传输线方程与终端加载的无损耗传输线

传输线方程

电压波和电流波

特性阻抗

无损耗传输线模型

终端加载的无损耗传输线

电压反射系数

传播常数与相速度

驻波与电压驻波比

传输线方程

将基尔霍夫电压、电流定律(KVL,KCL)应用于传输线微元的节点 $a$

这里需要说明一下，R、L、G和C表示的是单位长度传输线的量值，它们的单位是 $\Omega/m$ 、 $H/m$ 、 $S/m$ 和 $F/m$ 。

采用负数表示，由基尔霍夫电压定律可得

$(R+j \omega L) I(z) \Delta z+V(z+\Delta z)=V(z)$

将该式转化为微分方程，将微分传输线段两端的电压降组合成微商的形式

$\lim _{\Delta z \rightarrow 0}\left(-\frac{V(z+\Delta z)-V(z)}{\Delta z}\right)=-\frac{d V(z)}{d z}=(R+j \omega L) I(z)$

即

$-\frac{d V(z)}{d z}=(R+j \omega L) I(z)$ $(1)$

对节点 $a$ 应用基尔霍夫电流定律可得

$I(z)-V(z+\Delta z)(G+j \omega C) \Delta z=I(z+\Delta z)$

微分方程形式

$\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{I(z+\Delta z)-I(z)}{\Delta z}=\frac{d I(z)}{d z}=-(G+j \omega C) V(z)$ $(2)$

传输线方程

$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\mathrm{d} \mathrm{V(z)}}{d z}=-(R+j \omega L) I(z)} \\ {\frac{\mathrm{dI(z)}}{d z}=-(G+j \omega C) V(z)}\end{array}\right.$

电压波和电流波

传输线方程(1)式对空间求导得

$\frac{d^2 V(z)}{d z^2}=-(R+j \omega L) \frac{I(z)}{dz}$

将传输线(2)式带入上式得

$\frac{d^2 V(z)}{d z^2}-\gamma^2 V(z)=0$

同理可得

$\frac{d^2 I(z)}{d z^2}-\gamma^2 I(z)=0$

两式表示用复数描述电压和电流的特性，其中系数 $\gamma$ 是已知的复传播常数

$\gamma = \alpha +j\beta=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}$

其中 $\alpha$ 为衰减常数， $\beta$ 称为相位常数。

两式解都是指数函数，对于电压

$V(z)=V^+e^{-\gamma z}+V^- e^{+\gamma z}$

对于电流

$I(z)=I^+e^{-\gamma z}+I^- e^{+\gamma z}$

以上两式，第一项代表向+z方向传播的波，而第二项代表沿-z方向传播的波。这是没有实际意义的，因为 $\alpha\geq 0$ ,所以 $\beta$ 前的负号保证了+z方向传播的波的幅度将逐渐减小。同样，沿-z方向传播的波由于递减的指数项而逐渐衰减。

特性阻抗

将 $V(z)=V^+e^{-\gamma z}+V^- e^{+\gamma z}$ 代入 $-\frac{d V(z)}{d z}=(R+j \omega L) I(z)$ 可得

$I(z)=\frac{\gamma}{(R+j \omega L)}\left(V^{+} \mathrm{e}^{-\gamma z}-V^{-} \mathrm{e}^{+\gamma z}\right)$

因为电压与电流通常通过阻抗联系起来，引入传输线的特性阻抗(characteristic impedance) $Z_{0}$ ，其定义为

$Z_{0}=\frac{(R+j \omega L)}{\gamma}=\sqrt{\frac{(R+j \omega L)}{(G+j \omega C)}}$

电流表达式可以写成

$I(z)=\frac{1}{Z_{0}}\left(V^{+} \mathrm{e}^{-\gamma z}-V^{-} \mathrm{e}^{+\gamma z}\right)$

$Z_{0}$ 并不是常规意义上的阻抗，它的定义是基于正向和反向行进的电压波和电流波。这与基于总电压，总电流概念定义的常规电路阻抗完全不同。

无损耗传输线模型

对于较短的线段，忽略损耗不会引起明显的误差，这意味着 $R=G=0$ ,此时特征阻抗可简化为

$Z_{0}=\sqrt{L/C}$

如果选取参数为L和C的平行板传输线，那么其特性阻抗为

$Z_{0}=\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}\frac{d}{w}$

其中，平方根项称为波阻抗，在自由空间( $\mu=\mu_{0},\epsilon=\epsilon_{0}$ )该值约为377 $\Omega$ 。无损耗传输线的传播常数是纯虚数 $\gamma=j\beta$ ，其中

$\beta=\omega\sqrt{LC}$ 。

终端加载的无损耗传输线

电压反射系数

假定负载位于z=0处，电压波从 $z=-l$ 处耦合入传输线。如下图

已道，传输线上任意处的电压

$V(z)=V^+e^{-\gamma z}+V^- e^{+\gamma z}$

上式第二项的物理意义是在 $z<0$ 的区间，终端负载阻抗产生的反射。引入反射系数(reflection coefficient) $\Gamma_{0}$ ,它是反射电压波与入射电压波在负载（ $z=0$ ）处的比值：

$\Gamma_{0}=\frac{V^-}{V^+}$

根据这个定义，电压波和电流波游客用反射系数表示为

$V(z)=V^{+} (e^{-\gamma z}+\Gamma _{0} e^{+\gamma z})$

和

$I(z)=\frac{V^{+}}{Z_{0}} (e^{-\gamma z}+\Gamma _{0} e^{+\gamma z})$

如果用 $V(z)$ 除以 $I(z)$ ，可得沿着z轴 $-l\leq z\leq 0$ q区间内任意点处，作为空间函数的阻抗 $Z(z)$ 的表达式。在 $z=-l$ 处的总输入阻抗通常记为 $Z_{in}$ 。在 $z=0$ 处，阻抗等于负载阻抗：

$Z(0)=Z_{L}=Z_{0}\frac{1+\Gamma_{0}}{1-\Gamma_{0}}$

可求出反射系数

$\Gamma_{0}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}$

上式更加常用，因为它只含已知电路参数，而与特定的电压波幅度之比无关。

当负载开路时 $Z_{L}=\infty$ ，反射系数 $\Gamma_{0}=1$ ，这意味着反射电压波与入射电压波有着相同的相位；

当负载短路时 $Z_{L}=0$ ，反射系数 $\Gamma_{0}=-1$ ，这意味着反射电压波与入射电压波有着相反的振幅；

当 $Z_{0}=Z_{L}$ (此时负载阻抗与传输线的特性阻抗相匹配),反射系数 $\Gamma_{0}=0$ ，不发生反射，说明此时入射电压波完全被负载吸收了。

传播常数与相速度

对于无损耗的传输线 $R=G=0$ ，复数传播常数的定义是具有非常简单的形式

$\gamma=\alpha+j\beta=j\omega\sqrt{LC}$

其中， $\alpha$ 为衰减常数， $\beta$ 称为相位常数。且 $\alpha=0$ ， $\beta=\omega\sqrt{LC}$ 。

此时

$V(z)=V^{+} (e^{-j\beta z}+\Gamma _{0} e^{+j\beta z})$

$I(z)=\frac{V^{+}}{Z_{0}} (e^{-j\beta z}-\Gamma _{0} e^{+j\beta z})$

相位常数与相速度的关系

$\beta=\frac{\omega}{v_{p}}$

则相速度 $v_{p}$ 可由传输线参数 L 和 C 给出

$v_{p}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

由此可见传输线中相速度与频率无关。这表明了如果在传输线中传播的是脉冲信号，可以把脉冲分解为一些列频率谐波分量，而每个频率分量都以同一固定相速度传播。所以当原始脉冲到达不同的位置时，都能保持形状不变。这种现象叫做无色散(dispersion-free)传输。然而实际情况下常常要考虑相速度在某种程度上的频率相关性，或称色散，色散将引起信号畸变。

驻波与电压驻波比

把终端短路的传输线 $\Gamma_{0}=1$ 放在新坐标系d中描述

式 $V(z)=V^{+} (e^{-j\beta z}+\Gamma _{0} e^{+j\beta z})$ 可改写成

$V(d)=V^{+}\left(e^{+j\beta d}-e^{-j\beta d}\right)$

欧拉公式 $e^{ix}=cosx+isinx$ ,上式括号中内容可改写为 $2jsin(\beta d)$ ,将上式从复数变换为时域形式得

$\begin{aligned} v(d, t) &=\operatorname{Re}\left\{V e^{j \omega t}\right\}=\operatorname{Re}\left\{2 j V^{+} \sin (\beta d) e^{j \omega t}\right\} \\ &=2 V^{+} \sin (\beta d) \cos (\omega t+\pi / 2) \end{aligned}$

其中，正弦项确保了在 $d=0$ 处，任意时 $t$ ，电压都维持短路状态。c此时输入波与反射波的相位差是 $180\degree$ ，导致波在空间位置为0， $\lambda/2$ , $\lambda$ , $3\lambda/2$ 等处出现了固定的爹加零点。

将新坐标d引入 $V(z)=V^{+} (e^{-j\beta z}+\Gamma _{0} e^{+j\beta z})$ ,该公式变为

$V(d)=V^{+} e^{+j\beta d}(1+\Gamma_{0} e^{-2j\beta d})=A(d)[1+\Gamma(d)]$

其中，设 $A(d)=V^{+} e^{+j\beta d}$ ，并定义反射系数：

$\Gamma(d)=\Gamma_{0} e^{-2j\beta d}$

同理，在新的空间坐标系中，电流波的定义为

$I(d)=\frac{V^{+}}{Z_{0}} e^{+j\beta z}(1-\Gamma_{0} e^{-2j\beta d})=\frac{A(d)}{Z_{0}}[1-\Gamma(d)]$

在匹配条件下( $\Gamma_{0}=0$ )，反射系数 $\Gamma(d)=0$ ，此时只有向右传播的波。为了量化不匹配的程度，引入驻波比(standing wave ratio,SWR),又称驻波系数，即传输线上电压最大幅度(或电流)与电压最小幅度(或电流)的比值

$SWR=\frac{|V_{max}|}{|V_{min}|}=\frac{|I_{max}|}{|I_{min}|}$

注意到 $\Gamma(d)$ 的最大幅度是1，可将上式表示为下式

$SWR=\frac{1+|\Gamma_{0}|}{1-|\Gamma_{0}|}$

其取值范围是 $1\leq SWR\leq \infty$ 。图像如下

很多情况下，称SWR为电压驻波比(voltage standing wave ratio,VSWR)以区分功率驻波比(PSWR)。严格地说SWR只能运用于无损耗传输线，因为有损耗传输线电压与电流的幅值是距离的函数。但多数射频系统损耗很低，式 $SWR=\frac{1+|\Gamma_{0}|}{1-|\Gamma_{0}|}$ 可以使用。观察 $\Gamma(d)=\Gamma_{0} e^{-2j\beta d}$ 得，反射系数的实部(以及虚部)的最大最小值之间的距离为 $d=\lambda/4$ 即 $2\beta d=\pi$ ,最大值之间的距离是 $d=\lambda/2$ 。

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