CodeForces - 1359E Modular Stability(组合数学)

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题目大意：给出一个 n 和 k ，要求构造一个长度为 k 的严格递增数组 a[ i ] ，且 1 <= a[ i ] <= n ，满足任意整数 x ，对下列的等式恒成立，其中 p 是数组 a 的一种排列：

$(((x \bmod a_1) \bmod a_2) \dots \bmod a_{k - 1}) \bmod a_k = (((x \bmod a_{p_1}) \bmod a_{p_2}) \dots \bmod a_{p_{k - 1}}) \bmod a_{p_k}$

现在给出 n 和 k ，问可行的数组 a 有多少种

题目分析：首先需要知道如何构造出数组 a ，因为需要满足任意排列后的顺序取模的结果都要相同，不难看出任意两个元素的 gcd 都为 a[ 1 ] 时满足条件，换句话说，所有的数必须都是 a[ 1 ] 的倍数，可以将取模运算这样理解，a % b 实际上就是 a 减去整数倍的 b 剩下的结果，对于任意一个 a[ i ] 来说，任意整数 x % a[ i ] ，即 x 减去整数倍的 a[ i ] ，又因为 a[ i ] 是 a[ 1 ] 的倍数，所以就相当于 x 减去整数倍的 a[ 1 ] ，每次取余都会减去一定倍数的 a[ 1 ] ，最后的答案就和 x % a[ 1 ] 等价了

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<unordered_map>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=5e5+100;const int mod=998244353;LL q_pow(LL a,LL b)
{LL ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return ans;
}LL fac[N],inv[N];LL C(int n,int m)
{return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}void init()
{fac[0]=1;for(int i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;inv[N-1]=q_pow(fac[N-1],mod-2);for(int i=N-2;i>=0;i--)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("input.txt","r",stdin);
//  freopen("output.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false); init();int n,k;scanf("%d%d",&n,&k);LL ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(n/i<k)break;ans=(ans+C(n/i-1,k-1))%mod;}printf("%lld\n",ans);return 0;
}

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