最小频移键控 Minimum shift keying(MSK)

最近需要学习MSK，在论坛上看了很多篇文章仍然是云里雾里，倒腾了好多天终于稍微弄清楚了点MSK的调制部分，所以写了这篇浅入浅出的学习笔记。主要参考的是Marvin K.Simon的《Bandwidth-Efficient Digital Modulation with Application to Deep-Space Communications》中前两章部分；欢迎大家指正。

一、 MSK的CPM调制

1.连续相位调制CPM与MSK的关系

Continuous phase modulation(CPM)通过改变载波的相位来反应原信号信息，按调制频率脉冲是一个比特时间还是更长分为全响应和部分响应。全响应中，调制指数h=0.5，任意频率脉冲的为广义MSK。若频率脉冲为一个矩形频率脉冲，则为MSK，若是升余弦，则为sinusodial frequency-shift-keying (SFCK)。而调制指数任意但频率脉冲为矩形的是continuous phase frequency pulse (CPFSK)，此时若调制指数为0.5，则又成为了MSK。部分响应中，以Gaussian minimum-shift-keying(GMSK)最为常见，事实上，在进行MSK调制前将矩形信号脉冲先通过一个高斯型的低通滤波器即可得到GMSK。整个关系在全响应那里有点绕,尝试用markdown的mermaid流程图阐述一下我理解的关系：

Partial response

with rectangular frequency pulse but arbitrary h

with h=0.5 but arbitrary frequency pulse shape

a rectangular frequency pulse shape

a sinusodial frequency pulse shape

h=0.5

Guassian impulse response

CPM

Full response

Partial response

CPFSK

genralized MSK

MSK

SFSK

GMSK

2.Continuous Phase Frequency Modulation Representation (CPFM)

下面进行MSK的CPM调制的数学推导：一个具有连续包络波形的二进制单模CPM信号通式为： s(t)=2EbTbcos(2πfct+ϕ(t,α)+ϕ0),nTb≤t≤(n+1)Tb（1）s(t) = \sqrt{\frac{2E_b}{T_b}} cos(2\pi f_ct+\phi(t,\alpha)+\phi_0), \qquad nT_b\leq t \leq (n+1)T_b \quad（1）s(t)=Tb2Ebcos(2πfct+ϕ(t,α)+ϕ0),nTb≤t≤(n+1)Tb（1）其中。E_b和T_b分别是一个比特的能量和持续时间，f_c是载波频率，ϕ0\phi_0ϕ0是初始相位，可以取0.而ϕ(t,α)\phi(t,\alpha)ϕ(t,α)即是相位调制过程（瞬时相位偏移随m(t)作线性变化），可表示为： ϕ(t,α)=2π∑i≤nαihq(t−iTb)(2)\phi(t,\alpha)=2\pi\sum_{i\leq n} \alpha_ihq(t-iT_b)\qquad (2)ϕ(t,α)=2πi≤n∑αihq(t−iTb)(2) α\alphaα是独立同分布（i.i.d）的二进制序列，相等概率地取±1\pm 1±1，h为调制指数，q(t)为归一化平滑相应（the normalized phase-smoothing response），也就是说，q(t)决定了基本相位(the underlying phase)2παih2\pi\alpha_ih2παih是如何变化的；同时，我们定义q(t)的导数g(t)为第零时刻的信号间隔内产生的瞬时频率脉冲：g(t)=dq(t)dt(3)g(t)=\frac{dq(t)}{dt}\qquad (3)g(t)=dtdq(t)(3) 因此，q(t)可以由g(t)积分得到：q(t)=∫−∞tg(τ)dτ(4)q(t)=\int_{-\infty}^t g(\tau)d\tau \qquad (4)q(t)=∫−∞tg(τ)dτ(4) 由于对于MSK，g(t)是一个矩形脉冲，TbT_bTb内积分面积为12\frac1221 ，且g(t)仅在比特时间间隔内不为0 (g(t) is nonzero only over the bit interval) ，因此q(t)其实是满足下面这个式子的： q(t)={0,t≤012,t≥Tb(5)q(t) =\begin{cases}0, & t \leq 0 \\\frac12, & t\geq T_b\end{cases} \qquad(5)q(t)={0,21,t≤0t≥Tb(5) 从（5）式可以看出，第i个数据αi\alpha_iαi对在TbT_bTb时间后对整个相位有παih\pi\alpha_ihπαih的贡献，这种被修正后的相位变化会持续到之后的所有时间。由于这种相位平滑响应上的重叠，每个信号间隔内的总想为是当前数据和之前所有数据的函数，因此我们说MSK的CPM调制是具有记忆性的，最佳的解调方式是最大似然序列分析（Maximum-likelihood sequence estiymator）对于g(t)，可以由下式来描述： g(t)={12Tb,0≤t≤Tb0,otherwise(6)g(t) =\begin{cases}\frac{1}{2T_b}, & 0\leq t \leq T_b \\0, & otherwise\end{cases} \qquad(6)g(t)={2Tb1,0,0≤t≤Tbotherwise(6) 那么由（4）式定义得到的相位脉冲即为： q(t)={t2Tb,0≤t≤Tb12,t≥Tb(7)q(t) =\begin{cases}\frac{t}{2T_b}, & 0\leq t \leq T_b \\\frac12, & t \geq T_b\end{cases} \qquad(7)q(t)={2Tbt,21,0≤t≤Tbt≥Tb(7) g(t)和q(t)的函数图像如下表示，可以看出q(t)其实是无限延伸的。

现在，结合 h=0.5 和g(t)表达式，我们可以得到MSK的CPM调制表达式： sMSK(t)=2EbTbcos(2πfct+π2Tb∑i≤nα(t−iTb)),nTb≤t≤(n+1Tb)(8)s_{MSK}(t)=\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}cos(2\pi f_ct+\frac{\pi}{2T_b}\sum_{i\leq n}\alpha(t-iT_b) ),\quad nT_b\leq t \leq (n+1T_b) \qquad(8)sMSK(t)=Tb2Ebcos(2πfct+2Tbπi≤n∑α(t−iTb)),nTb≤t≤(n+1Tb)(8) 为了更直观地理解MSK的相位变化，给出其相位树：

可以看出，MSK随时间的相位变化是线性的，其相位树上的路径是斜率为±π2Tb\pm \frac{\pi}{2}T_b±2πTb的直线。每个比特时间的相位变化根据αi\alpha_iαi的极性来决定是π2\frac{\pi}{2}2π还是−π2-\frac{\pi}{2}−2π。且在模2π\piπ的体系下，其偶数时刻的相位是0或π\piπ,奇数时刻的相位是π2\frac{\pi}{2}2π或3π2\frac{3\pi}{2}23π.

二、MSK的正交表示

由于记忆性，CPM需要采用如最大似然序列分析（MLSE）的解调方式，而像MSK这样调制指数h=0.5的全响应调制实际上可以进行无记忆性的I-Q接收。因为MSK调制的发射可以用类似于OQPSK的I-Q形式执行。

1.Equivalent I-Q Representation of MSK

下面进行MSK正交表达式的数学推导：改写(8)式里第n个信号间隔里MSK信号的附加相移为：ϕ(t,α)=π2Tb∑i≤nαi(t−iTb)=αnπ2Tb(t−nTb)+π2∑i≤n−1αi=αnπ2Tbt+xn,\phi(t,\alpha)=\frac{\pi}{2T_b}\sum_{i\leq n} \alpha_i(t-iT_b)=\alpha_n\frac{\pi}{2T_b}(t-nT_b)+\frac\pi2 \sum_{i\leq n-1} \alpha_i=\alpha_n\frac{\pi}{2T_b}t+x_n,ϕ(t,α)=2Tbπi≤n∑αi(t−iTb)=αn2Tbπ(t−nTb)+2πi≤n−1∑αi=αn2Tbπt+xn,nTb≤t≤(n+1)Tb(11)nT_b\leq t\leq (n+1)Tb\qquad\qquad(11)nTb≤t≤(n+1)Tb(11)其中π2∑i≤n−1αi\frac\pi2 \sum_{i\leq n-1} \alpha_i2π∑i≤n−1αi是第n个时间间隔开始时的累积相位。xnx_nxn是使t=nTbt=nT_bt=nTb和t=(n+1)Tbt=(n+1)T_bt=(n+1)Tb处码元相位连续的相位常数，同时其也是模2π2\pi2π的附加相位图路径上的y轴截距。前一个时间间隔的附加相移为：ϕ(t,α)=αnπ2Tb(t−(n−1)Tb)+π2∑i≤n−2αi=αn−1π2Tbt+xn−1,\phi(t,\alpha)=\alpha_n\frac{\pi}{2T_b}(t-(n-1)T_b)+\frac\pi2 \sum_{i\leq n-2} \alpha_i=\alpha_{n-1}\frac{\pi}{2T_b}t+x_{n-1},ϕ(t,α)=αn2Tbπ(t−(n−1)Tb)+2πi≤n−2∑αi=αn−12Tbπt+xn−1,(n−1)Tb≤t≤nTb(12)(n-1)T_b\leq t\leq nTb\qquad\qquad(12)(n−1)Tb≤t≤nTb(12)对比（11）式和（12）式，为使相位在t=nTbt = n T_bt=nTb处连续，要求：αnπ2Tb(nTb)+xn=αn−1π2Tb(nTb)+xn−1(13)\alpha_n\frac{\pi}{2T_b}(nT_b)+x_n=\alpha_{n-1}\frac{\pi}{2T_b}(nT_b)+x_{n-1}\qquad(13)αn2Tbπ(nTb)+xn=αn−12Tbπ(nTb)+xn−1(13)即xn=xn−1+πn2(αn−1−αn)(14)x_n=x_{n-1}+\frac{\pi n}{2}(\alpha_{n-1}-\alpha_n)\qquad (14)xn=xn−1+2πn(αn−1−αn)(14)由该递归式可知在给定初始条件x0x_0x0的情况下，任何时间间隔内的xnx_nxn都可以被确定。注意到(αn−1−αn)(\alpha_{n-1}-\alpha_n)(αn−1−αn)是一个分别以概率1/2，1/4，1/4取值于0，+1，-1的三元随机变量。因此，由(14)可知，当αn−1=αn\alpha_{n-1}=\alpha_nαn−1=αn时，xn=xn−1x_n=x_{n-1}xn=xn−1，当αn−1≠αn\alpha_{n-1}\neq\alpha_nαn−1̸=αn时，xn=xn−1±πnx_n=x_{n-1}\pm\pi nxn=xn−1±πn。如果取= 0 ，可以发现在模2π2\pi2π时取值0或π\piπ。由(8)和(11)，通过三角公式展开，可得： sMSK(t)=2EbTb（cosϕ(t,α)cos2πfct−sinϕ(t,α)sin2πfct),nTb≤t≤(n+1Tb)）(15)s_{MSK}(t)=\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}（cos\phi(t,\alpha)cos2\pi f_ct-sin \phi(t,\alpha)sin2\pi f_ct),\quad nT_b\leq t \leq (n+1T_b) ）\qquad(15)sMSK(t)=Tb2Eb（cosϕ(t,α)cos2πfct−sinϕ(t,α)sin2πfct),nTb≤t≤(n+1Tb)）(15) 其中 cosϕ(t,α)=cos(απ2Tbt+xn)=±cos(απ2Tbt)=±cosπ2Tbt=ancosπ2Tbt,令an=cosxn=±1cos\phi(t,\alpha)=cos(\alpha\frac{\pi}{2T_b}t+x_n)=\pm cos(\alpha\frac{\pi}{2T_b}t)=\pm cos\frac{\pi}{2T_b}t=a_ncos\frac{\pi}{2T_b}t,令a_n=cosx_n=\pm1 cosϕ(t,α)=cos(α2Tbπt+xn)=±cos(α2Tbπt)=±cos2Tbπt=ancos2Tbπt,令an=cosxn=±1sinϕ(t,α)=sin(απ2Tbt+xn)=±sin(απ2Tbt)=±αsinπ2Tbt=bnsinπ2Tbt,令bn=αncosxn=±1sin\phi(t,\alpha)=sin(\alpha\frac{\pi}{2T_b}t+x_n)=\pm sin(\alpha\frac{\pi}{2T_b}t)=\pm \alpha sin\frac{\pi}{2T_b}t=b_nsin\frac{\pi}{2T_b}t,令b_n=\alpha_n cosx_n=\pm1 sinϕ(t,α)=sin(α2Tbπt+xn)=±sin(α2Tbπt)=±αsin2Tbπt=bnsin2Tbπt,令bn=αncosxn=±1 (16)\qquad\qquad\qquad\qquad(16) (16)最后用(16)代替(15)可以得到MSK的I-Q形式： sMSK(t)=2EbTb(anC(t)cos2πfct−bnS(t)sin2πfct),nTb≤t≤(n+1)Tb(17)s_{MSK}(t)=\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}(a_nC(t)cos2\pi f_ct-b_nS(t)sin2\pi f_ct),\quad nT_b\leq t \leq (n+1)T_b \qquad(17)sMSK(t)=Tb2Eb(anC(t)cos2πfct−bnS(t)sin2πfct),nTb≤t≤(n+1)Tb(17) 其中 C(t)=cosπt2TbC(t)=cos\frac{\pi t}{2T_b} C(t)=cos2Tbπt S(t)=sinπt2TbS(t)=sin\frac{\pi t}{2T_b} S(t)=sin2Tbπt(18)\qquad\qquad\qquad\qquad(18)(18)是同相分量（I）和正交分量（Q）的脉冲波形，即二进制数据序列{ana_nan},{bnb_nbn}的正弦型加权函数。

2.MSK信号与FSK的联系

下面通过MSK的I-Q形式来讨论MSK信号与FSK的联系:用积化和差公式对（17）中成分进行变形，得到：C(t)cos2πfct=12cos[2π(fc+14Tb)t]+12cos[2π(fc−14Tb)t]S(t)sin2πfct=−12cos[2π(fc+14Tb)t]+12cos[2π(fc−14Tb)t](19)C(t)cos2\pi f_ct=\frac12cos[2\pi(f_c+\frac{1}{4T_b})t]+\frac12cos[2\pi(f_c-\frac{1}{4T_b})t]\\ S(t)sin2\pi f_ct=-\frac12cos[2\pi(f_c+\frac{1}{4T_b})t]+\frac12cos[2\pi(f_c-\frac{1}{4T_b})t]\\ \qquad(19) C(t)cos2πfct=21cos[2π(fc+4Tb1)t]+21cos[2π(fc−4Tb1)t]S(t)sin2πfct=−21cos[2π(fc+4Tb1)t]+21cos[2π(fc−4Tb1)t](19)代入（17）得：sMSK(t)=2EbTb[(an+bn2)cos[2π(fc+14Tb)]+(an−bn2)cos[2π(fc−14Tb)]],nTb≤t≤(n+1)Tb(20)s_{MSK}(t)=\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}\bigl[(\frac{a_n+b_n}{2})cos[2\pi(f_c+\frac{1}{4T_b})]+(\frac{a_n-b_n}{2})cos[2\pi(f_c-\frac{1}{4T_b})]\bigr],\quad nT_b\leq t \leq (n+1)T_b\qquad(20)sMSK(t)=Tb2Eb[(2an+bn)cos[2π(fc+4Tb1)]+(2an−bn)cos[2π(fc−4Tb1)]],nTb≤t≤(n+1)Tb(20)因此，当α=1时an=bn\alpha=1时a_n=b_nα=1时an=bn，有sMSK(t)=2EbTbcos[2π(fc+14Tb)t](21)s_{MSK}(t)=\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}cos[2\pi(f_c+\frac{1}{4T_b})t]\qquad(21)sMSK(t)=Tb2Ebcos[2π(fc+4Tb1)t](21)此时频率为fc+14Tbf_c+\frac{1}{4T_b}fc+4Tb1.
当α=−1时an=−bn\alpha=-1时a_n=-b_nα=−1时an=−bn，有sMSK(t)=2EbTbcos[2π(fc−14Tb)t](21)s_{MSK}(t)=\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}cos[2\pi(f_c-\frac{1}{4T_b})t]\qquad(21)sMSK(t)=Tb2Ebcos[2π(fc−4Tb1)t](21)此时频率为fc−14Tbf_c-\frac{1}{4T_b}fc−4Tb1.
即α=1α= 1α=1时，MSK信号频率为fc+14Tbf_c+\frac{1}{4T_b}fc+4Tb1，α=−1α= -1α=−1时，MSK信号频率为fc−14Tbf_c-\frac{1}{4T_b}fc−4Tb1；通过信号频率的变化反应信息，属于一种FSK频移键控。

3.MSK与OQPSK的联系

MSK是一种特殊的OQPSK；先补充OQPSK的相关知识

QPSK和OQPSK 正交相移键控：

Quadriphase-Shift-Keying(QPSK) 是多进制相移键控 M-ary phase-shift-keying (M-PSK) 当M=4时的一种特殊情况，此时Ts=Tblog2M=2TbT_s=T_blog_2M=2T_bTs=Tblog2M=2Tb，相位取值集合{βi}={π43π45π47π4}\{\beta_i\}=\{\frac{\pi}{4}\frac{3\pi}{4}\frac{5\pi}{4}\frac{7\pi}{4}\}{βi}={4π43π45π47π}，其实数域上的数学表达式为：s(t)=PmI(t)cos(2πfct+θc)−PmQ(t)sin(2πfct+θc),s(t)=\sqrt{P}m_I(t)cos(2\pi f_c t +\theta_c)-\sqrt{P}m_Q(t)sin(2\pi f_c t +\theta_c),s(t)=PmI(t)cos(2πfct+θc)−PmQ(t)sin(2πfct+θc),mI(t)=∑n=−∞∞aInp(t−nTs),mQ(t)=∑n=−∞∞aQnp(t−nTs)(9)m_I(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_{In}p(t-nT_s),m_Q(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_{Qn}p(t-nT_s) \qquad (9)mI(t)=n=−∞∑∞aInp(t−nTs),mQ(t)=n=−∞∑∞aQnp(t−nTs)(9)显然，当aIn和aQna_{In}和a_{Qn}aIn和aQn同时改变时，相位可能发生180°的跳变，这种幅度上大范围的波动是我们所不希望看到的，因此，我们将同相分量和正交分量错开Ts2s\frac{T_s}{2}s2Tss的时间，得到带偏移量的正交相移键控 Offset (Staggered) Quadriphase-Shift-Keying ，这样一来，aIn和aQna_{In}和a_{Qn}aIn和aQn不会同时发生改变，将相位波动缩小到了90°以内，包络跳动更小，频谱旁瓣也更小（the smaller the flfluctuation, the smaller the sidelobe regeneration and vice versa)。其实数域上的数学模型为： s(t)=PmI(t)cos(2πfct+θc)−PmQ(t)sin(2πfct+θc),s(t)=\sqrt{P}m_I(t)cos(2\pi f_c t +\theta_c)-\sqrt{P}m_Q(t)sin(2\pi f_c t +\theta_c),s(t)=PmI(t)cos(2πfct+θc)−PmQ(t)sin(2πfct+θc),mI(t)=∑n=−∞∞aInp(t−nTs),mQ(t)=∑n=−∞∞aQnp(t−(n+12)Ts)(10)m_I(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_{In}p(t-nT_s),m_Q(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_{Qn}p(t-(n+\frac12)T_s) \qquad (10)mI(t)=n=−∞∑∞aInp(t−nTs),mQ(t)=n=−∞∑∞aQnp(t−(n+21)Ts)(10) 而对于多进制相移键控来说存在相位模糊的问题(M-fold phase ambiguity),为了解决这个问题引入差分编码(differential encoding)；以上都是为了更好的理解从正交看MSK与OQPSK的联系所作的铺垫，不继续深入讨论。

下面讨论MSK与OQPSK的联系：

由(18)可知：由于C(t)和S(t)是彼此Tb的偏移，则由(18)式表示的S_MSK(t)可能是半正弦脉冲成型的OQPSK形式。为了证实这一点，进一步讨论实际的I-Q数据序列{ana_nan}、{bnb_nbn}和输入序列{αi\alpha_iαi}之间的关系以及改变规律。由于每个比特时间内αi\alpha_iαi都可能变化，ana_nan和bnb_nbn也同样可能在每个比特时间里变化。然而由于式(14)相位连续性的约束，实际上ana_nan仅在C(t)的过零点改变，bnb_nbn仅在S(t)的过零点改变。又C(t)和S(t)的过零点各自是间隔2T_b的，因此a_n和b_n在每2T_b时间处是连续的（不发生跳变，如下图）:

进一步由于C(t)和S(t)的波形以2T_b为周期，可以用在I和Q通道的合成的正的有时限脉冲来把这个符号变化和I-Q序列本身相结合。特别地，定义脉冲波形为：
p(t)={sinπt2Tb,0≤t≤2Tb0,otherwise(22)p(t) =\begin{cases}sin\frac{\pi t}{2T_b}, & 0\leq t \leq 2T_b \\0, & otherwise\end{cases} \qquad(22)p(t)={sin2Tbπt,0,0≤t≤2Tbotherwise(22)
这里需要注意到sinπt2Tbsin\frac{\pi t}{2T_b}sin2Tbπt的周期为4T_b，因此在0≤t≤2Tb0\leq t \leq 2T_b0≤t≤2Tb时，p(t)恒为正，则MSK的I-Q表达可以表示为：
sMSK(t)=2EbTb(dc(t)cos2πfct−ds(t)sin2πfct),nTb≤t≤(n+1)Tb(23)s_{MSK}(t)=\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}(d_c(t)cos2\pi f_ct-d_s(t)sin2\pi f_ct),\quad nT_b\leq t \leq (n+1)T_b \qquad(23)sMSK(t)=Tb2Eb(dc(t)cos2πfct−ds(t)sin2πfct),nTb≤t≤(n+1)Tb(23)
其中，
dc(t)=∑ncnp(t−(2n−1)Tb)ds(t)=∑ndnp(t−2nTb)(23)d_c(t)=\sum_n c_np(t-(2n-1)T_b)\\ d_s(t)=\sum_n d_np(t-2nT_b)\\ \qquad(23) dc(t)=n∑cnp(t−(2n−1)Tb)ds(t)=n∑dnp(t−2nTb)(23)而cn=(−1)na2n−1dn=(−1)nb2n(24)c_n=(-1)^na_{2n-1}\\d_n=(-1)^nb_{2n}\\ \qquad(24)cn=(−1)na2n−1dn=(−1)nb2n(24)
为完成MSK和正弦脉冲成形OQPSK的类比，需要理解从输入序列{α_n}获得(24)需要的I-Q序列的特征，即{a_2n-1}和{b_2n}是{α_n}的差分编码{V_n}序列的奇偶分量。以下图为例：

从图中还可以看出，b2n和a2n-1不会在同一个Tb里发生改变，保证了载波相位不会发生180°的跳变，符合OQPSK的特性。
最终得到MSK的I-Q表示如下图所示。

从图中可以看到MSK的生成类似于OPQSK，只不过脉冲波形是半正弦而不是矩形，另外，以1/T_s作串并变换前对输入序列进行了差分编码。
最后，式(20)的MSK表达式同样可以以差分编码的形式写出：
对奇数n：
sMSK(t)=2EbTb[(vn−1+vn2)cos[2π(fc+14Tb)]−(vn−1−vn2)cos[2π(fc−14Tb)]],nTb≤t≤(n+1)Tb(25)s_{MSK}(t)=\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}\bigl[(\frac{v_{n-1}+v_n}{2})cos[2\pi(f_c+\frac{1}{4T_b})]-(\frac{v_{n-1}-v_n}{2})cos[2\pi(f_c-\frac{1}{4T_b})]\bigr],\quad nT_b\leq t \leq (n+1)T_b\qquad(25)sMSK(t)=Tb2Eb[(2vn−1+vn)cos[2π(fc+4Tb1)]−(2vn−1−vn)cos[2π(fc−4Tb1)]],nTb≤t≤(n+1)Tb(25)
对偶数n：
sMSK(t)=2EbTb[(vn−1+vn2)cos[2π(fc+14Tb)]+(vn−1−vn2)cos[2π(fc−14Tb)]],nTb≤t≤(n+1)Tb(26)s_{MSK}(t)=\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}\bigl[(\frac{v_{n-1}+v_n}{2})cos[2\pi(f_c+\frac{1}{4T_b})]+(\frac{v_{n-1}-v_n}{2})cos[2\pi(f_c-\frac{1}{4T_b})]\bigr],\quad nT_b\leq t \leq (n+1)T_b\qquad(26)sMSK(t)=Tb2Eb[(2vn−1+vn)cos[2π(fc+4Tb1)]+(2vn−1−vn)cos[2π(fc−4Tb1)]],nTb≤t≤(n+1)Tb(26)
写在一个式子中即：
sMSK(t)=2EbTb[(vn−1+vn2)cos[2π(fc+14Tb)]+(−1)n(vn−1−vn2)cos[2π(fc−14Tb)]],nTb≤t≤(n+1)Tb(27)s_{MSK}(t)=\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}\bigl[(\frac{v_{n-1}+v_n}{2})cos[2\pi(f_c+\frac{1}{4T_b})]+(-1)^n(\frac{v_{n-1}-v_n}{2})cos[2\pi(f_c-\frac{1}{4T_b})]\bigr],\quad nT_b\leq t \leq (n+1)T_b\qquad(27)sMSK(t)=Tb2Eb[(2vn−1+vn)cos[2π(fc+4Tb1)]+(−1)n(2vn−1−vn)cos[2π(fc−4Tb1)]],nTb≤t≤(n+1)Tb(27)

三、MSK的CPM调制和I-Q调制仿真

关于MSK的调制网上有很多Matlab仿真程序，这里附上我的，唯一的优点就是注释非常详细…
MSK的CPM调制
MSK的正交调制程序还没有通过审核，有机会再补上，如若需要可以去我的主页里下载。

下面是部分仿真波形

CPM调制

I-Q调制

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前言导读: LTE无线通信的核心技术:OFDM正交频分复用是比较难理解的技术点,网络中已经有很多大量的介绍,也有不少相对不错的图文并茂的解读.然而,网络中对OFDM的阐述,有两点不足:(1)大多是理论 ...
256qam调制星座图_5G调制怎么实现的？一文读懂
大家好,今天我们来聊聊调制.说到调制,我想很多同学马上会联想到这些关键词:BPSK.QPSK.调幅.调相.QAM.星座图-- 众所周知,调制和解调是通信基本业务流程中的重要组成部分.没有它们,我们的移 ...
数字调制系列：IQ调制基本理论
数字调制系列:IQ调制基本理论 http://bbs.eeworld.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=1072375&page=1
matlab 调制解调,基于Matlab调制与解调的实现
<基于Matlab调制与解调的实现>由会员分享,可在线阅读,更多相关<基于Matlab调制与解调的实现(15页珍藏版)>请在人人文库网上搜索. 1.基于Matlab调制与解调的 ...
《通信原理》课程设计-基于matlab的am信号的调制与解调,AM调制解调与解调器抗干扰性能研究系统...
<AM调制解调与解调器抗干扰性能研究系统>由会员分享,可在线阅读,更多相关<AM调制解调与解调器抗干扰性能研究系统(10页珍藏版)>请在人人文库网上搜索. 1.哈尔滨商业大学课 ...
网络工程师(软考)学习笔记8--数字调制技术及脉冲编码调制
笔者在早些时候已经通过了软件考试的网络工程师,因为以前学习的时候比较赶,当时也是备考研究生入学考试,很多概念也是模糊不清的,现在想重新复习网络工程师的教程,理清概念,同时也是为了下一阶段网络规划师打好 ...

MSK的CPM调制和I-Q调制