蚁群算法解决多峰函数优化问题

一、多峰优化问题概述
        多峰函数优化问题在实际应用中大量存在，多峰函数是指有多个极值点的函数，这些极值点可能相同，也可能不同。
二、蚁群问题解决函数多峰寻优问题思想
        以一维函数y=f（x）的极小值寻优为例，对函数多峰值寻优进行研究。若为函数极大值寻优，可以将问题转化成y=-f（x）的极小值寻优，所求的极大值为y=-f（x）的极小值的相反数。
蚁群算法基本思想如下：
        为方便起见，不妨设函数y=f（x）的定义域为[a，b]。首先将[a，b]划分成若干个长度相等的小区间，这些小区间记为{I1，I2…In}，区间Ii的中点记为x。设与区间Ii相邻的区间为I（i+1）（或者I（i-1）），假设Ii和I（i+1）之间有一条虚拟的边e（Ii，I（i+1）），该边的权重（虚拟距离）和f（xi）-f（x（i+1））的大小有关，f（xi）-f（x（i+1））越大，蚂蚁从区间Ii转移到区间I（i+1）的可能性就越大。蚂蚁从区间Ii转移到区间l（i+1）后，要留下信息素，所留信息素的大小是一个与f（xi）-f（x（i+1））有关的量，区间I（i+1）的信息素越多，就越吸引相邻区间蚂蚁向其转移。
        蚂蚁经过许多次转移之后，有的区间含有许多蚂蚁，而有的区间则不含蚂蚁。那些含有蚂蚁的区间正是包含极值点的区间，不含蚂蚁的区间，不大可能包含极值点。取出包含蚂蚁的区间，并将它们重新细化，重复上述搜索过程，直到细化后的区间足够小。最后，蚂蚁都停留在了极值点附近，蚂蚁所在的区间的中点位置正是极值点的位置。
三、具体实现步骤
1.蚁群初始分布
        首先将问题的定义域[a，b]进行n等分，等分后的各区间长度为β=(b-a)/n各区间记为{I1,I2,…In}，其中Ii（i=1…n）表示第i个区间，则
                                         11=[a+(i-1)β,a+iβ]
式中a+(i-1)β、a+iβ分别为区间Ii的左、右端点。区间I1的中点位置记为xi，则
                                                 xi=a+(i-1/2)β
        初始时刻，在每个区间的中点位置放置一只蚂蚁，记这n只蚂蚁为a1，a2…an，，蚂蚁a1位于区间I1的中点位置x1。每一个位置xi对应一个函数值f（xi）。ti（t）表示t时刻子区间Ii上的信息量，在初始时刻各子区间的信息量相等，设ti(0)=const（const为正常数）。初始化各子区间的信息素增量△ti=0，（i=1…n）。

2.蚁群转移规则
         不妨用neighbor(Ii)表示与区间Ii邻近的区间集合，则对于一维函数

位于区间Ii的蚂蚁向其邻近区间Ij进行转移，假设Ii和Ij之间有一条虚拟的边e（li，Ij），该边的权重为|f(xi)-f(xj)|，则启发函数nij=|f(xi)-f(xj)|
设蚂蚁ak当前处于区间Ii，若f(xi)-f(xj)>0，蚂蚁ak就可以转移到其邻近区间Ij；否则，蚂蚁不向其转移。设用allowedk：表示蚂蚁ak（k=1…n）下一步可以转移的子区间的集合。
        用pij(t)表示第t次循环蚂蚁ak从子区间I1转移到子区间Ij的概率，模仿基本蚁群算法，定义蚂蚁ak的转移概率如下：
式中，a为信息启发式因子，β为期望启发式因子。tj为子区间Ij的信息量，如果蚂蚁ak依概率从子区间Ii转移到了子区间Ij,那么蚂蚁ak当前所在的子区间就为Ij。

3.信息素更新
         如果蚂蚁ak依概率从子区间Ii转移到了子区间Ij,那么蚂蚁ak就会在区间Ij留下信息素，所留信息素的量用△tjf(t)表示，则

式中，C1是一个正常数。f(xi)-f(xj)越大，蚂蚁ak留下的信息素就越多，就越吸引其他蚂蚁向区间Ij转移。
        所有转移到区间Ij的蚂蚁都要留下相应的信息素，假设在第t次循环，有q只蚂蚁转移到了区Ij,记这q只蚂蚁为aj1，aj2.，ajq，，它们留在区间Ij的信息素总和为△tj(t)，则

式中，p为信息素挥发系数，因此1-p是信息素残留因子。
4.缩小蚁群搜索空间
        函数值较小的区间含有的信息素会较多，更容易吸引蚂蚁向其转移。经过一些循环，当所有蚂蚁都停止转移的时候，蚁群分布就会出现这样的特点：所有蚂蚁都分布在极值点较小的区间，而其他区间则没有蚂蚁，即含有蚂蚁的区间包含极小值点。取出这些包含蚂蚁的区间，并将这些区间重新细化，在下一次循环时，让蚁群在这些区间重新搜索极小值点。如此循环下去，蚁群的搜索范围就会越来越小，当细化后的区间足够小的时候，所有蚂蚁就会停留在极值点附近，蚂蚁所停留的区间的中点位置就是极值点的位置。
四、算法实现
Step1（初始化）将问题的定义域[a，b]进行n等分，设等分后的各区间的长度为β，停止门限为e。在每个区间的中部放置一只蚂蚁，初始化各区间的初始信息量ti(0)，信息素增量△ti=0。
Step2 While(β>e)
{
Step2.1：所有蚂蚁根据式（3-1）进行邻近区间转移。
Step2.2：根据式（3-2）、（3-3）、（3-4）进行信息素更新。
Step2.3：当所有蚂蚁都不再进行邻近区间转移时，更新蚁群的搜索范围，即只将蚁群最终聚集的区间进行细化（设细化后的区间个数为nl）。计算细化后的区间长度，并将其赋值给β。
}

***Step3***结果输出。蚂蚁最终聚集的子区间就是含极值点的子区间，该子区间中间位置即为极值点位置。
值得注意的是，如果x是多维变量，将向量的每一维变量看作一个区间，进行等分。这些各自等分的区间结合起来就构成了一些小空间，在这些等分空间的中间位置各放置一只蚂蚁，重复上述搜索过程进行搜索，这个多维空间的所有极值点就会被找到。
五、实例
（ps：matlab代码不是很熟悉就直接用了大佬的代码
源代码链接：https://blog.csdn.net/weixin_43267645/article/details/103763344）

function value = fun_value(point) %求函数值的函数value=(point(1)+2*point(2)-7)^2+(2*point(1)+point(2)-5)^2;
endfunction main
count1=1;
D=zeros(3,length(-200:10)^2);%第一行为函数值，第二三行为坐标
n=length(-200:10);
t=length(-200:10)^2;
for x=-10:200for y=-200:10D(1,count1)=fun_value([x,y])+4;D(2,count1)=x;D(3,count1)=y;count1=count1+1;end
endm = 100;                              % 蚂蚁数量
alpha = 1.5;                           % 信息素重要程度因子
beta = 0.8;                            % 启发函数重要程度因子
rho = 0.1;                           % 信息素挥发因子
Q = 140;                               % 信息素释放增强系数
Eta = 1./D(1,:);                          % 启发函数
Tau = ones(1,t);                     % 信息素矩阵
Table = zeros(1,m);                  % 函数值记录表,每一行代表一个蚂蚁走过的路径
iter = 1;                            % 迭代次数初值
iter_max = 20;           % 最大迭代次数
target_index1=zeros(1,m);     %存放每个蚂蚁到达的点的坐标
Length_best = zeros(iter_max,1);     % 各代最小函数值
Length_ave = zeros(iter_max,1);      % 各代平均函数值 % V. 迭代寻找最佳路径
while iter <= iter_maxfor i=1:m  % 逐个蚂蚁路径选择P=zeros(1,t);for k=1:t % 逐个点选择P(k) = Tau(k)^alpha* Eta(k)^beta;endp= P/sum(P);% 计算选取某一个点概率Pc = cumsum(p);     target_index = find(Pc>= rand); %轮盘赌法target = D(1,target_index(1)); target_index1(i)=target_index(1);Table(i)=target;           end                                                                    Length_best(iter)=target  % 更新信息素Delta_Tau = zeros(1,t);% 逐个蚂蚁计算for i = 1:m   Delta_Tau(target_index1(i)) = Delta_Tau(target_index1(i)) + Q/Table(i);endTau = (1-rho) * Tau + Delta_Tau;Table=zeros(1,m);iter=iter+1
end
c=1:iter_max;Length_best(end)plot(c,Length_best,'-')end

运行效果：

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