以下解题过程都是由互联网收集而来，并不保证正确，如有疑问可以留言讨论

题目1

证明：如果随机变量有界，即∣X∣<M<∞|X|<M< \infty∣X∣<M<∞,那么E(X)E(X)E(X)存在
解：
令随机变量的密度函数为f(x)f_(x)f(x)，判别期望存在的条件是∫∣x∣f(x)dx<∞\int|x|f(x)dx<\infty∫∣x∣f(x)dx<∞为真则期望存在。
因为：0≤f(x)≤1且∣x∣≥00\leq f_(x)\leq 1且|x| \geq00≤f(x)≤1且∣x∣≥0
所以：∣x∣f(x)≤∣x∣|x|f(x)\leq |x|∣x∣f(x)≤∣x∣，∫∣x∣f(x)dx<∫∣x∣dx\int|x|f(x)dx<\int|x|dx∫∣x∣f(x)dx<∫∣x∣dx
∫−MM∣x∣dx=M2∫∣x∣f(x)dx<∫∣x∣f(x)dx∫∣x∣f(x)dx<M2\int_{-M}^{M}|x|dx=M^2\\ \int|x|f(x)dx<\int|x|f(x)dx\\ \int|x|f(x)dx<M^2 ∫−MM∣x∣dx=M2∫∣x∣f(x)dx<∫∣x∣f(x)dx∫∣x∣f(x)dx<M2
所以期望存在

题目2

2.令XXX具有矩生成函数 F(x)=1−x−αF(x)=1-x^{-\alpha}F(x)=1−x−α,x≥1.x \geq1.x≥1.
a.对于使E(X)E(X)E(X)存在的α\alphaα值，计算E(X)E(X)E(X).
b.对于使Var(X)Var(X)Var(X)存在的α\alphaα值，计算Var(X)Var(X)Var(X).

解：
∵F(X)=1−x−α∴f(x)=αx−α−1E(X)=∫1∞xf(x)dx=∫1∞xαx−α−1dx=∫1∞αx−αdx=αα−1E(X2)=∫1∞x2f(x)dx=∫1∞x2αx−α−1dx=αα−2Var(X)=E(X2)−[E(X)]2=αα−2−(αα−1)2\begin{aligned} \because F(X)&=1-x^{-\alpha} \therefore f(x) = \alpha x^{-\alpha -1}\\ E(X)&=\int_1^{\infty}xf(x)dx\\ &=\int_1^{\infty}x \alpha x^{-\alpha -1}dx\\ &=\int_1^{\infty} \alpha x^{-\alpha }dx\\ &=\frac\alpha{\alpha-1}\\ E(X^2)&=\int_1^{\infty}x^2f(x)dx\\ &=\int_1^{\infty}x^2\alpha x^{-\alpha -1}dx\\ &=\frac\alpha{\alpha-2}\\ \\ Var(X)&=E(X^2)-[E(X)]^2=\frac\alpha{\alpha-2}-(\frac\alpha{\alpha-1})^2 \end{aligned} ∵F(X)E(X)E(X2)Var(X)=1−x−α∴f(x)=αx−α−1=∫1∞xf(x)dx=∫1∞xαx−α−1dx=∫1∞αx−αdx=α−1α=∫1∞x2f(x)dx=∫1∞x2αx−α−1dx=α−2α=E(X2)−[E(X)]2=α−2α−(α−1α)2

题目3

计算第2章习题3中的E(X)E(X)E(X)和Var(X)Var(X)Var(X)
原题如下：
下表为离散随机变量的累积分布函数，计算其频率函数。

k	F(k)	f(k)
0	0	0
1	0.1	0.1
2	0.3	0.2
3	0.7	0.4
4	0.8	0.1
5	1.0	0.2

其中f(k)f(k)f(k)列是此题的答案。
解题
根据定义
E(X)=∑ixip(xi)Var(X)=∑i(xi−μ)2p(xi)，其中μ=E(X)\begin{aligned} E(X)&=\sum_{i}x_ip(x_i)\\ Var(X)&=\sum_{i}(x_i-\mu)^2p(x_i)，其中\mu=E(X) \end{aligned} E(X)Var(X)=i∑xip(xi)=i∑(xi−μ)2p(xi)，其中μ=E(X)
有:
E(X)=0∗0+1∗0.1+2∗0.2+3∗0.4+4∗0.1+5∗0.2=3.1Var(X)=(0−3.1)2∗0+(1−3.1)2∗0.1+(2−3.1)2∗0.2+(3−3.1)2∗0.4+(4−3.1)2∗0.1+(5−3.1)2∗0.2=1.49\begin{aligned} E(X)&=0*0+1*0.1+2*0.2+3*0.4+4*0.1+5*0.2\\ &=3.1\\ Var(X)&=(0-3.1)^2*0+(1-3.1)^2*0.1+(2-3.1)^2*0.2+(3-3.1)^2*0.4+(4-3.1)^2*0.1+(5-3.1)^2*0.2\\ &=1.49 \end{aligned} E(X)Var(X)=0∗0+1∗0.1+2∗0.2+3∗0.4+4∗0.1+5∗0.2=3.1=(0−3.1)2∗0+(1−3.1)2∗0.1+(2−3.1)2∗0.2+(3−3.1)2∗0.4+(4−3.1)2∗0.1+(5−3.1)2∗0.2=1.49

题目4

如果XXX是离散的均匀随机变量，即$P(X=k)=1/n $,其中 k=1,2,...,nk = 1,2,...,nk=1,2,...,n计算EX(X)EX(X)EX(X)和Var(X)Var(X)Var(X)
解
根据离散期望定义E(X)=∑ixip(xi)E(X)=\sum_{i}x_ip(x_i)E(X)=∑ixip(xi)有
E(X)=∑i=1nxi1n=n+12\begin{aligned} E(X)&=\sum_{i=1}^nx_i\frac1n\\ &=\frac{n+1}2 \end{aligned} E(X)=i=1∑nxin1=2n+1
根据方差计算公式:Var(X)=E(X2)−[E(X]2Var(X)=E(X^2)-[E(X]^2Var(X)=E(X2)−[E(X]2有
Var(X)=E(X2)−[E(X]2=∑i=1nxi21n−(n+12)2=n(n+1)(2n+1)6⋅1n−(n+1)24=(n+1)(2n+1)6−(n+1)24=n2−112\begin{aligned} Var(X)&=E(X^2)-[E(X]^2\\ &=\sum_{i=1}^nx_i^2\frac1n -(\frac{n+1}2)^2\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)}6 \cdot \frac1n - \frac{(n+1)^2}4\\ &=\frac{(n+1)(2n+1)}6 - \frac{(n+1)^2}4\\ &=\frac{n^2-1}{12} \end{aligned} Var(X)=E(X2)−[E(X]2=i=1∑nxi2n1−(2n+1)2=6n(n+1)(2n+1)⋅n1−4(n+1)2=6(n+1)(2n+1)−4(n+1)2=12n2−1
备注：∑i=1nxi2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{i=1}^nx_i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6∑i=1nxi2=6n(n+1)(2n+1)

题目5

令XXX具有密度
f(x)=1+αx2,−1≤x≤1−1≤α≤1f(x)=\frac{1+\alpha x}2,-1\leq x \leq1 \quad -1\leq \alpha \leq 1 f(x)=21+αx,−1≤x≤1−1≤α≤1
计算E(X)E(X)E(X)和Var(X)Var(X)Var(X)
解
首先必须满足∫∣x∣f(x)dx<∞\int|x|f(x)dx < \infty∫∣x∣f(x)dx<∞
∫∣x∣f(x)dx=∫−11∣x∣f(x)dx=∫−10−xf(x)dx+∫01xf(x)dx=(14−α6)+(14+α6)=12\begin{aligned} \int|x|f(x)dx&=\int_{-1}^1 |x|f(x)dx\\ &=\int_{-1}^0-xf(x)dx+\int_{0}^{1}xf(x)dx\\ &=(\frac14-\frac{\alpha}6)+(\frac14+\frac{\alpha}6)\\ &=\frac12 \end{aligned} ∫∣x∣f(x)dx=∫−11∣x∣f(x)dx=∫−10−xf(x)dx+∫01xf(x)dx=(41−6α)+(41+6α)=21
所有期望是存在的

E(X)=∫−11xf(x)dx=∫−11x1+αx2dx=12([x22+αx33]−11)=α3Var(X)=∫−11(x−μ)2f(x)dx=∫−11(x−α3)2⋅1+αx2dx=12∫−11(αx3+(1−23α2)x2+(α39−23α)x+α29)dx=13−α29\begin{aligned} E(X)&=\int_{-1}^1 xf(x)dx\\ &=\int_{-1}^1x\frac{1+\alpha x}{2}dx\\ &=\frac12 \bigg ( \bigg [\frac{x^2}2+\frac{\alpha x^3}{3}\bigg ]_{-1}^{1}\bigg)\\ &=\frac{\alpha}3 \\ Var(X)&=\int_{-1}^{1}(x-\mu)^2f(x)dx\\ &=\int_{-1}^{1}(x-\frac{\alpha}3)^2\cdot \frac{1+\alpha x}2dx\\ &=\frac12\int_{-1}^{1}(\alpha x^3+(1-\frac23{\alpha}^2)x^2+(\frac{{\alpha}^3}9-\frac23\alpha)x+\frac{{\alpha}^2}9)dx\\ &=\frac13-\frac{{\alpha}^2}9 \end{aligned} E(X)Var(X)=∫−11xf(x)dx=∫−11x21+αxdx=21([2x2+3αx3]−11)=3α=∫−11(x−μ)2f(x)dx=∫−11(x−3α)2⋅21+αxdx=21∫−11(αx3+(1−32α2)x2+(9α3−32α)x+9α2)dx=31−9α2

题目6

令XXX是连续型随机变量，具有概率密度函数 f(x)=2x,0≤x≤1f(x)=2x,0\leq x \leq 1f(x)=2x,0≤x≤1
a.计算E(X)
b.令Y=X2Y=X^2Y=X2,计算YYY的概率质量函数，并由其计算E(Y)E(Y)E(Y).
c.利用4.1.1节的定理 4.1.1.1计算E(X2)E(X^2)E(X2),并与bbb中的答案来进行比较.
d.根据4.2节方差的定义计算Var(x)Var(x)Var(x),同时利用4.2节的定理4.2.2计算Var(x)Var(x)Var(x)
解：
a.计算E(X)
E(X)=∫01xf(x)dx=∫01x⋅2xdx=23\begin{aligned} E(X)&=\int_0^1 xf(x)dx\\ &=\int_0^1x\cdot2x dx\\ &=\frac23 \end{aligned} E(X)=∫01xf(x)dx=∫01x⋅2xdx=32
b.令Y=X2Y=X^2Y=X2,计算YYY的概率质量函数，并由其计算E(Y)E(Y)E(Y).
fY(y)=fx(y12)⋅(y12)′=2⋅y12⋅12y−12=1E(Y)=∫01y⋅fY(y)dy=∫01ydy=12\begin{aligned} f_Y(y)&=f_x(y^{\frac12})\cdot (y^{\frac12})^{'}\\ &=2\cdot y^{\frac12}\cdot \frac12 y^{-\frac12}\\ &=1\\ E(Y)&=\int_0^1y\cdot f_Y(y)dy\\ &=\int_0^1 y dy\\ &=\frac12 \end{aligned} fY(y)E(Y)=fx(y21)⋅(y21)′=2⋅y21⋅21y−21=1=∫01y⋅fY(y)dy=∫01ydy=21
c.利用4.1.1节的定理 4.1.1.1计算E(X2)E(X^2)E(X2),并与bbb中的答案来进行比较.
E(X2)=∫01x2f(x)dx=∫01x2⋅2xdx=12\begin{aligned} E(X^2)&=\int_0^1 x^2f(x)dx\\ &=\int_0^1x^2\cdot2x dx\\ &=\frac12 \end{aligned} E(X2)=∫01x2f(x)dx=∫01x2⋅2xdx=21
与b.中的答案一样。
d.根据4.2节方差的定义计算Var(x)Var(x)Var(x),同时利用4.2节的定理4.2.2计算Var(x)Var(x)Var(x)
按定义计算Var(X)=∫01(x−μ)2f(x)dx=∫01(x−23)⋅2xdx=∫01(2x3+89x−83x2)dx=12−49=118按定理4.2.2计算Var(x)=E(X2)−[E(X)]2=∫01x2f(x)dx−(23)2=∫012x3dx−49=12−49=118\begin{aligned} 按定义计算\\ Var(X)&=\int_0^1(x-\mu)^2f(x)dx\\ &=\int_0^1(x-\frac23)\cdot 2x dx\\ &=\int_0^1 (2x^3+\frac89x-\frac83x^2)dx\\ &=\frac12-\frac49\\ &=\frac1{18}\\ 按定理4.2.2计算\\ Var(x)&=E(X^2)-[E(X)]^2\\ &=\int_0^1x^2f(x)dx - (\frac23)^2\\ &=\int_0^12x^3dx-\frac49\\ &=\frac12-\frac49\\ &=\frac1{18} \end{aligned} 按定义计算Var(X)按定理4.2.2计算Var(x)=∫01(x−μ)2f(x)dx=∫01(x−32)⋅2xdx=∫01(2x3+98x−38x2)dx=21−94=181=E(X2)−[E(X)]2=∫01x2f(x)dx−(32)2=∫012x3dx−94=21−94=181

题目7

令XXX为离散型随机变量，可能取值为0，1，2对标的概率为12,38,18\frac12,\frac38,\frac1821,83,81.
a.求 E(X)E(X)E(X)
解：
E(X)=0∗12+1∗38+2∗18=58\begin{aligned} E(X)&=0*\frac12+1*\frac38+2*\frac18\\ &=\frac58 \end{aligned} E(X)=0∗21+1∗83+2∗81=85
b.令Y=X2Y=X^2Y=X2.求YYY的概率质量函数和期望
解：
先求出变量Y的分布，再利用随机变量期望的定义求出求出期望

Y	0	1	4
P	12\frac1221	38\frac3883	18\frac1881

E(Y)=0∗12+1∗38+4∗18=78E(Y)=0*\frac12+1*\frac38+4*\frac18=\frac78E(Y)=0∗21+1∗83+4∗81=87

题目24

证明：如果X1......XnX_1......X_nX1......Xn是具有联合分布的随机变量并且期望值为E(Xi)E(X_i)E(Xi),YYY是XiX_iXi的线性组合，Y=a+Σi=1nbiXiY=a+\Sigma_{i=1}^{n}b_iX_iY=a+Σi=1nbiXi,则E(Y)=a+∑i=1nbiE(Xi)E(Y)=a+\sum\limits_{i=1}^{n}b_iE(X_i)E(Y)=a+i=1∑nbiE(Xi)
解题思路
令n=2
E(Y)=∑x1∑x2(a+b1x1+b2x2)p(x1,x2)=a∑x1∑x2p(x1,x2)⏟1+b1∑x1∑x2x1p(x1,x2)⏟2+b2∑x1∑x2x2p(x1,x2)⏟3\begin{aligned} E(Y)&=\sum\limits_{x_1}\sum\limits_{x_2}(a+b_1x_1+b_2x_2)p(x_1,x_2)\\ &=\underbrace{a\sum\limits_{x_1}\sum\limits_{x_2}p(x_1,x_2)}_{1}+\underbrace{b_1\sum\limits_{x_1}\sum\limits_{x_2}x_1p(x_1,x_2)}_2+\underbrace{b_2\sum\limits_{x_1}\sum\limits_{x_2}x_2p(x_1,x_2)}_3 \end{aligned} E(Y)=x1∑x2∑(a+b1x1+b2x2)p(x1,x2)=1ax1∑x2∑p(x1,x2)+2b1x1∑x2∑x1p(x1,x2)+3b2x1∑x2∑x2p(x1,x2)
其中：
a∑x1∑x2p(x1,x2)=ab1∑x1∑x2x1p(x1,x2)=b1E(x1)b2∑x1∑x2x2p(x1,x2)=b2E(x2)\begin{aligned} a\sum\limits_{x_1}\sum\limits_{x_2}p(x_1,x_2)&=a\\ b_1\sum\limits_{x_1}\sum\limits_{x_2}x_1p(x_1,x_2)&=b_1E(x_1)\\ b_2\sum\limits_{x_1}\sum\limits_{x_2}x_2p(x_1,x_2)&=b_2E(x_2) \end{aligned} ax1∑x2∑p(x1,x2)b1x1∑x2∑x1p(x1,x2)b2x1∑x2∑x2p(x1,x2)=a=b1E(x1)=b2E(x2)

题目29

证明：如果随机变量XXX和YYY是独立的，那么E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)
解题思路
根据公式
E(XY)=∬xyf(x,y)dxdy=∬xyf(x)f(y)dxdy=∫xf(x)dx⋅∫yf(y)dy=E(X)⋅E(Y)\begin{aligned} E(XY)&=\iint xyf(x,y)dxdy\\ &=\iint xyf(x)f(y)dxdy\\ &=\int xf(x)dx \cdot \int yf(y)dy\\ &=E(X) \cdot E(Y) \end{aligned} E(XY)=∬xyf(x,y)dxdy=∬xyf(x)f(y)dxdy=∫xf(x)dx⋅∫yf(y)dy=E(X)⋅E(Y)

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