卡尔曼滤波理论小释之卡尔曼增益

卡尔曼增益是卡尔曼滤波理论中的一个核心概念。一般教材里面是这么给出它的公式的：

图1 卡尔曼增益

直觉上容易理解，所谓的增益是指每次融合数据后不确定性的变化程度。如果融合了新的数据后不确定性降低了，那么这个增益就是正面的，有助于提高预测的准确度。如果不确定性反而升高了，那么这个增益就是负面的，对于系统预测的准确性反而起了反面作用。

注意这里的“不确定性”，是用每次估计的随机变量的协方差来量化表示的。每次迭代融合时协方差都会变化，卡尔曼增益也随之变化。因此迭代计算协方差，进而计算卡尔曼增益是整个滤波计算过程中的重要环节。

有了增益计算的公式，接下来就是卡尔曼更新公式，常见的是以下形式：

图2 更新公式

一般教材里并没有给出这个公式是怎么来的，而是把这个公式当作自明，直接用定义的形式给出；

其中Kn是卡尔曼增益。(Zn − Xn,n−1) 被定义为innovation（Innovation有的译作”新息“，有的译作”残差“。”新息“翻译得还算能理解，”残差“这个词译得就有点晦涩）。直觉上这个公式也的确好理解，就是我们每次做新的估计时，把新的测量数据对上次估计值的增量部分，以卡尔曼增益为比例融入新的估计值。

然而这毕竟只是直觉上的感性认识，一般教材这么写是因为便于学生理解，并不是严格的数学推导。那为什么更新公式可以写成这种形式呢？

证明有若干种。其中一种较为简单而又不失严谨的是从概率密度函数乘积的思路着手给出的。这个证明以贝叶斯估计的结论为基础作为出发点：

图3 贝叶斯估计

其中，

图4

记

图5

则有：

图6

在卡尔曼滤波的语境下，

图7

都服从高斯分布，这样实际上我们在计算两个高斯分布的乘积，所得新分布的期望和方差为：

图8

继续对图9中第一个等式进行变换，

我们得到

图9

其中：

图10

图9就是图2中的更新公式的形式，图10就是用协方差形式表达的卡尔曼增益。

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