POJ - 2112 Optimal Milking(二分+二分图最大匹配-多重匹配(修改匈牙利实现)+Floyd求最短路)

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题目大意：给出n个牛奶机器，再给出m只奶牛，每个机器只能让最多k只牛一起挤奶，现在问如何分配奶牛，能让最远的那只奶牛到达机器的距离最小

题目分析：很综合的一道题目了，不算很难，但比较难想，首先看到求最大值的最小值或者求最小值的最大值的这种问题，第一反应肯定是二分了，我们可以二分答案，也就是最远距离，不过在check之前，我们先要对给出的邻接矩阵跑一遍floyd，以保证两点之间的距离是他们的最短路，这样才能符合题意，然后我们该怎么check呢，每次二分出最远距离后，对于最短路小于等于该距离的两点就可以建边了，注意！之前二分图匹配的题比如男孩女孩匹配，建边的时候让男孩指向女孩也行，女孩指向男孩也可以，最后不影响结果的，但这个题目不一样，我们的目的是要让所有的奶牛能找到一个机器，而不是让所有的机器都找到一个奶牛，所以我们这里建边要用奶牛指向机器，然后跑匈牙利的时候也要以奶牛去匹配机器才行，这里涉及到了一点新知识，也就是二分图的多重匹配问题，其实和单一匹配的思路是一样的，就是将match[N]变为了match[N][N]，就可以了，第一维维护的是哪个点，第二维维护的是有哪些点与之匹配，若当前的机器还没有匹配够足够的奶牛，也就是还没有达到上限k，我们就直接将其匹配即可，若达到了上限，我们就看一下能不能让其他的奶牛去别的机器，也就是进入dfs寻找增广路

题外话，因为floydWA了好几发，好久没写最短路了，也是今天才知道floyd的三层枚举顺序是固定的。。是我太菜了嘛，大概可以这样理解，最外层枚举中间断点k，内层枚举起点i和终点j，相当于让i到j之间的点不断松弛，必须固定k不能动，不然k一动的话答案就错了

具体实现看代码吧，应该不难懂，三个很简单的算法组合出来了这个题目

代码：

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<climits>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<stack>
#include<queue>
#include<list>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<sstream>
using namespace std;typedef long long LL;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=250;int n,m,limit;vector<int>match[N];//这里我为了方便记录第二维的长度，用vector代替了二维数组bool maze[N][N],vis[N];int d[N][N];bool dfs(int x)
{for(int i=1;i<=n;i++){if(maze[x][i]&&!vis[i]){vis[i]=true;if(match[i].size()<limit)//如果当前与之匹配的点还没满，直接加入即可{match[i].push_back(x);return true;}for(int j=0;j<limit;j++)//否则依次寻找增广路{if(dfs(match[i][j])){match[i][j]=x;return true;}}}}return false;
}bool check(int x)
{memset(maze,false,sizeof(maze));//每次跑匈牙利之前都要记得初始化for(int i=1;i<=n;i++)match[i].clear();for(int i=1;i<=n;i++)//建边for(int j=n+1;j<=n+m;j++){if(d[i][j]<=x)maze[j-n][i]=true;}for(int i=1;i<=m;i++)//跑匈牙利{memset(vis,false,sizeof(vis));if(!dfs(i))return false;}return true;
}int main()
{
//  freopen("input.txt","r",stdin);
//  ios::sync_with_stdio(false);while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&limit)!=EOF){for(int i=1;i<=n+m;i++)for(int j=1;j<=n+m;j++){scanf("%d",&d[i][j]);if(!d[i][j])d[i][j]=inf;}for(int k=1;k<=n+m;k++)//floyd for(int i=1;i<=n+m;i++)for(int j=1;j<=n+m;j++)if(d[i][j]>d[i][k]+d[k][j])d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];int l=0,r=inf;int ans;while(l<=r)//二分答案：最远距离{int mid=l+r>>1;if(check(mid)){ans=mid;r=mid-1;}elsel=mid+1;}printf("%d\n",ans);}return 0;
}

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