更新：5 MAY 2016

教材：理论力学（第二版）金尚年、马永利编著，高等教育出版社

开始时间：6:39 PM

第一章 牛顿力学方程

1.1 牛顿与《原理》

经典力学的时空观：绝对时间、绝对空间、绝对运动。

惯性参考系：相对于绝对空间作匀速直线运动的参考系。

牛顿力学定律与伽利略变换

牛顿哲学推理规则：简单性、因果性、统一性、真理性。

1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表示式

推导所需要的知识：

1. 写出用已知坐标系（如直角坐标系）表示的待求坐标系基矢的矢量表达式

2. 对新基矢求时间导数，用新基矢表示。

3.写出位矢r的新表达式，对时间求一阶导得到速度，求二阶导得加速度，即可代入牛顿第二定律。

1.3 质点系

n个质点k个约束条件的运动可以由3n+k个方程求解。

【质心】质点位矢对于质点质量的加权平均值。\(\textbf{r}_C=\dfrac{\sum\limits_im_i\textbf{r}_i}{\sum\limits_im_i}=\dfrac{\sum\limits_im_i\textbf{r}_i}{m_s}\)

【质心系】跟随质点系质心平动的参考系。不一定为惯性系。

1.4 动量定理

【质点动量定理】质点动量的变化率等于质点所受到的力。\(\textbf{F}=\dfrac{d\textbf{p}}{dt}\)

【质点系动量定理】质点系动量的变化率等于体系所受到的合外力。

【质点系动量守恒定律】如果质点系所受的合外力为零，则质点系动量为常矢量。

1.5 角动量定理

【角动量】质点的矢径和其动量的矢量积。\(\textbf{L}=\textbf{r}\times m\textbf{v}\) （又称动量矩）

【力矩】质点的矢径和其所受的力的矢量积。\(\textbf{M}=\textbf{r}\times \textbf{F}\)

【质点角动量定理】质点角动量的变化率等于质点所受的力矩。\(\textbf{M}=\dfrac{d\textbf{L}}{dt}\)

【质点系角动量定理】质点系角动量的变化率等于作用在质点系上所有外力矩的和。

1.6 能量定理

【质点动能定理】作用在质点上的力所做的共等于指点动能的增加。\(dT=\textbf{F}\cdot d\textbf{r}\)

【质点系动能定理】质点系动能的增加等于外力和内力所作的功之和。

【寇尼希定理】质点系的总动能等于质点系全部质量集中在质心并以质心速度运动的动能，加上各质点相对质心系的动能。

【势能】保守力场中力看作势函数的负梯度。

【机械能】动能与势能之和。

【机械能守恒定律】保守场中机械能守恒。质点所受力为零时机械能守恒。

1.7 变质量运动方程

【密歇尔斯基方程】

【齐奥尔科夫斯基数】

1.8 等离子体中带电粒子的运动

具体应用

第二章 拉格朗日方程

2.1 理想约束

【实位移】在dt时间内实际所发生的位移，记作dr。

【虚位移】在某一时刻质点发生一个约束所许可的无限小位移，记作δr。注意，虚位移是一个假象位移，不需要时间。

【等时变分】δ作用在t上为0，其他时候和d相同。

【虚功】\(δW=\textbf{F}\cdot δ\textbf{r}\)

【理想约束】内外约束力所作虚功为零。\(\sum\limits_i\textbf{F}_{Ni}\cdot δ\textbf{r}_i=0\) 其中约束力记为F_N

常见的理想约束：

1. 质点沿光滑曲面运动

2. 两个质点由刚性轻杆所连接

3. 两个刚体以光滑表变接触

更一般判据：只要物体间连接是刚性的，所有接触面是理想光滑或绝对粗糙。

【达朗贝尔方程】理想约束体系动力学普遍方程

\(\sum\limits_i(\textbf{F}_i-m_i\ddot{\textbf{r}}_i)\cdot \delta \textbf{r}_i=0\)

式中消去了约束力。

由\(\delta \textbf{r}_i\)的多个维度相互正交，可以分别得到多个运动方程。

2.2 完整约束

【完整约束】描述单个约束条件只和体系各质点的坐标r_i及时间t有关。约束方程可写成

\(f(r_1,r_2,\cdots,r_n,t)=0\)

强调与速度或广义速度无关。

每一个完整约束都可以代数消去一个不独立坐标。

【自由度】独立坐标数。\(s=3n-k\)

【非完整约束】不能消去不独立坐标。

1. 不可积微分约束 含对时间导数

2. 可解约束/单面约束 含不等式

解单面约束方法：

1. 约束不可解，约束方程取等式

2. 移去约束，增加一个独立坐标

【广义坐标】仍然描述空间位置。数目与自由度 s 相同。张成 s 维位形空间（联系相空间）。广义坐标选取法不唯一。

【稳定约束】约束中不显含时间

2.3 理想、完整体系的拉格朗日方程

【拉格朗日方程】直接用广义坐标表示的动力学方程。

【广义力】对应于广义坐标\(q_\alpha\)的广义力\(Q_\alpha=\sum\limits_{i=1}{n}\textbf{F}_i\cdot\dfrac{\partial \textbf{r}_i}{\partial q_\alpha}\)

若体系保守，则\(Q_\alpha=-\dfrac{\partial V}{\partial q_\alpha}\)

体系中每一个质点的位移：

\(\textbf{r}_i=\textbf{r}_i(q_i,q_2,\cdots,t)\)

其虚位移：

\(\delta\textbf{r}_i=\sum\limits_{a=1}^s\dfrac{\partial \textbf{r}_i}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha\)

【拉格朗日函数】\(L=T-V=L(q,\dot{q},t)\)

【拉格朗日方程】

普通形式（势能仅与质点的位置和时间有关，与速度无关）

\(\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha}-\dfrac{\partial L}{\partial q_\alpha}=0,\quad \alpha=1,2,\cdots, s\)

一般形式

\(\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial T}{\partial\dot{q}_\alpha}-\dfrac{\partial T}{\partial q_\alpha}=Q_a,\quad \alpha =1,2,\cdots, s\)

2.4 拉格朗日方程对平衡问题的应用

2.5 广义势能 带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数*

2.6 非完整体系的拉格朗日方程**

2.7 对称性和守恒定律

一个力学体系在时刻t的状态由2\(s\)个量\(q\)和\(q_\alpha\)决定。

【运动积分】某种\(q_\alpha\)和\(\dot{q}_\alpha\)的函数，在运动过程中保持不变。

【广义动量】\(p_\alpha=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha}\) 称为与广义坐标\(q_\alpha\)共轭的广义动量。

【广义动量守恒】拉格朗日函数\(L\)中若不出现某一广义坐标\(q_\alpha\)（可以出现其时间导数），即\(\dfrac{\partial L}{\partial q_\alpha}=0\)，则由拉格朗日方程可知对应的广义动量为常数。

【广义能量】\(H=\sum\limits_{\alpha=1}^{s}p_\alpha \dot{q}_\alpha-L\)      （H写为p、q、t的函数时即哈密顿函数）

【广义能量积分】？

【守恒量】运动积分中，具有可加性的成为守恒量。在经典力学中只有7个守恒量。

1. 时间均匀导致能量守恒

2. 空间均匀导致动量守恒

3. 空间各向同性导致角动量守恒

2.8 瞬时力问题的拉格朗日方程*

【广义冲量】

第三章 两体问题

3.1 两体问题化为单粒子问题

3.2 在中心势场中单粒子的运动 有效势能

3.3 与距离成反比的中心势场

3.4 中心势场中粒子运动轨道的稳定性*

3.5 弹性碰撞

3.6 散射截面

3.7 刚球势散射 散射截面从质心系到实验室系的变换

3.8 库仑势场中的弹性散射**

3.9 粒子的分裂**

第四章 刚体

第五章 非惯性参考系

第六章 多自由度体系的微振动

第七章 阻尼运动

第八章 经典力学的哈密顿理论

第九章 哈密顿理论在物理学中的应用**

8.1 正则共轭坐标

拉格朗日函数的不唯一性

8.2 哈密顿函数和正则方程

若按照第二章的定义

\(H=\sum\limits_{\alpha=1}^{s}p_\alpha \dot{q}_\alpha-L\)

则H显示为\(p_\alpha, q_\alpha, \dot{q}_\alpha\)三种变量共\(3s\)个。但其中独立变量只有\(2s\)个，其中的\(\dot{q}_\alpha\)和\(L\)都可以用p、q、t表示，因此H可以用p、q、t表示。

此时的\(H(p,q,t)\)即为哈密顿函数。

【哈密顿方程】保守体系中

\(\dot{q}_\alpha=\dfrac{\partial H}{\partial p_\alpha},\)

\(\dot{p}_\alpha=-\dfrac{\partial H}{\partial q_\alpha},\)

又称正则运动方程或正则方程。\(p_\alpha, q_\alpha\)称为正则变量。

\(\dfrac{dH}{dt}=\dfrac{\partial H}{\partial t}

因此当\(H\)不显含时间时，即为常数，即能量守恒定律。

8.3 变分问题的欧拉问题

8.4 哈密顿原理

8.5 正则变换

8.6 泊松括号

8.7 哈密顿-雅可比方程

8.8 用哈密顿理论解开普勒问题*

第十章 流体**