基于matlab求解初等几何问题

lyqmath

0 引言

在工程应用、科学计算等领域，计算两条直线的交点是一个较为基础的问题。一般的应该考虑到直线方程的写法和求解交点的方式。这里给出一个具体的处理方式，其基本思想是：首先基于给定的节点定义出直线一般方程，然后求解方程组得到直线方程参数，最后根据得到的两条直线来求解出交点。因此，问题的输入为四个已知节点，输出为由已定节点定义的直线的交点。

1 根据节点计算直线方程并求交点

已知两条直线的节点信息，要求计算出直线的方程与两直线的交点。采用直线的一般方程形式：Y = Ax + By + C，这里的A、B、C就是待求的直线方程参数。

代码

% By lyqmath

% DLUT School of Mathematical Sciences

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clc; clear all; close all;

%% 符号变量

% 定义节点信息

syms x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4

% 定义参数信息

syms A B C

% 定义变量

syms x y

%% 计算A1，B1，A2，B2

% 直线方程——节点1

eq1 = A*x1 + B*y1 + C;

% 直线方程——节点2

eq2 = A*x2 + B*y2 + C;

% 求解参数

sov1 = solve(eq1, eq2, A, B);

% 直线方程——节点3

eq3 = A*x3 + B*y3 + C;

% 直线方程——节点4

eq4 = A*x4 + B*y4 + C;

% 求解参数

sov2 = solve(eq3, eq4, A, B);

% 求解结果——直线1

A1 = simplify(sov1.A / C);

B1 = simplify(sov1.B / C);

% 求解结果——直线2

A2 = simplify(sov2.A / C);

B2 = simplify(sov2.B / C);

% 求解结果：

% A1 = (y1 - y2)/(x1*y2 - x2*y1);

% B1 = (-x1 + x2)/(x1*y2 - x2*y1);

% A2 = (y3 - y4)/(x3*y4 - x4*y3);

% B2 = (-x3 + x4)/(x3*y4 - x4*y3);

%% 求交点

% 直线方程1

eq1 = A1*x + B1*y + 1;

% 直线方程2

eq2 = A2*x + B2*y + 1;

% 求解方程组

sov = solve(eq1, eq2, x, y);

% 显示求解结果

pretty(eq1)

pretty(eq2)

pretty(sov.x)

pretty(sov.y)

结果

因此，根据输入的节点信息，可以得到两条直线方程与直线的交点公式。注意到Matlab做符号计算可能耗时较长，这里根据已有结果编写计算函数如下。

% By lyqmath

% DLUT School of Mathematical Sciences

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function [px, py] = comput_intersec(line1, line2)

% 计算直线交点，直线为结构体，内容为两个节点信息

p1 = line1.point1; p2 = line1.point2; % 第1条边的两点

p3 = line2.point1; p4 = line2.point2; % 第2条边的两点

x1 = p1(1); y1 = p1(2);

x2 = p2(1); y2 = p2(2);

x3 = p3(1); y3 = p3(2);

x4 = p4(1); y4 = p4(2);

% 计算交点

px = (x1*x3*y2 - x2*x3*y1 - x1*x4*y2 + x2*x4*y1 - x1*x3*y4 + x1*x4*y3 + x2*x3*y4 - x2*x4*y3 )/...

(x1*y3 - x3*y1 - x1*y4 - x2*y3 + x3*y2 + x4*y1 + x2*y4 - x4*y2);

py = (x1*y2*y3 - x2*y1*y3 - x1*y2*y4 + x2*y1*y4 - x3*y1*y4 + x4*y1*y3 + x3*y2*y4 - x4*y2*y3 )/...

(x1*y3 - x3*y1 - x1*y4 - x2*y3 + x3*y2 + x4*y1 + x2*y4 - x4*y2);

2 计算直线夹角

根据给定的节点，计算夹角信息，示意图如下。已知X1(x1, y1)、X2(x2, y2)、X3(x3, y3)，计算直线X2X1与X2X3的夹角信息。

根据向量内积，得到计算公式为：

theta1 = acosd(dot([x1-x2,y1-y2],[x3-x2,y3-y2])/(norm([x1-x2,y1-y2])*norm([x3-x2,y3-y2])));

其中，dot([x1-x2,y1-y2],[x3-x2,y3-y2])为计算内积，norm([x1-x2,y1-y2])、norm([x3-x2,y3-y2])为计算向量长度，acosd为计算以度为单位的夹角信息。

3 三角形几何

常见的，给定三个节点，要求计算三角形信息。可以根据本文方法来计算三角形的直线方程与夹角信息。

4 结论

基于matlab求解初等几何问题，可应用到不同领域作为前期或者后期处理。比如数字图像处理的直线性质分析等。往往直线的夹角信息等都可以对问题的解决有重要意义。

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