几分之几在手机计算机上是哪个符号,数学各 种符号怎么表达比如根号,几分之几 – 手机爱问...
2009-06-18
几何三大问题即三个作图题: 立方倍问题; 三等分角问题; 化圆为方问题。请说明为什么不能仅用尺规来作图。
copy我原先的答案,供参考!
大约公元前6世纪到4世纪之间,古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题。
1。三等分角问题:将任一个给定的角三等分。
2。立方倍积问题:求作一个正方体的棱长,使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。
3。化圆为方问题:求作一个正方形,使它的面积和已知圆的面积相等。
这就是著名的古代几何作图三大难题。
解析几何诞生之后,人们知道直线和圆,分别是一次方程和二次方程的轨迹。而求直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点问题,从代数上看来不过是解一次方程或二次方程组的问题,最后的解是可以从方程的系数(已知量)经过有限次的加、减、乘、除和开平方求得。 因此,一个...全部
copy我原先的答案,供参考!
大约公元前6世纪到4世纪之间,古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题。
1。三等分角问题:将任一个给定的角三等分。
2。立方倍积问题:求作一个正方体的棱长,使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。
3。化圆为方问题:求作一个正方形,使它的面积和已知圆的面积相等。
这就是著名的古代几何作图三大难题。
解析几何诞生之后,人们知道直线和圆,分别是一次方程和二次方程的轨迹。而求直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点问题,从代数上看来不过是解一次方程或二次方程组的问题,最后的解是可以从方程的系数(已知量)经过有限次的加、减、乘、除和开平方求得。
因此,一个几何量能否用直尺圆规作出的问题,等价于它能否由已知量经过加、减、乘、除、开方运算求得。
从而得出结论:尺规作图法所能作出的线段或者点,只能是经过有限次加、减、乘、除及开平方(指正数开平方,并且取正值)所能作出的线段或者点。
1837年,23岁的万芝尔以他的睿智和毅力实现了自己的梦想,证明了立方倍积与三等分任意角不可能用尺规作图法解决,宣布了2000多年来,人类征服几何三大难题取得了重大胜利。
他的证明方法是这样的:
假设已知立方体的棱长为a,所求立方体的棱长为x,按立方倍积的要求应有x3=2a3的关系。
所以立方倍积实际是求作满足方程x3-2a3=0的线
段X,但些方程无有理根,若令a=1,则要作长度为2的立方根的线段,但2的立方根超出了有理数加、减、乘、除、开方的运算范围,超出了尺规作图准则中所说的数量范围,所以它是不可能解的问题。
用类似地想法,他证明了三等分角也是不可能解的问题。实际上万芝尔还证明了一个被称为高斯——万芝尔定理:如果边数N可以写成如下形式N=2t·P1·P2……Pn,其中P1、P2、…Pn都是各不相同的形如22k+1的素数,则可用尺规等分圆周N份,且只有当N可以表成这种形式时,才可用尺规等分圆周N份。
根据这一定理,任意角的三等分就不可能了。
1882年,德国数学家林德曼借助于e^iπ=-1证明了π的超越性,从而解决了化圆为方的问题。假设圆的半径为r,正方形的边长为x,按化圆为方数代数方程的根,更不能用加减乘除开平方所表示,因而不可能用尺规法作图。
从此,古典几何的三大难题都有了答案。
回答:2009-05-14 18:44
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