Travelling Salesman Problem（旅行商问题）

旅行商问题（TSP）：给定一组城市和每对城市之间的距离，找到每个城市只访问一次并返回起点的最短路径。

注意Hamiltonian Cycle（哈密顿回路）和TSP之间的区别。 Hamiltoninan Cycle问题是找出是否存在一次访问每个城市一次的旅行。在这里我们知道Hamiltonian Cycle存在（因为graph是完整的）并且实际上存在许多这样的Cycle，问题是找到最小权重的Hamiltonian Cycle。

例如，请考虑下图中所示的graph。图中的TSP路径是1-2-4-3-1。这次旅行的费用是10 + 25 + 30 + 15，即80。

这是一个非常著名的NP难题。对于这个问题，不存在多项式时间复杂度的解法。以下是旅行商问题的不同解决方案。

朴素的解决方案：

1）将城市1视为起点和终点。
2）生成所有(n-1)!城市的排列。
3）计算每个排列的路径长度并跟踪最小路径长度的排列。
4）返回最后的最小路径排列。

// implementation of traveling Salesman Problem
int travllingSalesmanProblem(int graph[][V], int s)
{ // store all vertex apart from source vertex vector<int> vertex; for (int i = 0; i < V; i++) if (i != s) vertex.push_back(i); // store minimum weight Hamiltonian Cycle. int min_path = INT_MAX; do { // store current Path weight(cost) int current_pathweight = 0; // compute current path weight int k = s; for (int i = 0; i < vertex.size(); i++) { current_pathweight += graph[k][vertex[i]]; k = vertex[i]; } current_pathweight += graph[k][s]; // update minimum min_path = min(min_path, current_pathweight); } while (next_permutation(vertex.begin(), vertex.end())); return min_path;
}

这个解法在之前的Hamiltoninan Cycle中也提到过，对于较大的n来说，这种做法当然是不可取的。这个问题可以通过动态规划的方法来解决。

对于给定的顶点集合为{1,2,3,4 ......}。我们将1视为输出的起点和终点。对于每个其他顶点i（除1之外），我们找到一条到i的最短路径，其中1为起点，i为结束点，所有顶点恰好出现一次。假设这条路径的总长度为cost(i)，则我们最后的路径长度将是cost(i)+dist(i,1)，其中dist(i,1)是从i到1的距离。最后，我们返回所有[cost(i)+dist(i,1)]值的最小值。到目前为止一切都看起来很简单，现在的问题就变成了如何获得cost(i)？

我们可以使用动态规划来计算cost(i)。首先我们定义C(S,i)C(S,i)C(S,i)表示对于集合SSS中每个顶点i来说，从1开始到i结束的最短路径长度。我们从大小为2的所有子集开始，并计算所有子集的C(S,i)C(S,i)C(S,i)，其中SSS是子集，然后我们计算大小为3的所有子集SSS的C(S,i)C(S,i)C(S,i)，依此类推。请注意，每个子集中必须存在1。

如果SSS的大小为2，那么SSS必须是{1，i}\{1，i\}{1，i}，C(S,i)=dist(1,i)C(S, i) = dist(1, i)C(S,i)=dist(1,i)
否则，如果SSS的大小大于2，C(S,i)=min{C(S−i,j)+dist(j,i)}C(S, i) = min \{C(S - {i}, j) + dist(j, i)\}C(S,i)=min{C(S−i,j)+dist(j,i)}其中jjj属于SSS，j≠ij \neq ij̸=i且j≠1j \neq 1j̸=1。

对于一组大小为n的集合，我们考虑n-2个子集，每个子集的大小为n-1，使得所有子集中都没有第n个数。

使用上述递归关系，我们就可以写出相应的动态规划的代码。最多有O(n∗2n)O(n*2^n)O(n∗2n)个子问题，每个子问题需要线性时间来解决。因此总运行时间为O(n2∗2n)O(n^2*2^n)O(n2∗2n)。时间复杂度远小于O(n!)O(n!)O(n!)，但仍然呈指数级。所需空间也是指数级的。因此，即使对于稍高数量的顶点，这种方法也是不可行的。

int n=4;
int dist[10][10] = {{0,20,42,25},{20,0,30,34},{42,30,0,10},{25,34,10,0}
};
int VISITED_ALL = (1 << n) -1;
int dp[16][4];
int  cost(int mask,int pos)
{if (mask == VISITED_ALL){return dist[pos][0];}if (dp[mask][pos] != -1){return dp[mask][pos];}//Now from current node, we will try to go to every other node and take the min ansint ans = INT_MAX;//Visit all the unvisited cities and take the best routefor (int city = 0; city < n; city++){if ((mask & (1 << city)) == 0){int newAns = dist[pos][city] + cost(mask | ( 1 << city), city);ans = min(ans, newAns);}}return dp[mask][pos] = ans;
}

我们稍微解释一下上面这个代码，其中mask表示我们访问的节点，假设我们有4各节点，如果mask=1111的话，表示cdba都访问过了，也就是mask=1<<4 - 1=1111；如果mask=0001，表示只有a访问过了，以此类推。那么我们就可以通过(mask & (1 << city)) == 0判断当前节点是不是被访问过。例如，对于节点a

city = 0
1 << 0 = 0001
mask = 0001
mask & (1 << city) == true

如果当前的节点没有被访问过，我们才进行后续操作。也就是递归调用cost。其中mask | ( 1 << city)表示对city进行访问，例如

city = 0
1 << 0 = 0001
mask = 0000
mask | (1 << city) = 0001

最后我们只要取每次结果的最小值即可。

前面已经说过，这个问题没有多项式时间的解决方法。但是有一些近似的算法来解决这个问题。仅当问题实例满足Triangle-Inequality（三角不等式）时，近似算法才有效。

三角不等式：从i到达顶点j的最远路径总是直接从i到达j，而不是通过其他一些顶点k（或顶点），即dist(i，j)总是小于或等于到dist(i，k) + dist(k，j)。三角不等式在许多实际情况中都有。

当cost函数满足三角不等式时，我们可以为TSP设计一个近似算法，该算法返回一个最短路径长度不超过最优解的两倍。我们的想法是使用最小生成树（MST）。以下是基于MST的算法。

1）以1为起点和终点。
2）使用Prim算法，以1为根构造MST。
3）列出在构造的MST的前序步行中访问的顶点，并在末尾添加1。

考虑以下示例。图中显示了以1为根构造的MST。 MST的前序遍历为1-2-4-3。最后添加1给出1-2-4-3-1，这是该算法的输出。

在这种情况下，近似算法产生最佳路径，但它可能无法在所有情况下产生最佳路径。这个算法如何近似？上述算法产生的输出路径绝不会超过最佳路径的两倍。让我们看看上述算法如何保证这一点。

在理解这个问题之前，我们首先要知道full walk。full walk是指在先序遍历访问树的全部节点时列出的所有走的步骤。上面树的full walk将是1-2-1-4-1-3-1。

1）TSP绝不低于MST。（MST的定义是，它是连接所有顶点的最小生成树）。
2）full walk的最多是MST的两倍（MST的每个边缘最多访问两次）
3）上述算法的输出小于full walk。在上面的算法中，我们打印前序遍历作为输出。在前序遍历中，full walk的两个或更多个边缘被单个边缘替换。例如，2-1和1-4被2-4代替。因此，如果图形遵循三角形不等式，那么这总是正确的。

从上述三个陈述中，我们可以得出结论，近似算法产生的输出结果绝不会超过最佳解决方案的两倍。

我们已经讨论了一个非常简单的2倍近似算法来解决旅行商问题。对于该问题还有其他更好的近似算法。例如，Christofides算法是1.5倍近似算法。

reference:

https://www.geeksforgeeks.org/travelling-salesman-problem-set-1/

https://www.geeksforgeeks.org/travelling-salesman-problem-set-2-approximate-using-mst/

https://www.geeksforgeeks.org/traveling-salesman-problem-tsp-implementation/

https://codingblocks.com/resources/travelling-salesman/

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