Codeforces 1000D Yet Another Problem On a Subsequence 【dp】【组合数学】

难点在于怎么想dp，我一开始想dp[i][j]代表前i个数挑j个能组成多少个good sebsequence，最后把dp[n][ 2到n ]加起来就行，但想不出来转移方程怎么做。后来想到我这么想是不对的，不应该先想状态怎么描述，而应该从题目入手去寻找一些性质（比如去思考good sequence的本质是什么），然后从得到的性质入手再去想状态。

那么good sequence的本质就是多个good array相连，一个good array后面加good sequence还是good sequence。那么能想到dp[i]表示从i-n，由i打头的good subsequence个数；这样dp[i]里每个情况都是由i开头的一个good array后面连good sequence。我们枚举good sequence可以接的位置是 j = i+a[i]+1 到 n，转移方程就是dp[i] = c[ j -i -1][ a[i] ] * dp[j] 【乘法原理】

最后考虑如果一个good array后面不接sequence的情况，那就是c[ n-i ][ a[i] ]个情况，我们可以把j放宽到n+1，并把dp[n+1]设成1来解决这个问题。

 1 #include<iostream>
 2 #include<map>
 3 using namespace std;
 4
 5 //subsequence的本质是多个array相连，所以我们从后往前找array就可以了
 6 int a[1005];
 7 long long dp[1005],c[1005][1005];//dp[i]代表从i-n，从i开始的subsequence个数
 8 long long ans;
 9 int mod = 998244353;
10
11 int main(){
12     int n; cin>>n;
13     for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
14
15     for(int i=1;i<=1000;i++){
16         for(int j=1;j<=1000;j++){
17             if(j==1) c[i][j]=i;
18             else c[i][j] = (c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
19
20         }
21     }
22
23     dp[n+1]=1;
24
25     for(int i=n-1;i>=1;i--){
26         if( a[i]<=0 || a[i]+i>n ) continue;
27         for(int j=i+a[i]+1;j<=n+1;j++){//array后面加good sequence还是good sequence ==> 枚举good sequence可以加的位置
28             dp[i] +=  c[ j-i-1 ][ a[i] ] * dp[j] ;
29             dp[i] %= mod;
30         }
31     }
32
33     int sum = 0;
34     for(int i = 0; i < n; ++i){
35         sum += dp[i];
36         sum %= mod;
37     }
38     cout << sum << endl;
39
40     return 0;
41 }

转载于:https://www.cnblogs.com/ZhenghangHu/p/9248598.html

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