Description

设 f(x)f(x) 表示把 xx 拆分成两个质数之和的方案数。
例如 f(10)=2f(10)=2 , 因为 10=3+7=5+510=3+7=5+5
TT 次询问，每次给出 nn，问有多少对 (a,b)(a,b) 满足 0≤a≤b＜n0≤a≤b＜n 且 f(a)+f(b)=f(n)f(a)+f(b)=f(n) 。
数据范围：1≤T≤5，0≤n≤1,000,0001\le T≤5，0≤n≤1,000,000 。

Sample Input:

3
1
5
10

Sample Output:

1
4
21

Solution

我们把质数看做 1 ，非质数看成 0 。
即设一个数组 h[i]h[i] ，若 ii 为质数则 h[i]=1h[i]=1 ，否则 h[i]=0h[i]=0 。
而 n≤106n\le10^6 ，我们可以直接 O(n)O(n) 筛出 h[i]h[i] 。
观察 f[i]f[i] 的定义和数论卷积的定义，我们可以愉快地发现 ff 就是两个 hh 卷起来！
之后再去一下重就能预处理出 ff 了！用 FFT 快速算 f[i]f[i] 可以做到 O(n log n)O(n\ log\ n) 。
接下来就可以轻松地处理询问了。
用一个桶直接 O(n)O(n) 扫一遍就可以啦！
倒着枚举 ii ，则答案加上 t[f[n]−f[i]]t[f[n]-f[i]] ，之后 t[f[i]]++t[f[i]]++ 。
总时间复杂度 O(n log n)O(n\ log\ n) 。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e6+5;
const double Pi=acos(-1.0);
struct comp
{double r,i;comp(){}comp(double rr,double ii){r=rr,i=ii;}comp operator +(const comp &x)const{return comp(r+x.r,i+x.i);}comp operator -(const comp &x)const{return comp(r-x.r,i-x.i);}comp operator *(const comp &x)const{return comp(r*x.r-i*x.i,i*x.r+r*x.i);}
}f1[N<<2],f2[N<<2];
int T,n,m;
int f[N],g[N],h[N],rev[N<<2],tt[N];
bool bz[N];
inline void FFT(comp *y,int ff)
{for(int i=0;i<m;i++)if(i<rev[i]) swap(y[i],y[rev[i]]);for(int h=2;h<=m;h<<=1){comp wn(cos(2*Pi/h),ff*sin(2*Pi/h));for(int i=0;i<m;i+=h){comp w(1,0);for(int k=i;k<i+h/2;k++){comp u=y[k],t=w*y[k+h/2];y[k]=u+t;y[k+h/2]=u-t;w=w*wn;}}}if(ff==-1) for(int i=0;i<m;i++) y[i].r/=m;
}
int main()
{for(int i=2;i<N;i++){if(!bz[i]) g[++g[0]]=i;for(int j=1;j<=g[0] && i*g[j]<N;j++){bz[i*g[j]]=true;if(i%g[j]==0) break;}}for(int i=2;i<N;i++) h[i]=!bz[i];int l=0;for(m=1;m<N+N;m<<=1) l++;for(int i=0;i<m;i++) rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1)<<l-1;for(int i=0;i<N;i++) f1[i]=f2[i]=comp(h[i],0);FFT(f1,1),FFT(f2,1);for(int i=0;i<m;i++) f1[i]=f1[i]*f2[i];FFT(f1,-1);for(int i=1;i<N;i++) f[i]=(int)(f1[i].r+0.5);for(int i=1;i<N;i++)if(i&1) f[i]>>=1; else f[i]=(f[i]+h[i>>1])>>1;scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d",&n);memset(tt,0,sizeof(tt));LL ans=0;for(int i=n-1;i>=0;i--){tt[f[n]-f[i]]++;ans+=tt[f[i]];}printf("%lld\n",ans);}return 0;
}

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Codechef Coders’Legacy 2018 CLSUMG Sum of Primes

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