ctr 平滑_CTR平滑方法

一、Beta分布

从统计机器学习角度上讲，对于某个事件发生的概率，我们一般会假设其服从某一种先验分布。

举个例子，在棒球里可以把击球当做随机事件，只有击中和没击中两种状态，衡量棒球运动员职业技能的一个指标就是棒球击球率(运动员击中的球数／总击球数)，一般认为职业棒球运动员的击球率在0.25-0.3之间，如果击球率能达到0.3以上就可以认为是非常优秀的运动员了。

我们现在希望预测某棒球运动员在新赛季中的击球率。你可以直接以新赛季的击中数／击球数来估计，但这会有一个问题，如果现在是新赛季第一场，他就出场一次就直接出局了，那他的击球率就是０％了？这显然不合理，合理的估计运动员的击球率，需要考虑他的历史信息，如上赛季的击球率，这就是先验信息，而这个先验符合贝塔分布：

$Beta(\alpha,\beta)=\frac{p^{\alpha-1}(1-p)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$

其中

$B(a,b)$ 是归一化函数，保证曲线下的面积总是１，

$p$ 是参数，在这里就是棒球击球率。

我们可以查到该运动员上赛季，共击球100次，其中击中20次，没击中80次。这样我们就有了贝塔分布的参数

$α=20,β=80$ ,如下图蓝色曲线，这就是击球率的贝塔先验。

根据改运动员上赛季的成绩，可以得出其是否能击中的先验概率p=alpha/(alpha+beta)=20/(20+80)=0.2，从上图可以看出他能否击中的概率一般会保持在0.2附近。

那假如该运动员新赛季击球10次，击中3次，那可以认为其击中求的概率为(3+20)/(10+20+80)=0.2091>0.2，而不是3/10=0.3。有了这样一个先验的参数，计算出的命中率会更加平稳，更符合常理。

二、CTR预估

一般可以用一个简单的公式来计算CTR，CTR=click/view，但是直接这样计算有一个很明显的问题，主要是对于一些新广告或展示很少的广告，比如一个新广告，如果展示了2次，点击了1次，我们能否直接认为其CTR为1/2=0.5，而另一个广告，如果其展示了10次，点击了0次，能否直接认为其CTR=0/10=0？这显然不合理，这个结果会对模型造成很大的误导。

根据前面对Beta分布的介绍，其实CTR任务也可以用Beta分布来估计，那根据前面介绍，对于一个广告，其CTR计算可以用如下公式，CTR=(click+alpha)/(view+alpha+beta)，那问题来了，我们如何计算出alpha和beta呢？下面介绍两种方法：矩估计和 Yahoo! Smooth。

三、矩估计

根据beta分布的公式，其期望值和方差可以用如下公式计算：

计算如下公式，可以得出

其中X¯是样本均值，S^2是样本方差，这两个值可以通过计算一段时间广告的点击率的均值和方差得到，这样alpha和beta就可以直接计算出来了。

四、Yahoo! Smooth

首先做两个假设，认为CTR服从beta分布；对于某一广告，给定展示次数时和它自身的ctr，它的点击次数服从一个伯努利分布。

那对于N个广告，其似然函数可以写成如下形式，

然后计算其梯度：

迭代终止条件一般可以设为迭代该算法1000次或delta_alpha和delta_beta的变化小于1E-10(deta_alpha和deta_beta表示alpha和beta的变化值)，这样计算出最后的alpha和beta。

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