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积分 学方法

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Sergio Albeverio Sylvie Paycha Sergio Searlatti

I． 量 芋 场 论

1． 引冒

从某种程度上讲，泛函积分是一个奇特的领域． 方面它是一个形式 (henrlstle)工具，

在物理学家 (及化学家)的手中，可以与备种不同的量相联系而做形式计算 (例如在摄动理

论中)，然而要试 图证明所做的运算是合理的，刚将会遇到难以解决的数学问题t所求值的

积分没有定义，有时即使假定可 以给 出定义，但对它们所做的运算却与数 学 的合理性 (jus—

tifieatlons)相悖．另一方面，虽然某些类型的泛函积分有恰当的 (welldefined)数学理论，

例如早在20年代，Wiener~l进的Wiener积分就是一个原型，但这一数学理论很少涉及或用于

形式泛闻积分．数学理论与物理学习惯 (praxis)之间的差距是巨大的，在某种 意 义上说，

这一隔阂是数学家和物理学家关系的复杂历史中的唯一现象．努力缩小这一差距对我们来说

是一个巨大的挑战．然而我们认为，从长远的观点来看，如果物理学不想退化为一套没有基

本合理性的运算规则，而数学上的泛函积分也不想失去它所能具有的最好的实例的话，这样

的努力就是绝对必要的．

本文我们试 图给出泛函积分的一些数学方法概观．在此我们仅讨论适于玻色 (boson)理

论的泛函积分，而完垒不考虑研究费米 (fermlon)理论中出觋的泛函积分 (甚至这儿不讨论

超对称泛函积分 1))．众所周知，有两种基本类型 的泛 函积分 ．

A)Feynman型积分：这些积分是振荡积分 (联系于双 曲型方程，伪微分算子，Fourier ’

算子积分，渡动方程，……)

B)Wiener型积分I这些积分是概率积分 (联系于椭圆及抛物 问题，势论 扩散，……、． o

我们首先通过这两类积分的各 自有限维情形来看二者之不同特点：

^) ，(，)=f，()eJ， ，，中为足上的实值函数．

{ 原 西IA shert0"v-erview ofmaLhem aLfca1aPPr0ache8t0 t'uncLionalfnLegration．译 自I8FB一

237一PreprintNr．B1InstiLutfar M aLhem aLjk Ruhn—UniversiLhL Bochtim 8epLem her 1989

．

1) 在 “玻色情形 ，我们 也仅仅只能讨 论几千论题 ．在省 略 (或倥仅 都井地探讨) 的论题 中，我们适应提一下关于

相对论性单质点的 (振荡型厦概率型)数学机道积井方法 (Dirac方程 殛 Klein一0Ordon方程) ，参见[135)，[23]，

[49]，[51]，[53]，[1253，^126]，关于 随机 8chrSdinger算子，见[6s3，[1443，[160]·美于polyiner$，见[2]．应

用机遭积井方法 的另一 领 域 就 是 境计力学，觅[1163。[11刀，[155]，[156]，[160]．美于流体动力学 ，觅[1183． 显拣

省略 的论西并不意殊著鄢十领域里，没有在教学上有价值 的结果 ．正祖匣t 略去这些论冠仅位是 因为要涉匣 它 1n将 需 要

更 多 的空 闻和对 阿．倒如我们不得不较 多地 略去和』用概率桎面租井得 出的拓 扑绪论 的教学 由来 (参 见[63]·[119—121]·

[1S6]，[1373厦[155] 计毪)。我们希望将 来有机舍重回此艇以及其它蚵萼．

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