德赛》，才能共享这份荣誉。我们将要讨论的命题，阿基米德和西塞罗、牛顿和莱布尼茨，以及拿破仑和林肯都曾研究过。置身于这一长长的学生名单之中，不免令我们诚惶诚恐。

欧几里得天赋超人，与其说他创造了一种新的数学体系，不如说他把旧数学变成一种清晰明确、有条不紊、逻辑严谨的新数学。这是一个不小的成就。必须认识到，《几何原本》绝不仅仅只是数学定理及其证明；毕竟，早在泰勒斯时代，数学家就已经能给出命题的证明。而欧几里得带给我们的是一套宏伟的、不证自明的演绎过程，这是一个根本的区别。在《几何原本》中，他首先给出要素：23条定义、5条公设和5个公理。这些都是基础，是欧几里得体系的“已知”。他可以在任何时候应用这些要素。利用这些要素，他证明了他的第一个命题。然后，以第一个命题为基础，结合其他的定义、公设及公理，就可以对第二个命题进行证明。如此循序渐进，直至逐条证明所有的命题。

因此，欧几里得不仅仅作出了证明，更重要的是，他是在这种不证自明的体系结构中作出的证明。这种论证方法的优越性十分明显，其一就是可以避免循环推理。每一个命题都与之前的命题有着十分清晰而明确的递进关系，溯其根源，它们都是由最初的公理推导出的。熟练使用计算机的人甚至还能够就此画出一张流程图，准确显示哪些结果被用于证明哪个定理。这种方式比“一头扎入”的证明方法优越得多，因为一旦“一头扎入”某个命题中，人们就弄不清楚以前的哪些推导结果可以应用，哪些不可以应用。而且，像这种从中间而不是从头开始推导的过程，会面临一个很大的危险，就是，如果要证明定理A，可能需要应用结果B，但反过来，如果不应用定理A本身，可能又无法证明结果B。这样，就陷入了循环论证的“怪圈”，犹如一条蛇吞吃了自己的尾巴。在数学领域里，这种做法显然徒劳无益。

除此以外，这种不证自明的方式还有另一个优点。由于我们能够明确判别任何命题所依赖的作为前提的其他命题，因此，如果需要改变或废弃某一基本公设，我们就能够立即觉察出可能会出现哪些情况。例如，如果定理A的证明没有依据公设C，也没有依据任何已经根据公设C而推导出的证明结果，那么，我们可以断言，即使废弃公设C，定理A依然正确。这看起来似乎有点儿深奥，但对于存有争议的欧几里得第5公设，恰恰就出现了这样的问题，引起了数学史上一次持续时间最长、意义最深远的辩论。我们将在本章的“后记”中详细讨论这一问题。

因此，《几何原本》这种不证自明的推导方式是非常重要的。虽然欧几里得没有使之尽善尽美，但它的逻辑极为严密，而且，欧几里得成功地将零散的数学理论编织成一套前后连贯的架构体系，从基本的假定一步步推导，直到得出最复杂的结论，所有这些，都使之成为其后所有数学著作的范本。时至今日，在神秘的拓扑学、抽象代数或泛函分析领域，数学家们还是首先提出公理，然后，一步一步地推导，直至建立他们奇妙的理论。而这正是欧几里得谢世2300年后的再现。

William Dunham(威廉·邓纳姆)，美国穆伦堡学院教授，世界知名的数学史专家。他分别于1992年、1997年、2006年获得美国数学协会颁发的 George Polya奖、Trevor Evans奖和Lester R. Ford奖。《天才引导的历程：数学中的伟大定理》是其成名作。

本文节选自《天才引导的历程：数学中的伟大定理》一书。William

Dunham著，李繁荣、李莉萍译，由机械工业出版社出版。