Assessing systemic risk due to fire sales spillover through maximum entropy network reconstruction

摘要：监测和评估金融市场的系统性风险非常重要，但它往往需要无法获得的或可获得的非常低频率的数据。因此，有部分信息的系统性风险评估可能对监管机构和其他利益攸关方非常有用。本文利用Greenwood等人定义的风险度量，考虑了低价出售溢出和投资组合再平衡引起的系统性风险。通过使用基于交叉熵约束最小化的方法，我们表明，可以评估汇总和单一银行的系统性和脆弱性，只使用关于每家银行规模和每项投资资产资本化的信息。我们还比较了我们的方法与另一种广泛应用的最大熵原理，允许导出图形概率分布和生成场景，我们利用它提出了一个统计测试，以改变银行对系统性事件的脆弱性。

1. 导言

近年来全球经济陷入困境，两次严重危机（2007年金融市场危机和2010年主权债务危机）使整个经济体系陷入困境银行对系统性事件的脆弱性是学术界越来越多调查的主要焦点。同时，许多研究工作致力于了解银行或广义上的金融机构在创造和传播系统性风险方面的作用。鉴于该专题的突出重要性及其多面性，关于系统事件的评价和预期的文献是巨大的。
有几个是金融困境可能从一个机构传播到另一个机构的渠道，最终影响到全球经济的很大一部分。由于资产流动性不足和共同投资组合持有而引发的折价销售溢出无疑是系统性风险的主要驱动因素之一。共同投资在金融机构之间造成了投资组合的重大重叠。这种（间接）金融相互关联是一个重要的传染源，由于单一市场参与者的部分资产清算预计会影响到与其共同投资的很大一部分其他市场参与者。折价销售由于资产流动性有限和市场影响而变动价格，在一个流动性很好的市场里，根本不会有折价销售的蔓延。最后，杠杆放大了这种反馈。杠杆化的机构不断重新平衡他们的头寸，加剧了正面（最重要的是）负面资产的价格变化。
因此，对监管机构、决策者和金融市场的其他参与者来说，评估和监测因销售溢出引起的系统性风险至关重要。格林伍德等人（2015年）最近推出了一种风格化的折价销售模式，其中流动性不足、目标杠杆和投资组合重叠是组成部分。他们利用该模型提出了两个系统性风险指标：银行的系统性和脆弱性。考虑到市场冲击，首先是银行的困境导致的系统总损失百分比，第二种是银行在整个系统陷入困境时所经历的总百分比损失。为了计算这些数量，需要充分了解所有银行的投资组合构成，因为银行的系统性和脆弱性取决于投资组合和其他银行的杠杆作用。
格林伍德等人（2015年）将其方法应用于2011年7月欧洲压力测试得出的欧洲银行管理局数据。这些数据提供了欧洲联盟90家最大银行的详细资产负债表。 Duarte and Eisenbach (2013)利用公开的美国银行控股公司资产负债表数据集来应用Greenwood et al. (2015).该框架。它们得出了总体脆弱性的衡量标准，[.]在2008年秋季达到高峰，但从2005年开始显著增加，超过了许多其他系统性风险指标。
然而，一般而言，可能无法获得计算此类系统性风险指标所需的详细信息。例如，欧洲压力测试数据是零星的。此外，资产负债表数据的抽样频率很少高于季度。因此，一个重要的问题是，在缺乏关于金融中介机构投资组合构成的数据的情况下，是否有可能估计由于折价出售溢出而造成的系统性风险。
文献中提出了两种可能的方法。第一个纯粹是计量经济，通常是基于公开的资产价格和公开报价金融机构的市场权益价值数据。一般来说，该方法包括估计条件变量，如条件Value-at-Risk或条件预期短落。计量经济学方法避免了投资组合持有数据的缺乏，但由于引入了一个强有力的平稳性假设：基于过去信息的估计被认为总是系统未来行为的良好预测因子。然而，由于全球金融危机的性质，正是在危难时刻，平稳假设可能无法正常工作。此外，它往往仅限于公开引用的机构，这些机构每天都有股票价值。
本文所遵循的第二种可能的方法是，只使用减少但容易获得的信息集推断投资组合持有量的矩阵和/或推导一个问题，根据某种准则推导投资组合权重的概率分布。这通常是为了召唤最大熵原理，该原理假定(Anand等人，2013年)[.]在已知约束下[.]最能代表的概率分布这是我们目前的知识，这是最小偏置是一个最大熵。最大熵的方法，至少可以用两种不同的方法，我们在下面清楚地区分，在系统性风险研究中并不是新的。它被广泛用于推断银行间网络的结构，当只有银行间借贷总额的数据（加上可能的其他信息）可用。
网络重建的一部分是熵方法在经济科学中的广泛应用。例如，它在计量经济学中被广泛用于概率密度的估计，因为它在这方面有大量的贡献。当投资者对现实的概率结构不确定时，为了避免模棱两可，使用相对熵作为惩罚的一种方式。在这方面，重要的是要澄清，我们隐含地采用最大熵原理的监管机构（或社会规划师）观点，无论是网络创建背后的决策过程，都只关心对系统性风险的无偏估计。因此，我们的观点可以被认为与模糊厌恶文学所采用的观点是正交的，在这种意义上，我们对最大熵原则的解密纯粹是推理性的，它无意以任何方式模仿银行创造网络的决策过程，以及同时，系统性风险的普遍水平。
本文提出将最大熵方法应用于投资组合权网络的推理，以估计折价销售溢出引起的系统性风险的度量。具体来说，我们展示了当只有部分信息（每家银行的规模和每项资产的资本化）可用时，如何估计美国商业银行的间接脆弱性、系统性(由Greenwood等人，2015年定义)和总体系统性风险。与银行间研究不同(如Anand等人，2015年；Mastromatteo等人，2012年；Mistrulli，2011年)，我们处理二分网络，即图4，其节点可分为两个完全可分的集合，在我们的例子中，是商业银行和资产类别。更具体地说，我们利用联邦金融机构考试委员会(FFIEC)通过Call Report文件分析了2001-2013年期间美国商业银行风险敞口季度网络，我们计算每个季度每个银行的系统性和脆弱性以及系统的总脆弱性。我们将它们与假设银行资产负债表组成不为人所知的推断值进行比较。在这个意义上，我们的论文类似于Mistrulli（2011），但适用于由于折价溢出而产生的系统性风险，而不是银行间网络中的级联，与银行间案例不同，我们发现新引入的最大熵方法在评估部分信息被利用时，由于折价溢出而导致的系统性风险时非常准确。
本文的贡献主要分为两部分。首先，遵循一种在学术机构和中央银行的研究人员中广泛传播的做法(see, among others, Mistrulli, 2011; Sachs, 2014; Sheldon and Maurer, 1998; Upper and Worms, 2004; Wells, 2004), 我们重建投资组合持有量的矩阵，从最初的猜测使交叉熵最小化。尽管这种方法通常被称为最大熵，或矩阵平衡，为了避免与下面讨论的不同方法混淆，我们将其称为交叉熵。我们表明，这种方法在我们的情况下做得很好，提供了由Greenwood等人定义的系统风险度量的无偏估计（2015）。此外，我们还表明，重构矩阵与资本资产定价模型所隐含的矩阵相对应，因此具有明确的经济意义。
其次，我们将交叉熵与熵最大化的不同方法进行了比较，它允许通过在适当的约束下最大化熵来定义图（集合）的概率质量函数，其中一些平均量被设置为等于数据中观察到的量。尽管这种方法的经济直觉比以前的方法不那么尖锐，但该方法在文献中很普遍，并且允许执行场景生成。我们提出了一个新的集合，称为MECAPM，它(I)满足一组经济动机的约束；（二）其行为与前面提出的交叉熵法一样平均；（三）允许情景生成，可能有助于监督当局检验某一特定机构是否增加了过去的系统性。
我们的论文结构如下。 第2节介绍了一些术语，并简要描述了Greenwood等人的风险度量（2015）。 第3节讨论了FFIEC提供的美国商业银行数据集。 第4节中，我们提出了交叉熵法，并给出了它在系统风险估计中的性能。 第5节中，我们比较了交叉熵法和最大熵替代法，它导出了图的概率分布。除其他外，这有助于对中央银行和其他监管机构的监督活动进行统计测试。最后，第6节总结了本文的主要贡献。附录提供了关于银行组合持有量数据集的构建和所有分析计算的补充信息。

2. 系统性风险指标：脆弱性和系统性

在本文中，我们使用了一些由于折价销售系统风险的指标，这是最近由Greenwood等人介绍（2015）。它们考虑由NNN个银行和KKK个资产类别组成的系统。投资组合持有量由N×KN×KN×K矩阵XXX描述，其元素Xn,kX_{n,k}Xn,k是银行nnn持有的kkk型资产的美元金额。因此，相应的投资组合权重矩阵为

在下面，我们引入了XXX元素的离散化，使得矩阵XXX属于N×KN×KN×K整数值矩阵的空间NN×KN^{N×K}NN×K。在实证应用中使用数据集的数级为10310^3103。
第nnn银行的总资产规模AnA_nAn和第k资产类别的总资本CkC_kCk很容易分别计算为公式中矩阵Xn,kX_{n,k}Xn,k的总行和列和，

其中我们明确表示了AnA_nAn和CkC_kCk对X的依赖性。方阵X可以自然地与二部网络相关联，i.e. 顶点可被划分为两个不相交的集合，使得每个边将一个集合中的顶点连接到另一个集合中的顶点。
有关每家银行的资产负债表n的相关信息是总股本，从中可以计算出杠杆率为

最后，每个资产类别的特征是一个非流动性参数lk,k=1,...,Kl_k,k=1,...,Klk,k=1,...,K，定义为资产k每美元净购买的回报率。此设置用于Greenwood等人（2015年）界定系统风险的三个指标，捕捉折价销售对资产价格冲击的影响。这是由K维向量−ε=(−ε1，...，−εK)−ε=(−ε_1，...，−ε_K)−ε=(−ε1，...，−εK)描述的，其组成部分是资产的冲击。

综合脆弱性 AV作为[.]总银行股本的百分比，将被银行去杠杆化，如果资产回报有冲击[.]。
银行系统性 SnS_nSn作为银行n对综合脆弱性的贡献。
银行的间接脆弱性 IVNIV_NIVN是[.]冲击通过其他银行的去杠杆化对其股本的影响。

通过假设银行遵循杠杆瞄准的做法，并且为了应对负面资产冲击，它们将资产按冲击前资产组合持有量的比例出售，Greenwood et al. (2015)表明SnS_nSn可以分解为

其中E是总股本，rnr_nrn是向量r=Wεr=Wεr=Wε的第n个元素，即由于冲击ε，银行n的投资组合回报，

综合脆弱性的计算如下：

银行的间接脆弱性是

在下面的内容中，我们经常假设，如在Duarte和Eisenbach（2013）中，所有k=1，…，K的εk=1%ε_k=1\%εk=1%，这反过来意味着在Eq（2)和(4）中rn=1%r_n=1\%rn=1%。然而，请注意，如果所有资产都被相同的数额所冲击，我们的结果就不依赖于它，因为系统性风险测度只会有不同的前因素。在4.1.1节中，我们考虑其他冲击场景来测试我们方法的鲁棒性。最后，我们将所有资产类别的流动性参数设置为lk=10−10l_k=10^{−10}lk=10−10，但现金除外，我们将lk=0l_k=0lk=0(如Duarte和Eisenbach，2013；Greenwood等，2015)。作为最后的评论，应该指出(Greenwood等人，2015年)对这个问题又增加了两个限制。第一，当一家银行的直接损失超过其股本时，银行就会清算所有资产。第二，杠杆上限为30。在我们的实证调查中，我们遵循了(Duarte和Eisenbach，2013年)，他们没有添加这些约束。然而，我们已经比较了美国银行系统的总体脆弱性（使用的数据见下一节）在这两个模型规范下。我们发现，这一差异不到1%，除了2009年底左右的几个季度达到10%。
重要的是要强调Greenwood et al. (2015)等估计系统风险指标的方法基本上是静态的。由于压力测试是标准的，因此考虑了给定时间的价格变化，然后，考虑到当时平衡银行的资产负债表和投资组合组成，计算了去杠杆化和折价销售的后果。因此，在方法中从未使用过资产负债表或价格上的过去信息（即使有）。这当然是一个限制，因为在某一季度如何去杠杆化的决定在现实中也取决于过去的市场价格行为以及最后一个季度的去杠杆化。这种扩展虽然有趣，但超出了Greenwood（2015）模型等的范围以及绝大多数应力测试方法。它需要选择价格变动超过一个季度的情况，并且能够将由于过去去杠杆化的根本原因导致的价格变动分开，动态应力测试的定义显然超出了我们论文的范围，我们将坚持标准的静态应力测试方法。与Duarte和Eisenbach（2013）一样，在下面的经验应用中，我们将考虑对每个可用季度进行压力测试，丢弃来自过去季度的所有信息。因此，即使我们显然正在处理长度为ttt的投资组合的时间序列，事实上，我们正在重复ttt倍（静态）压力测试。
在下一节中，我们将介绍我们在分析中使用的数据集来度量系统风险，这是Greenwood等人的度量所捕获的。（2015年），在美国银行业。这样的数据集使我们能够对系统性、总体性和间接脆弱性进行季度估计，将这些估计与从交叉熵方法和最大熵原理推断的估计进行比较。由于我们必须同时处理真实的和重建的（或从统计集合中采样的）网络，从现在开始，我们遵循惯例，在任何变量xxx中添加一个上标x∗x^*x∗，指的是一个真实的（观察到的）网络，而变量x在没有上标的情况下表示每次它被引用到重建的网络时。

3. Data

美国所有受监管的金融机构都必须向其现任监管机构提交定期财务信息。联邦金融机构审查委员会是负责收集和维护我们分析中使用的数据的监管机构。我们调查的金融机构是商业银行和储蓄贷款协会。FFIEC正式将商业银行定义为：“一家由股东拥有、以盈利为目的经营和从事各种贷款活动的金融机构”。FFIEC要求商业银行每季度提交一份状况和收入综合报告，通常称为Call Report，每家银行必须填写一份表格，详细说明其财务状况，特别是资产负债表。具体的报告要求取决于银行的规模以及银行是否有外国办事处。FFIEC031表格用于国内（美国）和国外（非美国）的银行，FFIEC041表格中的办事处仅为国内办事处的银行设计。储蓄和贷款协会是一个金融机构，主要接受个人存款，并将其资金主要流入住宅抵押贷款。从2012年第一季度起，所有储蓄和贷款协会都必须提交相同的报告，因此自那时以来，这些报告被列入数据集。

自1986年以来，Call报告提供的数据是公开的，尽管多年来表格发生了很大变化，显示所要求的详细资料越来越多。为了在数据的精细结构和人口合理的统计数据之间达成良好的妥协，我们考虑了从2001年3月到2013年9月的时间，共计55个季度。数据中的金融机构数量在季度期间相当稳定，从第一季度的大约9000个实体开始，到最后一个季度的大约6500个实体结束。资产类别是作为前后一致的代码总和创建的。我们描述了在附录A中形成资产类别所采用的程序以及一些数据统计。特别是，根据Duarte和Eisenbach（2013）的原理，我们在一组20个资产类别中汇总数据，即20个资产类别中的每一个类别都以这样的方式组合，以便在出现一个折价出售属于特定类别的资产，价格影响将主要限于同一类别的资产。换句话说，假设两个不同资产类别的共同流动性（或交叉影响）可以忽略不计是合理的。用于构建网络的20个宏资产类别在附录A的表2中描述，其中还详细记录了它们是如何形成的。在图的左侧面板中。我们展示了总资产价值是如何集中在顶级银行的。图的右侧面板 1显示前七类资产的相对重要性（以总资本化计算），显示总资本的很大一部分是由于由国内办事处的房地产担保的贷款。

我们在左边的面板中报告了在不同颜色的阴影区域被前10名、前100名、前1000名和剩余银行持有的总资产的百分比。总资产的很大一部分由前十大银行控制。在右侧的面板中，我们报告每个季度前七大资产类别（以资本化计算）总资本化。资产资本化总额的很大一部分是由于国内办事处的不动产担保贷款。

总之，对于每个季度，我们能够构造一个矩阵X的银行控股，其元素Xn，k是第n银行在kth资产类别中投资的总美元。必须注意的是，矩阵X有大约50%的零项。因此，网络相对密集，但远未完全连接。简单地说，典型银行的投资组合数据集不包含所有20个资产类别的投资。

4. 系统风险评估的交叉熵方法

交叉熵是一种方法，主要是由中央银行的学者和研究人员采用的，用于从对其性质的部分知识中重建目标矩阵（作为银行间矩阵）。其思想是为矩阵选择一个先验猜测，然后在某些约束条件下找到它最接近的矩阵。在最简单的情况下，这种约束是矩阵的非负性条件元素和总行和列和。最后，作为猜测和目标矩阵之间最小化的距离的度量，使用Kullback-Leibler散度（也称为相对熵）。
就美国商业银行的银行控股制度的具体情况而言，我们认为每个季度只有第n家银行的总资产规模An∗A_n^*An∗和k类资产总资本化Ck∗C_k^*Ck∗信息，交叉熵方法将目标矩阵X导出为解决优化问题的目标矩阵X

其中Xn,kX_{n,k}Xn,k是给定猜测矩阵的元素。请注意，在银行间借贷文献中分析的案例(Mistrulli，2011)通常有一个额外的约束，即对角线元素消失，这是避免单一机构自我借贷的必要条件。这里分析的投资组合持有量矩阵不需要任何这样的限制。我们建议使用资本资产定价模型(CAPM)来形成一个经济动机的初步猜测。在一个标准的CAPM中，投资者选择他们的投资组合的方式是，每个权重在一个该股票市值相对于所有股票总市值的比例。由于An∗A_n^*An∗是第n银行的总资产规模，并且由于所有股票的总市值由L∗=∑k=1KCk∗L^*=\sum^K_{k=1}C_k^*L∗=∑k=1KCk∗给出，CAPM预期的投资组合权重由

请注意，这种初始猜测的选择与Mistrulli（2011）中用于银行间市场的相同，即使在这种情况下，CAPM的解释也不那么直接。考虑到在（5）中，对角线元素的条件是不存在的，并且由于Kullback-Leibler发散总是正的，当X‾n,k=Xn,kCAPM\overline{X}_{n,k}=X^{CAPM}_{n,k}Xn,k=Xn,kCAPM时，（5）中交叉熵问题的最优解是Xn,kCAPMX^{CAPM}_{n,k}Xn,kCAPM本身。区分估计量与资本资产定价模型(Sharpe，1964)，我们将调用前交叉熵CAPM(CECAPM)估计器。请注意，由于所研究的网络的二部性质，我们不必使用数字例程来解决问题（5）。如果将其他约束添加到问题中(例如，一些银行不能投资于某些资产类别)，可以用数值方法解决（5）具有额外约束的问题。

4.1. 评估总体脆弱性

我们现在实证检验交叉熵方法在估计数据上的总脆弱性时的有效性。
图3比较了利用投资组合组成的真实矩阵得到的综合脆弱性的真实值和用交叉熵法得到的聚合脆弱性的真实值。显然，CECAPM提供的AVS估计与真实的AVS非常一致，尽管真实的投资组合矩阵与CECAPM完全不同，在前者中，大约一半的矩阵元素为零，而后者的模型具有所有非消失元素的邻接矩阵。
图3的一个重要含义是至少对于所分析的数据集，没有必要知道矩阵X∗X^*X∗以评估以总脆弱性衡量的系统性风险。对银行规模和资产资本化的了解足以推断矩阵Xn,kCAPMX^{CAPM}_{n,k}Xn,kCAPM，它很好地再现了系统的总体行为（在系统性方面）。这与Mistrulli（2011）对银行间网络的结果不同，因为他发现交叉熵方法大大低估了系统性风险，而在我们的情况下，则是偏差是微不足道的。

4.1.1. 对不同冲击场景的鲁棒性

通过假设所有资产类别的均匀冲击为1%，对AV进行了估计和重建。然而，我们的结果对其他冲击场景也是稳健的。为证明这一点，我们重复了上述分析，考虑到其他情况，即：为证明这一点，我们重复了上述分析，考虑了其他情况，即：（一)房地产贷款受到50%的冲击(2个资产类别)；(二)所有贷款受到10%的冲击(8个资产类别)；(三）抵押贷款支持证券（1类资产）受到50%的冲击；(四）美国国债遭受10%的冲击，国家和地方政府发行的代理证券、证券（3类资产）。由此产生的综合脆弱性与实际数据和估计与CECAPM如图4所示。在所有情况下，CECAPM估计都非常密切地跟踪从投资组合组成的全部知识中获得的AV。因此，我们的结论是，我们的结果不是由于均匀的冲击假设，而是更普遍适用。

4.1.2. 欧洲银行管理局的数据

我们现在表明，我们的结果也适用于不同的银行系统。为此，我们调查了欧洲银行管理局(EBA)在2011年对当时最大的90家欧洲银行进行压力测试后提供的公共数据集。这些数据包括每家银行对42个资产类别的敞口，以及它们的账面杠杆。我们定义了资产类别，精确地遵循Greenwood（2015）等人。此外，最初的冲击是(Greenwood等，2015)“50%的GIIPS债务注销”。对于美国商业银行，我们比较了从全网络数据获得的AV与使用CECAPM获得的AV。使用部分信息估计的AV的相对百分比偏差为3.7%.作为一项稳健性检查，我们重复了两种不同的冲击：一是注销所有欧盟债务或所有主权债务，包括非欧盟国家的10%。在前一种情况下，CECAPM估计的百分比偏差为3.6%，后者为5.1%。显然，对于这个数据集，CECAPM给出了AV的忠实估计，因为偏差约为3%− 5%，显示了该方法的鲁棒性。

4.2.评估个别银行的系统性风险

5.与最大熵集的比较

上一节中描述的交叉熵方法假设未知矩阵元素是那些与先验矩阵的距离最小(由交叉熵函数表示)。在这种方法中，可用的经济信息，在上述具体情况下，由An和Ck的数量组成，用于根据经济直觉构建猜测。
一个不同的基本原理构成了最大熵集成方法的基础。这种重建方法假设，作为部分信息环境下的标准，未披露的数据(在我们的例子中，银行的投资组合持有量Xn,kX_{n,k}Xn,k是由未知统计分布产生的随机变量。在所有可能的概率分布中，ME方法等于采取最大限度地利用在最大化过程中施加的经济约束的信息内容的概率分布。这一性质直接来自香农(1948)的开创性论文中对信息的定义。
我们将网络统计模型定义为一组网络X，称为集合，概率质量函数PϑPϑPϑ由模型参数向量ϑϑϑ索引。在公式中，它表示为三重态
{Pϑ，X，ϑ∈Z}\{Pϑ，X，ϑ∈Z\}{Pϑ，X，ϑ∈Z}其中Z是RPR^PRP的凸子集，P是模型的参数总数。集合X是一个可数集合，其元素是图。在下文中，我们将不区分图和相关矩阵X，即概率质量函数是在整数值矩阵的空间中定义的。此外，概率质量函数Pϑ:X→[0,1]Pϑ : X → [0,1]Pϑ:X→[0,1]使得∑X∈XPϑ(X)=1\sum _{X∈X} P_ϑ(X) = 1∑X∈XPϑ(X)=1，并且允许依赖于真实参数ϑ∈Zϑ ∈Zϑ∈Z的向量。通过显式给出集合、概率质量函数以及参数的空间Z，或者通过循环应用某种生成机制或规则，或者从空图开始或者通过对参考图应用随机化过程，导出Pϑ[X]P_ϑ[X]Pϑ[X]，可以定义模型。在其最一般的公式中，最大熵原理假设通过最大化香农熵的函数获得概率质量函数P，

受规范化约束

以及，可能的话，进一步的额外限制。

施加约束有两种方式。第一种称为微正则系综，严格地施加约束，即只有满足所有约束的图具有非零概率。在第二种称为典型系综的图中，所有的图都具有非零概率，并且在分布上平均满足约束。这两种方法都有优点和缺点。微正则系综在经济上更有根据，例如，在本文研究的系统中，它意味着只有当每个银行(资产类别)具有与真实数据相同的资产规模(资本化)时，给定的网络实现才有非零概率。相反，在正则系综中，这些值与真实数据非常不同的图形也可能具有非零概率。尽管存在这种不良性质，我们认为基于以下原因，交叉熵方法与规范ME进行比较是值得的:

解决微正则系综中的问题通常非常困难，或者需要大量的数值模拟，通过允许保留所有约束的移动来随机化网络。相反，正则系综通常可以更直接地获得，正如它们在统计力学中的广泛应用所证明的那样(黄，2008)。此外，当优化问题中加入其他约束时，微正则ME(以及交叉熵)变得难以处理，从而限制了它们在监管者希望增加系统额外知识时的实际应用。
规范ME的灵活性允许探索信息集和约束在网络重构中的相对作用。例如，我们将在下面展示，使用相同的信息集(强度序列)但不同的约束条件会导致系统风险估计的非常不同的性能，表明其主要决定因素。
CECAPM在系统风险评估方面的出色表现要求构建一个网络概率分布，该分布的平均性能与CECAPM相当，但允许生成场景。我们将在下面介绍的规范微机电集成(MECAPM)正是做这项工作。
最后但并非最不重要的一点是，在经济和金融领域，规范的市场经济网络集合的应用非常广泛。

5.1 最大熵集合

在这篇论文中，我们将考虑三个ME集合。首先，我们提出了一个新的最大熵集成，它是基于CAPM在当前问题中的作用。概率质量函数P是最优化问题的解

我们称这个模型为最大熵资本资产定价模型。在附录B.1我们证明了具有唯一解

因此，每个矩阵元素Xn,kX_{n,k}Xn,k都是几何分布的，平均值为Xn,kCAPMX^{CAPM}_{n,k}Xn,kCAPM。为了理解这一集合背后的基本原理，我们注意到在资产收益的一致冲击下，资产净值的CECAPM和MECAPM估计之间有一个有趣的关系。如附录D所示，

其中，E[Sn(X)]E[S_n(X)]E[Sn(X)]是MECAPM集合下的银行n的预期系统性，而Sn(XCAPM)S_n(X^{CAPM})Sn(XCAPM)是根据CECAPM的系统性。我们注意到前者比后者大，但是如果A远小于L的话，修正是小的，因为括号中的最后一项通常是小的。这一结果也可用于计算无采样但使用上述表达式的MECAPM系综中的系统度和AV。间接脆弱性也有类似的结果(详见附录D)。

由于最大熵的其他规格在网络重构的文献中相当流行，为了进行比较，我们考虑了另外两个集合，主要受Mastrandrea等人(2014年)和Saracco等人(2015年)论文的启发。它们中的每一个都以对香农熵最大化施加的不同约束为特征。
在第一个集合中，称为二分加权配置模型，约束最大化是

附录B.2报告了系综的推导和校准。请注意，BIPWCM对MECAPM施加了较弱的约束，同时利用了相同的信息集，即强度序列。
最后，我们考虑另一个(更丰富的)统计系综，其概率质量函数，在附录B.3中导出，在我们的二分框架中对应于Mastrandrea等人(2014)的增强配置模型。这个新定义的集合，我们称之为二分增强配置模型(BIPECM)，是通过最大熵将强度的平均值(如BIPWCM)和度的平均值(即每个顶点的边数)相加而得到的。换句话说，我们通过假设知道每家银行投资的资产数量以及投资每项资产的银行数量来重建矩阵。尽管这个信息通常是未知的，但我们认为这个集合表明，即使一个信息集比MECAPM中使用的信息集大得多，也很难超越它。从数学上来说，通过求解优化问题就可以得到双目标规划模型。

其中，DrownDrow_nDrown和DcolkDcol_kDcolk分别是行和列的度数序列(详见附录B.3)。BIPECM的特点是增加了在BIPWCM和MECAPM中都不存在的度序列信息。请注意，这三个集合不仅可用于统计推断，还可用于对网络上定义的任何函数进行估计，这是下一节的主题。

5.2.结果

图3将通过使用投资组合的真实矩阵获得的聚集脆弱性的真实值与通过熵方法获得的值进行了比较。很明显，所有的方法在质量上很好地跟踪了在调查期间AV的时间模式，但值得注意的是，“CECAPM”有一个非常小的偏差，提供的AV的估计与真实的非常一致。正如从上面的论证中所预期的，在“MECAPM”下的AV总是比在CECAPM下稍大。
在最大熵方法中，“MECAPM”优于“BIPWCM”和“BIPECM”。由于导出BIPECM所需的信息集大于MECAPM所用的信息集，这意味着重要的不是信息量，而是信息在重构算法中的传递方式。最后，请注意，真正的投资组合矩阵与CECAPM、MECAPM和BIPWCM的矩阵有很大的不同，因为前者的矩阵元素为零，而后者的模型具有所有非消失元素的邻接矩阵。
通过考虑不同的冲击情景，类似的比较结果成立，如第4节(见附录C的图8)以及欧洲银行管理局数据(见表1)中所研究的。在最大熵方法中，MECAPM在对银行投资组合构成的充分了解下获得的资产净值的估计上明显优于BIPWCM和BIPECM。

最后，我们考虑了对单个银行系统风险的评估。附录C的图9显示了每季度BIPWCM严重低估了个别银行的系统性和间接脆弱性。中值相对误差范围大致在60%至70%之间，四分位数之间的范围非常远离零。基于BIPECM的估计器(使用关于度数的附加信息)给出稍微更好的结果，即使仍然存在强烈的低估。中值相对误差范围大致在50%至40%之间，四分位数之间的范围也远非零。相反，基于MECAPM(或CECAPM)的估计器性能更好。中值相对误差绝不会低于20%，并且四分位数之间的范围几乎总是以零为中心。

总之，由CECAPM隐含矩阵提供的每个银行的系统性和间接脆弱性的估计值与在MECAPM集合上获得的相应期望值几乎相同。此外，它们令人满意地精确，并且肯定比标准最大熵集合提供的更可靠。重要的信息是，在不完全了解金融机构的投资组合的情况下，由于折价销售溢出效应，有可能在总体或单个机构层面实现对系统风险指标的相当准确的估计。

5.3 监控和测试系统的变化

作为用最大熵方法获得的图的集合的另一个应用，我们在这里考虑评估给定银行(或整个系统)的系统性是否以统计上显著的方式改变的问题。为了回答这个问题，有必要有一个零假设，我们建议使用网络集成来达到这个目的。由于MECAPM在估计风险度量方面显示出优越的性能，在本节中，我们使用它并提出了一个统计验证的可能应用。我们在这里的目标不是研究所有的银行和所有的季度，而只是展示如何实施测试方法。特别是，想象一个监管者监控一家特定的银行，测量其系统性，并寻找大幅增长的证据。以给定的季度为参考，监管机构可以提取银行系统性的分布，并在随后的季度中，确定系统性何时超出参考期周围的给定置信区间。作为特殊情况，我们在第一季度的前50家银行中选择4家银行，它们存在于整个时间段(即它们不退出数据集)。对于每个季度，我们根据MECAPM集成计算真实的银行系统和5%–95%的置信带(见图6)。然后，当真正的系统性高于第一季度的95%置信区间时，我们在每个季度添加一个洋红色方块作为参考。因此，当银行的系统性在统计上比2001年初更大时，洋红色的正方形表示一个季度。

我们显示了观察到系统性有统计学显著变化的两个银行(上一行)和没有观察到变化的两个银行(下一行)。值得注意的是，对于前一个案例，我们发现在2007-2008年金融危机爆发之前，被分析银行的系统性显著提高。这种现象在整个危机期间持续存在，直到2009年底才消失。这表明，网络统计模型在中央银行和其他监管机构作为监测工具的监督活动中以及在构建预警指标方面可能有宝贵的帮助。

6. 结论

在本文中，我们集中讨论了在金融机构投资组合构成信息有限的情况下，因火灾销售溢出而导致的系统风险的度量问题。对经济中每个机构的投资组合持有情况的全面了解通常要求对任何风险指标进行精确估计，如Greenwood等人(2015年)所建议的那样，这些风险指标是基于通过甩卖进行投资组合再平衡的机制。然而，如此庞大而详细的信息可能无法获得，尤其是频率高于季度的信息，这使得系统风险的估计相当困难。在本文中，我们通过提供基于系统部分知识的系统风险度量的准确估计来规避这个问题，更准确地说，仅基于资产负债表的规模和资产(或资产类别)的资本化，这更容易追踪。在这方面，我们已经表明，该方法交叉熵最小化在估计总体脆弱性和个体银行系统性方面做得非常好，而不需要任何关于银行投资组合持有量的基础矩阵的知识。此外，我们还将结果与最大熵集合进行了比较。具体来说，我们引入了一个新的集合(MECAPM)，该集合平均地再现了CECAPM，并且在估计单个机构的系统性和间接脆弱性方面表现相当好，优于标准的最大熵竞争对手。此外，系统风险度量的估计可以为任何决策者提供有价值的信息，但是在缺乏统计验证的情况下，系统性和间接脆弱性的变化很难解释。因此，作为最后的贡献，我们建议使用最大熵集合来评估系统风险度量的统计显著性。在我们数据集的精选银行中，我们记录了它们的系统性显著增加，与2001年初观察到的水平相比，远在2007-2008年金融危机爆发之前。即使在这方面需要更深入的调查，我们相信这种方法可以很容易地作为系统风险的早期预警指标。
最后，我们想再次评论一下格林伍德等人(2015)模型的范围以及我们的论文。如同在正文中讨论过，所考虑的方法属于经典的静态应力测试方法。仅使用测试冲击时的投资组合和资产负债表，从未考虑跨期动态。这是一个严重的限制，因为金融危机和去杠杆化可能会持续更长时间，银行在特定季度的决策不仅取决于当前的价格变化和投资组合构成，还取决于过去的市场状况和银行行为。我们认为，将Greenwood等人(2015年)的方法扩展到动态压力测试环境，对于学者和监管者来说都是一个非常有趣的研究途径。