sdoi2009 [动态规划状态压缩DP] 学校食堂

背景

飘逸的EWF组合~

描述

小F的学校在城市的一个偏僻角落，所有学生都只好在学校吃饭。学校有一个食堂，虽然简陋，但食堂大厨总能做出让同学们满意的菜肴。当然，不同的人口味也不一定相同，但每个人的口味都可以用一个非负整数表示。
由于人手不够，食堂每次只能为一个人做菜。做每道菜所需的时间是和前一道菜有关的，若前一道菜的对应的口味是a，这一道为b，则做这道菜所需的时间为（a or b）-（a and b），而做第一道菜是不需要计算时间的。其中，or和and表示整数逐位或运算及逐位与运算，C语言中对应的运算符为”｜”和”＆”。
学生数目相对于这个学校还是比较多的，吃饭做菜往往就会花去不少时间。因此，学校食堂偶尔会不按照大家的排队顺序做菜，以缩短总的进餐时间。
虽然同学们能够理解学校食堂的这种做法，不过每个同学还是有一定容忍度的。也就是说，队伍中的第i个同学，最多允许紧跟他身后的Bi个人先拿到饭菜。一旦在此之后的任意同学比当前同学先拿到饭，当前同学将会十分愤怒。因此，食堂做菜还得照顾到同学们的情绪。
现在，小F想知道在满足所有人的容忍度这一前提下，自己的学校食堂做完所有菜最少需要多少时间。

格式

输入格式

输入文件的第一行包含一个正整数C，表示测试点的数据组数。
每组数据的第一行包含一个正整数N，表示同学数。
每组数据的第二行起共N行，每行包含两个用空格分隔的非负整数Ti和Bi，表示按队伍顺序从前往后的每个同学所需的菜的口味和这个同学的忍受度。
每组数据之间没有多余空行。

输出格式

输出文件包含C行，每行一个整数，表示对应数据中食堂完成所有菜所需的最少时间。

样例

样例输入
2
5
5 2
4 1
12 0
3 3
2 2
2
5 0
4 0
样例输出
16
1

限制

各个测试点1s

提示

【样例说明】
对于第一组数据：
同学1允许同学2或同学3在他之前拿到菜；同学2允许同学3在他之前拿到菜；同学3比较小气，他必须比他后面的同学先拿菜……
一种最优的方案是按同学3、同学2、同学1、同学4、同学5做菜，每道菜所需的时间分别是0、8、1、6及1。

【数据规模和约定】
对于30%的数据，满足1 ≤ N ≤ 20。
对于100%的数据，满足1 ≤ N ≤ 1,000，0 ≤ Ti ≤ 1,000，0 ≤ Bi ≤ 7，1 ≤ C ≤ 5。
存在30%的数据，满足0 ≤ Bi ≤ 1。
存在65%的数据，满足0 ≤ Bi ≤ 5。
存在45%的数据，满足0 ≤ Ti ≤ 130。

这道题是真真正正把我难住了QAQ，主要是涉及到dp的状态压缩，这类题写的不多，对于dp蒟蒻的我思维复杂度又比较高，自己想了很久，又看了别人的代码想了很久，然后又写了两遍，算是搞清楚了。

用 f[i][j][k] 表示前 i-1 个人都吃了饭， i..i+7 号人吃饭状况为 j （用二进制数表示各种情况），最后一个吃饭的与 i 相距 k 。

那么如果 j&1==1，说明 i 这个人已经吃了，那么 f[i][j][k] 就可以转移为f[i+1][j>>1][k-1]。此处说明一下： i+1 是因为第 i 个人已经吃了，那么现在可以考虑第 i+1 个人；j>>1与上一步同理，现在不用考虑 i 了，所以 i..i+7 就要整体往后移一格，也就是 j>>1 ;k-1是因为让 i 吃饭的 k 这个人距离 i 为 k 那么距离 i+1 就为 k-1 。（希望我讲清楚了= =）。

那如果 j&1==0 呢？这时我们需要枚举 i..i+7 中还没有吃饭的，在 i 以及 i..i+7 的人的容忍范围内让他吃饭。

以下是代码，并且写了注释方便复习：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
int a[1001],b[1001];
int f[1001][1<<8][20];//设f[i][j][k]表示前i-1个人都吃了饭，
int bin[20];        //i..i+7号人吃饭状况为j，最后一个吃饭的与i相距k
const int INF=0x7f7f7f7f;
int cal(int i,int j)
{if(!i)return 0;return (a[i]|a[j])-(a[i]&a[j]);
}
int main()
{bin[0]=1;for(int i=1;i<=10;i++)//i..i+7吃饭的所有情况用二进制数保存 bin[i]=bin[i-1]<<1;int t;scanf("%d",&t);while(t--){memset(f,INF,sizeof f);int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i]>>b[i];f[1][0][8-1]=0;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=0;j<=bin[8]-1;j++)//此处必须是bin[8]-1而不能是bin[8]，很容易想到：最大状态是11111111而不是100000000。二进制数保存 //for(int k=-8;k<=7;k++)//最大容忍度为7，所以可以从-8到7if(f[i][j][k+8]<INF){if(j&1)//如果j&1==1，则第i个人已经吃饭可以转移到f[i+1][j>>1][k-1]f[i+1][j>>1][k-1+8]=min(f[i+1][j>>1][k-1+8],f[i][j][8+k]);else{int t=i+b[i];for(int l=0;l<=7;l++)if((j&bin[l])==0)//第i+j个人还没吃 {if(i+l>t)break;//在第i..i+7个人的容忍范围内 t=min(t,i+l+b[i+l]);f[i][j^bin[l]]/*让第j个人吃*/[8+l]=min(f[i][j^bin[l]][8+l],f[i][j][k+8]+cal(i+k,i+l));}}}int ans=INF;for(int i=-8;i<=-1;i++)ans=min(f[1+n][0][i+8],ans);printf("%d\n",ans);}
}

对于我算是很有价值的一道题了。

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