原码,反码,补码详解及原理
原码,反码,补码详解及原理
原码
原码:在数值前直接加一符号位的表示法。
例如: 符号位 数值位
byte的取值范围
[+7]原= 0 0000111 B[-7]原= 1 0000111 B
注意:
byte的取值范围是-27~ 27-1 总计256个数
即:
无符号位 0~255 (因为计算机是从0开始计算的而不是1)
有符号位 -128 ~ +127
反码
浮点表示方法
反码:正数:正数的反码与原码相同。负数:负数的反码,符号位为“1”,数值部分按位取反。例如: 符号位 数值位
[+7]反= 0 0000111 B
[-7]反= 1 1111000 B
注意:1000 0000 B 不等于0 而是 -128
+127 +1 = -128
即 0111 1111 B+1 = 1000 0000 B
也就是发生了 byte值溢出
8位二进制反码的表示范围:-127~+127
为什么 -128 的二进制会是1000 0000;
1000 0000 (原) = 1111 1111(反)
那么问题来了: 64+32+16+8+4+2+1 = 127 为什么会有128呢?
原来 负数的反码是需要补码来计算的,也就是在最后得出的结果上 +1
注意:计算机中只有 +0 而不存在 -0的说法,因为-0是完全没有意义的存在,
即:只有 0000 0000 = +0
而没有 1000 0000 = -0
1000 0000的真实身份是 -128
(3)补码的表示方法
1)模的概念:把一个计量单位称之为模或模数。例如,时钟是以12进制进行计数循环的,即以12为模。在时钟上,时针加上(正拨)12的整数位或减去(反拨)12的整数位,时针的位置不变。14点钟在舍去模12后,成为(下午)2点钟(14=14-12=2)。从0点出发逆时针拨10格即减去10小时,也可看成从0点出发顺时针拨2格(加上2小时),即2点(0-10=-10=-10+12=2)。因此,在模12的前提下,-10可映射为+2。由此可见,对于一个模数为12的循环系统来说,加2和减10的效果是一样的;因此,在以12为模的系统中,凡是减10的运算都可以用加2来代替,这就把减法问题转化成加法问题了(注:计算机的硬件结构中只有加法器,所以大部分的运算都必须最终转换为加法)。10和2对模12而言互为补数。
同理,计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制(假设字长为8),因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出,又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模,显然,8位二进制数,它的模数为2^8=256。在计算中,两个互补的数称为“补码”。
2)补码的表示:
正数:正数的补码和原码相同。
负数:负数的补码则是符号位为“1”。并且,这个“1”既是符号位,也是数值位。数值部分按位取反后再在末位(最低位)加1。也就是“反码+1”。
例如: 符号位 数值位
[+7]补= 0 0000111 B
[-7]补= 1 1111001 B
补码在微型机中是一种重要的编码形式,请注意:
a. 采用补码后,可以方便地将减法运算转化成加法运算,运算过程得到简化。正数的补码即是它所表示的数的真值,而负数的补码的数值部分却不是它所表示的数的真值。采用补码进行运算,所得结果仍为补码。
b. 与原码、反码不同,数值0的补码只有一个,即 [0]补=00000000B。
c. 若字长为8位,则补码所表示的范围为-128~+127;进行补码运算时,应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。
转换
由于正数的原码、补码、反码表示方法均相同,不需转换。
在此,仅以负数情况分析。
(1) 已知原码,求补码。
例:已知某数X的原码为10110100B,试求X的补码和反码。
解:由[X]原=10110100B知,X为负数。求其反码时,符号位不变,数值部分按位求反;求其补码时,再在其反码的末位加1。
1 0 1 1 0 1 0 0 原码
1 1 0 0 1 0 1 1 反码,符号位不变,数值位取反
1 +1
1 1 0 0 1 1 00 补码
故:[X]补=11001100B,[X]反=11001011B。
(2) 已知补码,求原码。
分析:按照求负数补码的逆过程,数值部分应是最低位减1,然后取反。但是对二进制数来说,先减1后取反和先取反后加1得到的结果是一样的,故仍可采用取反加1 有方法。
例:已知某数X的补码11101110B,试求其原码。
解:由[X]补=11101110B知,X为负数。
采用逆推法
1 1 1 0 1 1 1 0 补码
1 1 1 0 1 1 0 1 反码(末位减1)
1 0 0 1 0 0 1 0 原码(符号位不变,数值位取反)
示例:
请大家来做两个题目:有符号数运算时的溢出问题
两正数相加怎么变成了负数???
1)(+72)+(+98)=?
0 1 0 0 1 0 0 0 B +72
0 1 1 0 0 0 1 0 B +98
1 0 1 0 1 0 1 0 B -86
两负数相加怎么会得出正数???
2)(-83)+(-80)=?
1 0 1 0 1 1 0 1 B -83
1 0 1 1 0 0 0 0 B -80
0 1 0 1 1 1 0 1 B +93
思考:这两个题目,按照正常的法则来运算,但结果显然不正确,这是怎么回事呢?
答案:这是因为发生了溢出。
如果计算机的字长为n位,n位二进制数的最高位为符号位,其余n-1位为数值位,采用补码表示法时,可表示的数X的范围是 -2的n-1次幂≤X≤2的n-1次幂-1
当n=8时,可表示的有符号数的范围为-128~+127。两个有符号数进行加法运算时,如果运算结果超出可表示的有符号数的范围时,就会发生溢出,使计算结果出错。很显然,溢出只能出现在两个同符号数相加或两个异符号数相减的情况下。
对于加法运算,如果次高位(数值部分最高位)形成进位加入最高位,而最高位(符号位)相加(包括次高位的进位)却没有进位输出时,或者反过来,次高位没有进位加入最高位,但最高位却有进位输出时,都将发生溢出。因为这两种情况是:两个正数相加,结果超出了范围,形式上变成了负数;两负数相加,结果超出了范围,形式上变成了正数。
而对于减法运算,当次高位不需从最高位借位,但最高位却需借位(正数减负数,差超出范围),或者反过来,次高位需从最高位借位,但最高位不需借位(负数减正数,差超出范围),也会出现溢出。
在计算机中,数据是以补码的形式存储的,所以补码在C语言的教学中有比较重要的地位,而讲解补码必须涉及到原码、反码。
在n位的机器数中,最高位为符号位,该位为零表示为正,为一表示为负;其余n-1位为数值位,各位的值可为零或一。当真值为正时,原码、反码、补码数值位完全相同;当真值为负时,原码的数值位保持原样,反码的数值位是原码数值位的各位取反,补码则是反码的最低位加一。注意符号位不变。
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