量子计算为算法指数加速：Shor‘s algorithm

周期函数：
f ( x ) = a x m o d N f(x) = a^x \bmod{N} f(x)=axmodN

问题：如何找到一个周期函数的周期r？

Shor’s algorithm

Shor’s solution中函数U： U ∣ y ⟩ ≡ ∣ a y m o d N ⟩ U|y\rangle \equiv |ay \bmod N \rangle U∣y⟩≡∣aymodN⟩

接下来，我们可以多次作用U，便可以得到周期函数f的结果：
U ∣ 1 ⟩ = ∣ 3 ⟩ U 2 ∣ 1 ⟩ = ∣ 9 ⟩ U 3 ∣ 1 ⟩ = ∣ 27 ⟩ ⋮ U ( r − 1 ) ∣ 1 ⟩ = ∣ 12 ⟩ U r ∣ 1 ⟩ = ∣ 1 ⟩ \begin{aligned} U|1\rangle &= |3\rangle & \\ U^2|1\rangle &= |9\rangle \\ U^3|1\rangle &= |27\rangle \\ & \vdots \\ U^{(r-1)}|1\rangle &= |12\rangle \\ U^r|1\rangle &= |1\rangle \end{aligned} U∣1⟩U2∣1⟩U3∣1⟩U(r−1)∣1⟩Ur∣1⟩=∣3⟩=∣9⟩=∣27⟩⋮=∣12⟩=∣1⟩

因此第一个想法便是构建叠加态，然后测量相同f(x)的x的叠加态。

So a superposition of the states in this cycle ( ∣ u 0 ⟩ ) (|u_0\rangle) (∣u0⟩) would be an eigenstate of U:

∣ u 0 ⟩ = 1 r ∑ k = 0 r − 1 ∣ a k m o d N ⟩ |u_0\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{r}}\sum_{k=0}^{r-1}{|a^k \bmod N\rangle} ∣u0⟩=r 1k=0∑r−1∣akmodN⟩

This eigenstate has an eigenvalue of 1, which isn’t very interesting. A more interesting eigenstate could be one in which the phase is different for each of these computational basis states. Specifically, let’s look at the case in which the phase of the kth state is proportional to k:

∣ u 1 ⟩ = 1 r ∑ k = 0 r − 1 e − 2 π i k r ∣ a k m o d N ⟩ U ∣ u 1 ⟩ = e 2 π i r ∣ u 1 ⟩ \begin{aligned} |u_1\rangle &= \tfrac{1}{\sqrt{r}}\sum_{k=0}^{r-1}{e^{-\tfrac{2\pi i k}{r}}|a^k \bmod N\rangle}\\[10pt] U|u_1\rangle &= e^{\tfrac{2\pi i}{r}}|u_1\rangle \end{aligned} ∣u1⟩U∣u1⟩=r 1k=0∑r−1e−r2πik∣akmodN⟩=er2πi∣u1⟩

∣ u s ⟩ = 1 r ∑ k = 0 r − 1 e − 2 π i s k r ∣ a k m o d N ⟩ U ∣ u s ⟩ = e 2 π i s r ∣ u s ⟩ \begin{aligned} |u_s\rangle &= \tfrac{1}{\sqrt{r}}\sum_{k=0}^{r-1}{e^{-\tfrac{2\pi i s k}{r}}|a^k \bmod N\rangle}\\[10pt] U|u_s\rangle &= e^{\tfrac{2\pi i s}{r}}|u_s\rangle \end{aligned} ∣us⟩U∣us⟩=r 1k=0∑r−1e−r2πisk∣akmodN⟩=er2πis∣us⟩

We now have a unique eigenstate for each integer value of s where
0 ≤ s ≤ r − 1 0 \leq s \leq r-1 0≤s≤r−1. Very conveniently, if we sum up all these eigenstates, the different phases cancel out all computational basis states except ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩:

1 r ∑ s = 0 r − 1 ∣ u s ⟩ = ∣ 1 ⟩ \tfrac{1}{\sqrt{r}}\sum_{s=0}^{r-1} |u_s\rangle = |1\rangle r 1s=0∑r−1∣us⟩=∣1⟩

Example:

在通过U进行变化操作之后，我们得到的结果为：
∣ 1 ⟩ = 1 r ( ∣ u 0 ⟩ + ∣ u 1 ⟩ + ⋯ + ∣ u r − 1 ⟩ ) |1\rangle=\frac{1}{\sqrt{r}}\left(\left|u_{0}\right\rangle+\left|u_{1}\right\rangle+\cdots+\left|u_{r-1}\right\rangle\right) ∣1⟩=r 1(∣u0⟩+∣u1⟩+⋯+∣ur−1⟩)

之后通过QPE(Inverse Fourier Transform)，测得Phase:
ϕ = s r \phi = \frac{s}{r} ϕ=rs

coding

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from qiskit import QuantumCircuit, Aer, transpile, assemble
from qiskit.visualization import plot_histogram
from math import gcd
from numpy.random import randint
import pandas as pd
from fractions import Fractiondef c_amod15(a, power):"""Controlled multiplication by a mod 15"""if a not in [2,7,8,11,13]:raise ValueError("'a' must be 2,7,8,11 or 13")U = QuantumCircuit(4)        for iteration in range(power):if a in [2,13]:U.swap(0,1)U.swap(1,2)U.swap(2,3)if a in [7,8]:U.swap(2,3)U.swap(1,2)U.swap(0,1)if a == 11:U.swap(1,3)U.swap(0,2)if a in [7,11,13]:for q in range(4):U.x(q)U = U.to_gate()U.name = "%i^%i mod 15" % (a, power)c_U = U.control()return c_U
# Specify variables
n_
count = 8  # number of counting qubits
a = 7
def qft_dagger(n):"""n-qubit QFTdagger the first n qubits in circ"""qc = QuantumCircuit(n)# Don't forget the Swaps!for qubit in range(n//2):qc.swap(qubit, n-qubit-1)for j in range(n):for m in range(j):qc.cp(-np.pi/float(2**(j-m)), m, j)qc.h(j)qc.name = "QFT†"return qc# Create QuantumCircuit with n_count counting qubits
# plus 4 qubits for U to act on
qc = QuantumCircuit(n_count + 4, n_count)# Initialize counting qubits
# in state |+>
for q in range(n_count):qc.h(q)# And auxiliary register in state |1>
qc.x(3+n_count)# Do controlled-U operations
for q in range(n_count):qc.append(c_amod15(a, 2**q), [q] + [i+n_count for i in range(4)])# Do inverse-QFT
qc.append(qft_dagger(n_count), range(n_count))# Measure circuit
qc.measure(range(n_count), range(n_count))
qc.draw(fold=-1)  # -1 means 'do not fold' qasm_sim = Aer.get_backend('qasm_simulator')
t_qc = transpile(qc, qasm_sim)
qobj = assemble(t_qc)
results = qasm_sim.run(qobj).result()
counts = results.get_counts()
plot_histogram(counts)

rows, measured_phases = [], []
for output in counts:decimal = int(output, 2)  # Convert (base 2) string to decimalphase = decimal/(2**n_count)  # Find corresponding eigenvaluemeasured_phases.append(phase)# Add these values to the rows in our table:rows.append([f"{output}(bin) = {decimal:>3}(dec)", f"{decimal}/{2**n_count} = {phase:.2f}"])
# Print the rows in a table
headers=["Register Output", "Phase"]
df = pd.DataFrame(rows, columns=headers)
print(df)

这个算法中还有一些问题值得讨论，如傅里叶变化究竟如何起作用？
其实简单来说，就是把与结果无关的状态通过干涉，让其振幅为0。

其他的一些问题也欢迎讨论，对这个算法的思考就不一一列居于此。

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