Preference-based evolutionary algorithm for airport surface operations

前言

预计2030年航空运输的乘客数量将是2013年的两倍。随着这种持续增长而不采取行动，拥挤将成为许多机场的一个严重问题，并对环境造成重大影响。因此，对机场地面运行的研究引起了人们的广泛关注。

the Active Routing(AR) approach

1. 当Pareto最优集的规模很大时，应该选择哪些Pareto最优解并存储在数据库中；

2. 对于机场地面运动和跑道调度问题，选择和实施哪一种路径和调度方案。

因此，在这种情况下，合理的方法是多目标进化优化算法，因为它们适用于复杂的优化问题，与经典优化方法相比，它们有能力在一次运行中找到多个接近pareto最优解。

传统的多目标进化优化算法强调的是搜索一个完整的帕累托最优集。通常情况下，期望决策者(DM)从获得的帕累托最优集中选择一个首选解。然而，完整的帕累托最优集可能很难近似，非收敛的帕累托前沿不允许决策者根据Ta的偏好找到一个理想的解决方案。因此，决策者可能选择一个滑行时间和油耗较大的解决方案。相反，如果在搜索之前先考虑DM的偏好，即先验搜索，优化算法可以集中精力将搜索引导到较好的感兴趣区域(RoI)，使搜索的计算效率更高，收敛速度更快。优化算法的搜索也可以以一种交互式的方式进行，DM在搜索过程中逐步明确偏好

Scalarizing functions标量化方法 ：

将多目标问题转化为单目标问题；如果在搜索过程中只找到一个解，则该模型无法研究其他最优或近似最优解及其与偏好信息相对应的性质。此外，在实践中，这些偏好往往只是模糊的，因为优先级的相对权重通常是近似的。

将偏好信息融入进化算法中：权重、参考点、期望水平、代表期望目标值的目标向量、效用函数、偏好或排序关系。

1. 权重或权衡信息经常用于表达偏好信息；

2. 支配关系可以根据到参考点的距离或期望水平进行修正；

3. 考虑参考点的标量函数被用来选择更接近ROI的解决方案。

在本文中，标量化函数只是用于控制RoI的程度，而不是用于分解。据我们所知，这是缩放功能的第一次应用，特别是在机场地面操作的背景下。

一个缩放函数可以是一个成本函数，即每个目标单元都拥有经济价值：燃料价格或与机场地面服务延迟相关的成本或排放成本。在机场部门，当多个利益相关者(如航空公司、机场)参与机场地面运营时，通常采用经济成本作为激励因素。然而，单位成本通常是近似值，反映了用于计算的投入范围。本文的假设是，单位成本的不确定性可以被建模为RoI。单位成本和总目标函数值的线性成本函数可以根据总成本来评估每个解，从Pareto集合中确定成本最小的解。通过在一个区间内改变单位成本，反映近似偏好，不同的解决方案将有最小的成本。一组这些解决方案将构成RoI。

一旦找到RoI, DM就可以选择一个更满意的路由和调度解决方案来实施。然而，由于多目标的存在，ROI中有大量的最优解，这样的决策过程会对决策者造成很大的认知负担。因此，一个能够代表ROI中解决方案的子集能够获得决策者的青睐。这个子集应均匀分布，即在目标空间中解之间的距离是一致的。太大的距离会导致两种可选解决方案之间的太大差异。同样的要求也适用于存储在有限大小的数据库中的速度配置文件子集。在这种情况下，在保持可用速度廓线的均匀分布的同时减少数量对于减少机场地面移动和跑道调度问题的搜索空间至关重要。

本研究的新颖性总结如下：

1. 引入了一个EMO框架，可以处理近似的偏好。标量化函数及其相应的参数(即每个目标单位的经济价值区间)指定了RoI。针对EMO框架的替换过程，专门设计了新的拥挤距离，有效地控制了RoI的程度，直接影响算法的性能。其主要思想是，使用区间偏好信息来定义RoI的范围会比使用用户自定义参数的算法得到更好的解决方案。

2. 提出了一种新的过滤方法来寻找具有代表性的均匀分布解子集，进一步提高了数据挖掘算法选择具有成本效益的解的能力。

3. EMO算法和过滤过程应用于地面运动和跑道调度综合问题，并附加了与排放对应的目标。

机场地面运动和跑道调度问题

地面运动问题的主要研究目标是使滑行总时间或时间相关目标最小化；也有研究以油耗为目标

整数规划、基于图像的方法

跑道调度问题的目标通常与延误、调度最大完工时间、与先到先得(FCFS)序列相比的变化次数或各种组合有关。

混合禁忌算法、动态规划、分支定界、遗传算法

地面运动问题与跑道调度是相互联系的。地面运动需要确保起飞的飞机能准时到达跑道。类似地，跑道时间表决定了到达的飞机滑行的时间和顺序。研究人员已经开始综合考虑地面运动和跑道调度。

两阶段模型（分支定界算法求解跑道序列，遗传算法求解机场地面运动）、整数规划、混合整数线性规划模型、启发式算法、多目标遗传算法

数学模型

地面运动问题的目标是在登机口与跑道之间为所有飞机的滑行获得无冲突的路线和调度方案。

目标函数：总滑行时间ttaxit^{taxi}ttaxi、总油耗ftaxif^{taxi}ftaxi、总排放量εtaxiε^{taxi}εtaxi

1. 预处理：获取机场布局的关键建筑块的非支配速度配置文件并存储在数据库中；

2. 路径调度：获得所有飞机的滑行路线和调度方案，并从数据库中检索相应建筑块的速度配置文件。

根据飞机的推迟起飞或着陆时间来排序。

离港飞机开始的滑行时间为titaxi+xit^{taxi}_i + x_ititaxi+xi，其中为起飞基准时间，为在起飞基准时间后离港飞机在登机口停留等候的时间；

到港飞机的开始滑行时间为降落时间tirt^r_itir。

对于每一家离港/到港飞机iii，使用启发式k-QPPTW算法得到一个路径qiq_iqi。

根据路径qiq_iqi，得到相应建筑块序列，进一步得到在不同建筑块上飞机的速度文件yiy_iyi。

滑行时间：ti,s=∑p=14tpphase(yi)t_{i,s} = \sum_{p=1}^4{t^{phase}_p(y_i)}ti,s=∑p=14tpphase(yi)

油耗：fi,s=∑p=14ϕp(yi)⋅tpphase(yi)f_{i,s} = \sum_{p=1}^4{\phi_p(y_i)\cdot t^{phase}_p(y_i)}fi,s=∑p=14ϕp(yi)⋅tpphase(yi)，ϕp(yi)\phi_p(y_i)ϕp(yi)为燃料流量；

排放量：ϵi,spp=∑p=14ϕp(yi)⋅tpphase(yi)⋅EIpp(ϕp(yi))\epsilon_{i,s}^{pp}=\sum^4_{p=1}{\phi_p(y_i)\cdot t^{phase}_p(y_i)\cdot EI^{pp}(\phi_p(y_i))}ϵi,spp=∑p=14ϕp(yi)⋅tpphase(yi)⋅EIpp(ϕp(yi))，EIpp(ϕp(yi))EI^{pp}(\phi_p(y_i))EIpp(ϕp(yi))是相关排放指标。

最终目标函数计算公式如下：
ttaxi=∑i=1h∑s=1∣Si∣ti,s;ftaxi=∑i=1h∑s=1∣Si∣fi,s;ϵtaxi=∑i=1h∑s=1∣Si∣ϵi,sHCt^{taxi}=\sum^h_{i=1}{\sum^{|S_i|}_{s=1}{t_{i,s}}};\\ f^{taxi}=\sum^h_{i=1}{\sum^{|S_i|}_{s=1}{f_{i,s}}};\\ \epsilon^{taxi}=\sum^h_{i=1}{\sum^{|S_i|}_{s=1}{\epsilon^{HC}_{i,s}}} ttaxi=i=1∑hs=1∑∣Si∣ti,s;ftaxi=i=1∑hs=1∑∣Si∣fi,s;ϵtaxi=i=1∑hs=1∑∣Si∣ϵi,sHC

跑道调度问题的主要目标是找出所有飞机到达或离开跑道的降落和起飞时间。

目标函数：最小延误、等待所造成的油耗、排放量

h架飞机表示为H，并划分为到港飞机A和离港飞机D。

trwy=∑i=1∣D∣tiwt^{rwy}=\sum ^{|D|}_{i=1} {t_i^w}trwy=∑i=1∣D∣tiw

frwy=∑i=1∣D∣tiw⋅ϕwif^{rwy}=\sum ^{|D|}_{i=1} {t_i^w \cdot \phi_{w_i}}frwy=∑i=1∣D∣tiw⋅ϕwi

ϵrwy=∑i=1∣D∣tiw⋅ϕwi⋅EIpp\epsilon^{rwy}=\sum ^{|D|}_{i=1} {t_i^w \cdot \phi_{w_i} \cdot {EI}^{pp}}ϵrwy=∑i=1∣D∣tiw⋅ϕwi⋅EIpp

整合优化问题

地面运动和跑道调度问题被整合为一个多目标优化问题，目标函数为两个子问题目标的和

min⁡g1=ttaxi+trwy\min g_1 = t^{taxi}+t^{rwy}ming1=ttaxi+trwy

min⁡g2=ftaxi+frwy\min g_2=f^{taxi}+f^{rwy}ming2=ftaxi+frwy

min⁡g3=ϵtaxi+ϵrwy\min g_3=\epsilon^{taxi}+\epsilon^{rwy}ming3=ϵtaxi+ϵrwy

对于整合优化问题，决策变量为：

1. 离港飞机的起飞时间xix_ixi；决定飞机何时开始地面运动，进一步可以得到到达跑道等待点的时间；

2. 每架飞机的速度文件yi∈{1，…，Nsp}y_i \in \{1，\dots，N^{sp}\}yi∈{1，…，Nsp}：确定到港/离港飞机地面运动的持续时间，和起飞时到达跑道等待点的时间；

该整合优化问题的完整解决方案可表示为{x1,x2,…,x∣D∣,y1,y2,…,yh}\{x_1,x_2,\dots,x_{|D|},y_1,y_2,\dots,y_h\}{x1,x2,…,x∣D∣,y1,y2,…,yh}

目标函数则由t,f,ϵt,f,\epsilont,f,ϵ决定

1. ttaxi,ftaxi,ϵtaxit^{taxi},f^{taxi},\epsilon^{taxi}ttaxi,ftaxi,ϵtaxi

2. trwy,frwy,ϵrwyt^{rwy},f^{rwy},\epsilon^{rwy}trwy,frwy,ϵrwy

目标的经济价值

每一个目标g1,g2,g3g_1,g_2,g_3g1,g2,g3都对应着经济价值，经济成本是机场地面运营中考虑不同利益相关者利益的激励和有效方法。

时间成本、油耗成本、排放量

一些单位成本往往难以确定，只能近似可用。因此，在目标函数范围内寻找解决方案的兴趣区间，对于g1,g2g_1,g_2g1,g2的单位成本的一定范围，更具有实用意义。(在这项研究中，没有假设g3g_3g3的经济价值)

标量化函数被用来定义一个函数Ctotal(zk,c)C^{total}(z_k,c)Ctotal(zk,c)评估搜索期间解决方案zjz_jzj的货币成本，单位成本向量c=[c1,c2,…,cnrobj]c=[c_1,c_2,\dots,c_{{nr}^{obj}}]c=[c1,c2,…,cnrobj]。

Ctotal(zk,c)=∑m=1nrobjcm⋅gm(zk)C^{total}(z_k,c)=\sum^{{nr}^{obj}}_{m=1}{c_m\cdot g_m(z_k)}Ctotal(zk,c)=m=1∑nrobjcm⋅gm(zk)

;如果没有关于目标值的经济价值信息可用，cm=0c_m=0cm=0。不同重量类别的飞机使用不同的cmc_mcm。

带有偏好信息的进化多目标优化框架

算法2概述了EMO框架的结构：

1. 第1-13行描述了基于偏好的EMO算法(P-EMOA)；

2. 第14行描述了过滤过程。

P-EMOA是通用EMO算法的衍生。

1. 随机决策变量来初始化种群；

2. 为种群中的每个解决方案计算各自的目标函数值g1,g2,g3g_1,g_2,g_3g1,g2,g3;

3. 选择目标函数值较好的两个解决方案作为父代，使用两点交叉算子进行复制遗传；

4. 对种群中的解决方案的决策变量进行随机变异，并重新计算目标函数值g1,g2,g3g_1,g_2,g_3g1,g2,g3；

5. 使用带有偏好信息的替换程序从种群选择下一代的解决方案；

1. 一般的EMO偏爱位于整个客观空间中不那么“拥挤”的区域中的非支配解。

2. 在P-EMOA中，替换者更喜欢ROI中的解决方案，而不是在ROI中拥挤的解决方案。

采用了考虑到这两个要求的改进的拥挤距离的更换程序

6. 从算法最终的种群中过滤选择有代表性的子集供决策者选择。

P-EMOA的替换程序

在每一代中，在替换期间进行非支配排序以识别非支配前沿。在每个前沿内，基于目标空间中的解的帕累托前沿的优选区域来选择幸存的解。首选区域定义如下：

1. 中心点zCz^CzC被定义为前沿中最首选的解决方案；

中间点被确定为相对于单位成本向量c‾\overline{c}c具有最小标量函数值的解
ZC=arg min⁡Zk(Ctotal(Zk,c‾))Z^C = \argmin_{Z_k}(C^{total}(Z_k,\overline{c}))ZC=Zkargmin(Ctotal(Zk,c))

2. 为每个目标gmg_mgm在最值区间[vmmin,vmmax][v^{min}_m , v^{max}_m][vmmin,vmmax]选择一个被称作特征邻域的边界解zaBz^B_azaB；

为了定义边界解，首先定义边界单位成本向量c‾B\overline{c}^BcB。

边界解被确定为相对于边界单位成本向量c‾aB\overline{c}^B_acaB具有最小标量函数值的解ZaB=arg min⁡Zk(Ctotal(Zk,c‾aB))Z^B_a = \argmin_{Z_k}(C^{total}(Z_k,\overline{c}^B_a))ZaB=Zkargmin(Ctotal(Zk,caB))

中间点和边界解共同指定了兴趣区域。决策者可以交互式地选择中间点和边界点。

标量化函数CtotalC^{total}Ctotal可以被用来寻找中心点和边界解。

单位成本最值区间[c‾mlower,c‾mupper][\overline{c}^{lower}_m, \overline{c}^{upper}_m][cmlower,cmupper]中的任意单位成本向量cmc_mcm具有最小标量化函数Ctotal(Zk,c‾m)C^{total}(Z_k,\overline{c}_m)Ctotal(Zk,cm)的解都位于有边界解组成的兴趣区域内。

拥挤距离cdk\bf{{cd}_k}cdk

cdk={∞ifzkisthemiddlepointzC,M+dkcdelseifzjoutrankszC,1/Ctotal(Zk,c‾aB)overwise{cd}_k= \begin{cases} \infty \qquad\qquad\qquad\quad if\ z_k\ is\ the\ middle\ point\ z^C,\\ M+d_k^{cd} \qquad\qquad\quad else\ if\ z_j\ outranks\ z^C,\\ {1}/{C^{total}(Z_k,\overline{c}^B_a)}\qquad overwise \end{cases} cdk=⎩⎪⎨⎪⎧∞if zk is the middle point zC,M+dkcdelse if zj outranks zC,1/Ctotal(Zk,caB)overwise

1. 如果zkz_kzk是中心点，则cdk=∞{cd}_k=\inftycdk=∞；确保中心点能够被选择进入下一代；

2. 如果zkz_kzk支配中心点zCz^CzC，则cdk=M+dkcd{cd}_k= M+d_k^{cd}cdk=M+dkcd;

由边界解确定各个目标值的最值区间[vmmin,vmmax][v^{min}_m, v^{max}_m][vmmin,vmmax]，如果zkz_kzk的每个目标值都在这个区间内，则zkz_kzk优于中心点zCz^CzC。

MMM是个常数，本文中设为M=106M=10^6M=106

dkcdd_k^{cd}dkcd评估该解决方案与其相邻解的距离
dkcd=∑m=1ugm(zj+1)−gm(zj−1)gmmax−gmmind_k^{cd} = \sum^u_{m=1}{\frac{g_m(z_{j+1})-g_m(z_{j-1})}{g_m^{max}-g_m^{min}}}dkcd=m=1∑ugmmax−gmmingm(zj+1)−gm(zj−1)

当MMM设置为较大的整数时，cdk{cd}_kcdk能确保替换程序按照预期功能执行，即偏好来自特征邻域的解决方案，兴趣区域内的多样性是通过增加彼此之间的距离来保持的。

3. 其他情况即特征邻域外的解决方案，cdk=1/Ctotal(Zk,c‾aB){cd}_k= {1}/{C^{total}(Z_k,\overline{c}^B_a)}cdk=1/Ctotal(Zk,caB)

如果不适用标量化函数，可以使用距离特征领域最近的欧几里得距离来代替。

根据cdk{cd}_kcdk，降序选择解决方案填充种群。

达到指定迭代次数后，种群中的解决方案数量可能很大，而且分布不均匀，这给决策者带来困难，特别是在目标数量较多的情况下。因此，用于填充数据库的相同过滤过程再次被应用，以从种群中获得均匀分布解的代表性子集。

Pareto最优解的筛选程序

解决方案的代表性子集有助于决策者的选择过程，并减少数据库中存储的解决方案数量。该过程分两步进行：

1. 使用领域概念R→R∗R \to R^*R→R∗

2. 使用ξ\xiξ-启发式方法R∗→R∗∗R^* \to R^{**}R∗→R∗∗

首先使用领域概念从种群RRR中获得一个初始集R∗R^*R∗，第一步筛选出的解决方案可能还不均匀，所以在第二步中，采用了均匀度测量的方法筛选出R∗∗R^{**}R∗∗。

在第一步中，解决方案zkz_kzk的邻域被定义为在每个目标上距离zkz_kzk长度τ\tauτ的区域。这个区域中没有支配或是被zkz_kzk支配的解决方案。选择领域内没有其他解的解决方案。

1. 如果R∗R^*R∗为空，则将zkz_kzk加入R∗R^*R∗；

2. 若R^*不为空，对z_k的目标值进行标量化gm‾=gm−gmmingmmax−gmmin\overline{g_m}=\frac{g_m - g_m^{min}}{g_m^{max}-g_m^{min}}gm=gmmax−gmmingm−gmmin；

3. 计算zkz_kzk与R∗R^*R∗中每个解决方案的直线距离$d^{{rect}_{kl}=\sum}{{nr}^{obj}}_{m=1}{|\overline{g_m}(z_k)-\overline{g_m}(z_l)|} $；

4. 与zkz_kzk的直线距离最小的解决方案zl∗z_l^*zl∗：l∗=arg min⁡l(dklrect)l^*=\argmin_l(d_{kl}^{rect})l∗=largmin(dklrect)

5. 计算z_k和z_l^*在各个目标上的标量差值绝对值的最大值δ\deltaδ：δ=max⁡m=1,2,..,nrobj∣gm‾(zk)−gm‾(zl∗)∣\delta=\max_{m=1,2,..,{nr}^{obj}}{|\overline{g_m}(z_k)-\overline{g_m}(z_l^*)|}δ=maxm=1,2,..,nrobj∣gm(zk)−gm(zl∗)∣

6. 如果δ≥τ\delta \ge \tauδ≥τ，接受zkz_kzk并移动到R∗R^*R∗中，否则拒绝zkz_kzk。

第一步的筛选主要取决于τ\tauτ。设置该值的两个策略：

1. 如果解决方案的数量NRN^RNR时确定的，则τ=1/(NRnrobj−1+o)\tau=1/(\sqrt[{nr}^{obj}-1]{N^R}+o)τ=1/(nrobj−1NR+o)，初始时o=0o=0o=0，如果使用初始τ\tauτ得到的解的数量少于NRN^RNR，则逐步地增加ooo，直到筛选出足够的解决方案。

2. 任何两个解决方案之间的目标差的最小值incm{inc}_mincm存在，则τ=incm‾\tau = \overline{{inc}_m}τ=incm

第一步的筛选能够提供一个良好的初始解，在某些只有最大距离的维度上，解决方案之间的距离可能比τ\tauτ更近。δ\deltaδ并没有严格等于τ\tauτ ，它可以大于或等于τ\tauτ，可能导致解决方案之间出现更大的距离。在第二步中基于均匀度测量的ξ\xiξ-启发式方法对R∗R^*R∗再次筛选。

1. 对于R∗R^*R∗中的每一个解决方案，如图所示构建两个球体(2个目标时为圆形，3个目标时为球体)。

2. 第一个球体是解zkz_kzk与其他解所能构建的最小球体，该球的直径表示为dkLd_k^LdkL；

3. 第二个球体是解zkz_kzk与其他解所能构建的不存在其他解的最大球体，该球的直径表示为dkUd_k^UdkU。

通过欧氏距离进行计算得到直径。

4. 均匀度策略定义为：ξ=σdd^\xi=\frac {\sigma_d}{\widehat{d}}ξ=dσd；σd{\sigma_d}σd和d^{\widehat{d}}d是所有解决方案的所有直径的偏差和均值。

当ξ=0\xi=0ξ=0时，解决方案完全均匀分布，即所有直径相等。

ξ\xiξ-启发式方法是通过使用R中更好的解决方案z_l替换R^{*中的解z_k来对R}*进行再次筛选。该方法基于最大直径、最小直径与直径均值的绝对差值来替换解决方案。绝对差值很小则表明直径很接近理想值。

对于R中解决方案zkz_kzk：

1. 首先通过欧氏距离找到R∗R^*R∗中最近的解决方案zlz_lzl；

2. 暂时将zkz_kzk移动到R∗R^*R∗中，暂时将zlz_lzl从R∗R^*R∗移出；

3. 计算zkz_kzk的最小直径和最大直径dkL，dkUd_k^L，d_k^UdkL，dkU；

4. 如果zkz_kzk的绝对差值小于zlz_lzl的绝对差值，则zkz_kzk替换zlz_lzl。

5. 当R中所有的解决方案全部被测试后，得到最终的有代表性的子集。

实验部分

在3个机场的离港/到港情况进行测试EMO框架：NSGA。实例的规模从13架飞机到36架到港/离港飞机不等，代表了不同交通拥挤水平。

为了简化起见，所有飞机都被分为3个重量类别(轻、中、重)，每个类别都指定了代表性飞机:Learjet 35A、空客A320和空客A333分别用于轻、中、重类别。

EMO框架使用Python实现，50次迭代、种群数量为50。交叉算子为概率为1的两点交叉，变异算子为概率为0.1的随机变异。被用来划分兴趣区域的单位成本向量为[0.469, 0.71,0]。搜索结束之后，从最终解决方案中筛选出10个解决方案。

对比算法：没有偏好信息的NSGA-Ⅱ、Ｒ－NSGA-Ⅱ、MOEA/D、带有偏好信息的NSGA-Ⅲ

MOEA/D基于随机生成权重的分解方法将优化问题分解为子问题，本文中使用的标量函数和单位成本的偏好信息同样适用于MOEA/D。

R-NSGA-Ⅱ、NSGA-Ⅲ需要参考点作为输入，参考点的生成方式如下：

在每一代中，将中心点和特征邻域作为参考点。

交叉算子和变异算子与P-EMOA中的算子相同。

P-EMOA将搜索重点放在兴趣区间。从视觉对比来看，P-EMOA算法比其他算法具有更好的收敛性。

NSGA-Ⅱ集中在整个Pareto前沿。MOEA/D产生了较差的解。R-NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ相比P-EMOA有较差的收敛性，并且解决方案没有呈均匀分布。

为了公平地比较，进一步计算了一个量化指标。由于本研究中搜索的目的是找到与决策者的偏好相对应的解决方案，因此需要一种能够根据偏好考虑所获得的解决方案的效用的措施。超体积等传统衡量指标可能不适合基于偏好的算法，因为他们没有考虑偏好信息。

使用了R3指标，因为它直接将权重合并到评估过程中，从而定义权重区间。R3指标基于个体解的效用值评估帕累托集近似值。

Pareto前沿PAP_APA的权重线性效用函数u(λ,PA)=(min⁡∀zj∈PA{∣Ctotal(z∗,λ)−Ctotal(zk,λ)∣})u(\lambda, P_A)=(\min_{\forall{z_j}\in P_A}{\{|C^{total}(z^*,\lambda)-C^{total}(z_k,\lambda)|\}})u(λ,PA)=(min∀zj∈PA{∣Ctotal(z∗,λ)−Ctotal(zk,λ)∣})，λ\lambdaλ是一个权重向量，z∗z^*z∗是一个理想点。

对于两个近似集PAP_APA，PBP_BPB的R3指标：

IR3(PA,PB)=∑λ∈Λ[u(λ,PB)−u(λ,PA)]/u(λ,PB)∣Λ∣I_{R3}(P_A,P_B)=\frac{\sum_{\lambda\in\Lambda}{[u(\lambda, P_B)-u(\lambda, P_A)]/u(\lambda, P_B)}}{|\Lambda|}IR3(PA,PB)=∣Λ∣∑λ∈Λ[u(λ,PB)−u(λ,PA)]/u(λ,PB)

IR3I_{R3}IR3的正值表示PAP_APA优于PBP_BPB，数值越大显示两者差别越大。

给出的结果是在应用筛选程序之前和之后。筛选之前计算时考虑了所有的解，筛选之后计算时只考虑剩下的10个解。与NSGA-II、R-NSGA-II和NSGA-III相比，所有值都是正的，这意味着P-EMOA导致了更好的收敛性，即在效用方面比NSGA-II、R-NSGA-II和NSGA-III的过滤和未过滤解决方案更好的解决方案。对于MOEA/D来说，大多数数值相对较小且为正值，表明MOEA/D与P-EMOA相比，表现稍差。

表5展示了这些算法最终解决方案的目标值。与其他算法相比，P-EMOA算法的最佳收敛性导致了g1g_1g1, g2g_2g2, CtotalC^{total}Ctotal的最小值。因为c3‾=0\overline{c_3}=0c3=0，对于目标g3g_3g3，P-EMOA的结果比NSGA-Ⅱ差。

结论

本文将机场地面运动和跑道调度问题整合为综合优化问题，提出了一种考虑偏好信息的多目标进化优化框架，并对最终结果筛选出有代表性的子集供决策者选择。

本文的主要贡献为：

1. 新设计的拥挤距离考虑了滑行延误和燃油消耗的单位成本范围，以控制RoI的范围。在进化过程中对兴趣区域范围的有效控制成功地提高了算法的收敛性。这种改进具有实际意义，因为可以在总时间、燃料消耗和排放量上找到更好的解决方案。

2. 筛选过程被用来选择速度轮廓的一个均匀分布的子集，和从兴趣区间中选择解决方案呈现给决策者。实验强调了均匀分布的解决方案对于节省成本的重要性。

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