题目

(蒲丰投针问题)，平面上有一些平等线，它们之间的距离都是 D D D,一根长度为 L L L的针随机的投掷在平面上，其中 D ≥ L D\geq L D≥L,证明此针正好与一条直接相交的概率是 2 L / π D 2L/\pi D 2L/πD,解释这个实验为什么可以机械的估计 π \pi π的值?

解题思路

由于向桌面投针是随机的，所以用二维随机变量（X,Y）来确定它在桌上的具体位置。设X表示针的中点到平行线的的距离，Y表示针与平行线的夹角，如果 X ≤ 1 2 s i n Y X\leq\frac12sinY X≤21sinY 时，针与直线相交。
并且X在 ( 0 , D 2 ) \left(0,\frac{D}{2}\right) (0,2D) 服从均匀分布，Y在 ( 0 , π 2 ) \left(0,\frac{\pi}{2}\right) (0,2π) 服从均匀分布，XY相互独立，由此可以写出（X，Y）的概率密度函数

f ( x , y ) = 4 π D , 0 ≤ x ≤ D 2 , 0 ≤ y ≤ π 2 否则为 0 f(x,y)=\frac{4}{\pi D}, 0\leq x \leq\frac{D}{2} ,0\leq y \leq\frac{\pi}{2} 否则为 0 f(x,y)=πD4,0≤x≤2D,0≤y≤2π否则为0

因此所求概率

P { X < L 2 s i n Y } = ∬ f ( x , y ) d x d y = ∫ 0 π 2 ∫ 0 L 2 s i n y 4 π a d x d y = 2 L π D P\{X<\frac{L}2sinY\}=\iint f(x,y)dxdy=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\frac{L}2siny}\frac{4}{\pi a} dxdy=\frac{2L}{\pi D} P{X<2LsinY}=∬f(x,y)dxdy=∫02π∫02Lsinyπa4dxdy=πD2L

第二个问题
可以根据大量的实验求出 p p p，即针与平等线相交的概率，然后根据 p = 2 L π D L 和 D 已知 p=\frac{2L}{\pi D} L和D已知 p=πD2LL和D已知，则可以求出 π \pi π

本题参考
https://baike.baidu.com/item/%E8%92%B2%E4%B8%B0%E6%8A%95%E9%92%88%E9%97%AE%E9%A2%98/10876943?fr=aladdin

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