51Nod-2173 ProjectEuler 71

2173 ProjectEuler 71

1.0 秒 131,072.0 KB 20 分初学者3级题
考虑分数a / b，其中a和b是正整数，如果a < b且a和b的最大公约数是1，我们说他是既约真分数。
我们升序列出所有b <= 8的既约真分数：

1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8

可以发现，比3/7小的最大的既约真分数是2/5。
输入n，问满足b <= n的既约真分数，比3/7小的最大是多少？

输入
输入第一行组数T，
接下来T行，每行一个整数n。
(1 <= T <= 20)
(1 <= n <= 1000000)
输出
对于每组数据，输出两个数字a，b表示既约真分数，中间用空格隔开。
输入样例
3
8
5
1000000
输出样例
2 5
2 5
428570 999997

分析

分数q/p<3/7分数化简为q<3*p/7，由于分母p的枚举范围固定,我们想要把分子q用分母p表示出来。由于q<3*p/7，分子最大值可以取q=(3*p-1)/7,让分子 -1
用一个r和s去不断更新p在枚举过程中分数q/p的最大值，只要满足
r/s<q/p，也即r * p<s *q就更新r和s的值，直到枚举结束，输出r和s对应的值.

其实，这里q也可以取其他值，比如-0.005也AC

q=(3*p-0.005)/7;

代码

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;int T,n,q;int main(){cin>>T;while(T--){cin>>n;int r=0,s=1;//要求分子小于分母for(int p=1;p<=n;p++){q=(3*p-1)/7;if(r*p<=s*q){r=q;s=p;}}cout<<r<<" "<<s<<endl;}
}

补充知识

最大公约数的写法，但是没有用到
欧几里得辗转相除法

gcd(a,b)=gcd(a,a mod b)//a＞b

最简单的最大公约数gcd的写法，递归写法如下
调用时不用区分x和y的大小

int gcd(int x,int y){if(y==0) return x;if(x<y) return gcd(y,x);else return gcd(y,x%y);
}

但是c++库函数自带最大公约数的算法，位于头文件algorithm中__gcd(x, y)
求两个数的最大公约数，如__gcd(3，9) 就返回3。
所以以后用的话直接调用__gcd，而不是自己写。