一、前言

一、原码、反码、补码定义

1. 原码

2. 反码

3. 补码

二、补码的加减计算

一、前言

首先，要知道计算机底层都以二进制表示，数字也不例外，那么，如果数字加减运算的话，要怎么算呢？

在计算机内部只有加法器，既产生数的和的装置，在电子学中，加法器为一种数位电路，可进行加法运算。

对于十以内的加法运算，有相关的4个量：

被加数 A
加数 B
数字相加之和 S
相加之后的进位 C

为什么考虑进位呢？要想想计算机不是人，他要按部就班的进行计算，我们初学加法不也是进行进位运算嘛，所以这一位记录是整个运算算法必要的数据。

十进制我们了解了，那么二进制有什么不一样呢？

二进制只有0和1,1+1就会产生进位，如果我们只考虑1+1的话，用上面四个数据就可以了，但是，只有1+1能做什么呢？变成两位怎么算？那每一位要怎么做？

比如11 + 01（从右向左一次为第一位和第二位）第一位相加要进位，那么对于第二位来说是不是要处理第一位产生的进位呢！这时假设第二位是你要操作的位，就要比第一位多出一个要处理的数据。

所以，对于二进制普遍处理而言，二进制加法要处理5个量：

被加数 A
加数 B
前一位的进位 CIN
数字相加之和 S
相加之后的进位 COUT

要实现32位的二进制加法，一种自然的想法就是将1位的二进制加法重复32次（即逐位进位加法器）。这样做无疑是可行且易行的，但由于每一位的CIN都是由前一位的COUT提供的，所以第2位必须在第1位计算出结果后，才能开始计算；第3位必须在第2位计算出结果后，才能开始计算，等等。而最后的第32位必须在前31位全部计算出结果后，才能开始计算。这样的方法，使得实现32位的二进制加法所需的时间是实现1位的二进制加法的时间的32倍，并且形成的电路是不规则的，并且需要长线驱动，需要大驱动信号和大扇入门。当位数较多时，这种实现方式不太现实。后续的优化算法大家可以自行了解，这里不多说。

总的来说，加法器相对于加减器好实现，但是十位数转换成二进制进行减法计算就产生问题。这是就出现了原码、反码、补码，以便全部用加法计算。

一、原码、反码、补码定义

1. 原码

原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:

[+1]原 = 0000 0001

[-1]原 = 1000 0001

第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:

[1111 1111 , 0111 1111]

即

[-127 , 127]

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.

2. 反码

反码的表示方法是:

正数的反码是其本身

负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反.

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反

可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.

3. 补码

补码的表示方法是:

正数的补码就是其本身

负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.

二、补码的加减计算

首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了。

于是人们开始探索将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码：

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。

为了解决原码做减法的问题, 出现了反码：

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0。

于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原

这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补

-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)

使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.

首先以十进制5+6为例：(这里用八位二进制数表示)

已知，正数的原码、反码、补码相等。

十进制二进制原码二进制反码二进制补码

5 --> 0000 0101 0000 0101 0000 0101

6 --> 0000 0110 0000 0110 0000 0110

5+6 = 11 --> 0000 1011

转换为十进制 11

减法运算（注：减法运算要把加法变为加法并用补码运算，运算完成后转换为原码）

-6-5 ==> -6+(-5)

十进制           二进制原码   二进制反码二进制补码

-6 --> 1000 0110 1111 1001   1111 1010

-5 --> 1000 0101 1111 1010 1111 1011

-6-5 = -11      -->      1111 0101

补码减一         反码原码

1111 0101 (-1) 1111 0100 1000 1011

转换为十进制         -11

三、数值类型运算越界问题

1.数值类型所占字节

基本类型

字符类型

'a'-->字符 "ab"-->字符串 '\n'-->特殊字符

char 1字节

unsigned char 无符号字符类型

signed char 有符号字符类型

整型

短整型 short 2字节（存储最大的数65535）

unsigned signed

整型 int 4字节（65535*65535）（与操作系统有关16位为16bit，32位为32bit）

长整型 long 4字节

长长整型 long long 8字节

实型（浮点类型）

单精度浮点类型

float 4字节

双精度浮点类型

double 8字节

多精度浮点类型

long double 12字节

枚举类型

enum（）

由上述整理可知，同一种无符号数据类型和有符号数据类型可写入的数据长度相同，但数据范围不同，那么以int（32bit）为例，无符号数越界后会怎样呢？

首先，int类型可以存储4字节（1byte字节 = 8bit ），也就是说可以存储4*8bit（位）的0或1，那么对于无符号数来说，存储的最大数为1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 ，最小数为0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 + 1 结果如下：

1 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

已知int类型会事先开辟32位来存储0、1，而超过的数字会被省略掉，那到底是左面的数字被“挤”出去了，还是右面的数字被“挤”出去了呢？

这就需要引入一个新概念，大端系统和小端系统。

大端存储模式，是指数据的低位保存在内存的高地址之中，而数据的高位保存在内存的低地址之中，小端的存储模式自然就是，数据的低位保存在内存的低地址中，而数据的高位保存在内存的高地址中。


int main()
{int i = 1;int ret = i >> 8;if (ret== 0)printf("小端存储");elseprintf("大端存储");return 0;
}

如果1是小端存储的话那么0000 0001 这最后一个1就在低地址位，在右移的时候就会丢失，那么补全0之后得出来的数字就是0.如果要是大端存储的话1000 0000 这个1就在最前边，如果你右移8位的时候就不会丢失这个1，得出来就不是1。所以能判段是大端还是小端。

测试后，ubunt系统为小端存储，那么他就是从右向左，依次存储代码，也就是说当他定义的位不够时，最左面超额的部分就会被省略，那么越界后的数值在转换时不会再“合理”，好了，回到上一个问题，32位1的数值+1后的结果到底为什么，现在已经很清楚了吧，为0。

1 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1被挤出int范围后面的为产生数值

继续+1

1 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 结果为1

1 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 结果为2

... ...

1 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 结果为*********

到这里你会发现，这些数值在int类型中形成了一个循环，当最大值+1时，会变回最小值，后续的计算会变得不准确，这也就是众多越界的一种越界，所以定义时一定记得检查定义的类型。

那现在无符号int已知晓，那么有符号int类型是否一样呢？

我们这里还是以最大值举例（因为最高位为符号位，符号位为1，代表负数）

0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 原码

0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 +1

0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 反码

0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 补码

1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 利用补码与1运算（+1）

两个正数进行＋运算时结果的原码、补码、反码按照正数计算，当结果生成时，若原本的符号位因此发生改变，则产生越界。

1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 结果

（有符号int最高位为1时，他发生越界后结果正常为-0，但是对我们人来说，+0、-0并没有意义，所以-0被定义为-2147483648（32bit系统），这时最高位既是符号位也是真值，所以转换成上述值）

可以看到，这里也被进行循环，这些循环在一些特殊地方有特殊用法，在下还不了解，就不叙述了。

#include <stdio.h>int main(int argc, const char *argv[])
{
#if 0int i = 1;int ret = i >> 8;if (ret== 0)printf("小端存储\n");elseprintf("大端存储\n");
#endifint a,b = -2147483648;a = 0x7fffffff;printf("%d\n",a);a++;                                                                        printf("%d\n",a);printf("%#x\n",a);return 0;
}

gcc编译器测试结果如下：

不对处，欢迎指正！

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2. 反码

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1.数值类型所占字节

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