计算几何从入门到入土(一)
牛客计算几何班笔记
第一章 导论
概况
题目类型
包含三种：
- 判定 判断是否，比如是否有交点
- 计数 求交点，面积等
- 列举 圆与直线交点坐标
工具
https://csacademy.com/app/geometry_widget/
https://www.geogebra.org/calculator
前置知识（浮点数与精度问题
C++中包含三种浮点数，但一般只使用以下两种
- double 64bit
- long double 不同编译器的位数可能是96bit，也可能是128bit
关于特殊值
- +0.0 -0.0
0也会带有符号位，需要注意部分题目无spj而误判的问题 - INFINITF 无穷
1.0/0.0==INFINITF1.0/−1.0==−INFINITF1.0/0.0 == INFINITF~~~~~~~1.0/-1.0 == -INFINITF1.0/0.0==INFINITF 1.0/−1.0==−INFINITF
该特殊值同样带有符号 - NAN 非数
注意事项 - 若可以在整数域内解决的题不要用浮点数，某事情况可以使用分数
何老师：“感觉全是double的模板可以直接扬了 ” - 不用float，有时题目会卡double，视情况使用long double
- 减少使用数学函数
- eps
(fabs(a−b)<eps)==(a==b)(fabs(a-b)<eps) == (a==b)(fabs(a−b)<eps)==(a==b)
模板
模板库
第二章 二维基础（点和线）
点
struct Point{double x,y;};
//x:横坐标 y:纵坐标
//重载运算符
向量
由于向量是零点指向目标点的方向，可直接用点表示
using Point=point<double>;
点积
a→⋅b→=axbx+ayby\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_xb_x+a_yb_ya⋅b=axbx+ayby
几何意义：
a→⋅b→=∣∣a⃗∣∣∣∣b⃗∣∣cosθ\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\vert\vec a\vert\vert\vert\vert\vec b\vert\vert\cos\thetaa⋅b=∣∣a∣∣∣∣b∣∣cosθ
长度：∣∣a⃗∣∣=a→⋅a→\vert\vert\vec a\vert\vert=\sqrt{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}}∣∣a∣∣=a⋅a
夹角：cosθ=a→⋅b→∣∣a⃗∣∣∣∣b⃗∣∣\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\vert\vert\vec a\vert\vert\vert\vert\vec b\vert\vert}cosθ=∣∣a∣∣∣∣b∣∣a⋅b
投影：∣∣BD⃗∣∣=∣∣a⃗∣∣cosθ=a→⋅b→∣∣b⃗∣∣\vert\vert\vec {BD}\vert\vert=\vert\vert\vec a\vert\vert\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\vert\vert\vec b\vert\vert}∣∣BD∣∣=∣∣a∣∣cosθ=∣∣b∣∣a⋅b
垂直：a⃗⋅b⃗=0\vec a\cdot\vec b=0a⋅b=0
叉积
a⃗×b⃗=(axby−aybx)v⃗\vec a\times\vec b=(a_xb_y-a_yb_x)\vec va×b=(axby−aybx)v
几何意义：
a⃗×b⃗=∣∣a⃗∣∣∣∣b⃗∣∣sinθv⃗\vec a\times\vec b=||\vec a||~||\vec b||\sin \theta \vec va×b=∣∣a∣∣ ∣∣b∣∣sinθv
平行四边形面积：∣∣a⃗∣∣∣∣b⃗∣∣∣sinθ∣=∣∣a⃗×b⃗∣∣||\vec a||~||\vec b||~|\sin \theta|=||\vec a\times\vec b||∣∣a∣∣ ∣∣b∣∣ ∣sinθ∣=∣∣a×b∣∣
平行：a⃗×b⃗=0⃗\vec a\times\vec b=\vec 0a×b=0
toleft测试（用于判断点P在线段AB的哪一侧）
AB⃗×AP⃗>0P在左侧\vec {AB}\times\vec {AP} > 0~~~~~~~~~~~~P在左侧AB×AP>0 P在左侧
AB⃗×AP⃗<0P在右侧\vec {AB}\times\vec {AP} < 0~~~~~~~~~~~~P在右侧AB×AP<0 P在右侧
AB⃗×AP⃗=0P在AB上\vec {AB}\times\vec {AP} = 0~~~~~~~~~~~~P在AB上AB×AP=0 P在AB上
线段
struct Segment{Point a,b;};
直线
采用点向式
struct Line{Point p,v;};
// p为直线上点，v为向量即直线的方向
基本问题
向量a⃗\vec aa逆时针旋转θ\thetaθ
通过向量变换实现
[cosθ−sinθsinθcosθ][axay]=[cosθax−sinθaysinθax+cosθay]\begin{bmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_x\\ a_y\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos\theta a_x-\sin\theta a_y\\ \sin\theta a_x+cos\theta a_y\\ \end{bmatrix} [cosθsinθ−sinθcosθ][axay]=[cosθax−sinθaysinθax+cosθay]点和线段的关系（含端点）
点与线段之间存在3种关系，在线段上，在线段的延长线上，在线段外
- 判断点是否在线段上 PA⃗×PB⃗=0⃗\vec {PA}\times\vec {PB}=\vec 0PA×PB=0
- 判断点是否在ABABAB之间 PA⃗⋅PB⃗≤0\vec {PA}\cdot\vec {PB}\leq 0PA⋅PB≤0
- 否则点在线段外
线段和线段的关系
对于线段ABABAB和线段CDCDCD
特判三点共线
特判四点共线
当 ABCDABCDABCD不共线，跨立实验
通过toleft判断
A,BA,BA,B在直线CDCDCD的不同侧
C,DC,DC,D在直线ABABAB的不同侧
当满足两个条件，即为相交
点到直线的距离
通过已知条件可以求出以PA⃗\vec {PA}PA和v⃗\vec vv为边的平行四边形面积，而ABABAB为该平行四边形的高，因此可以得到ABABAB的长度。∣∣AB⃗∣∣=∣∣PA⃗×v⃗∣∣∣∣v⃗∣∣||\vec {AB}||=\frac{||\vec {PA}\times\vec v||}{||\vec v||}∣∣AB∣∣=∣∣v∣∣∣∣PA×v∣∣
点在直线上的投影点
通过求OB⃗\vec {OB}OB可得BBB的坐标。
OB⃗=OP⃗+PB⃗\vec {OB}=\vec {OP}+\vec {PB}OB=OP+PB
∣∣PB⃗∣∣=∣∣PA⃗∣∣cosθ=PA⃗⋅v⃗∣∣v⃗∣∣||\vec {PB}||=||\vec {PA}||\cos \theta=\frac{\vec {PA}\cdot\vec v}{||\vec v||}∣∣PB∣∣=∣∣PA∣∣cosθ=∣∣v∣∣PA⋅v
PB⃗=∣∣PB⃗∣∣∣∣v⃗∣∣v⃗=PA⃗⋅v⃗v⃗2v⃗\vec {PB}=\frac{||\vec {PB}||}{||\vec v||}\vec v=\frac{\vec {PA}\cdot\vec v}{{\vec v}^2}\vec vPB=∣∣v∣∣∣∣PB∣∣v=v2PA⋅vv
直线与直线的交点
偷懒，不想敲公式了QAQ
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