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https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/106039576

基础回顾

面（体）积公式

球表面积公式：S=球体积公式：V=圆锥体积公式：V=椭圆面积公式：S=扇形面积公式：S=（其中l为弧长，r为半径，θ为夹角(用π表示)）\begin{aligned} & \\ & 球表面积公式：S= \\ \\ & 球体积公式：V = \\ \\ & 圆锥体积公式：V= \\\\ & 椭圆面积公式： S= \\ \\ & 扇形面积公式： S= ~~~~~（其中l为弧长，r为半径，\theta为夹角(用\pi表示)） \end{aligned} ​球表面积公式：S=球体积公式：V=圆锥体积公式：V=椭圆面积公式：S=扇形面积公式：S=     （其中l为弧长，r为半径，θ为夹角(用π表示)）​

一元二次方程基础

一元二次方程：根的公式：韦达定理：x1+x2=x1x2=判别式：Δ=b2−4ac⟹{Δ>0Δ=0Δ<0抛物线y=ax2+bx+c的顶点：()\begin{aligned} & \\ & 一元二次方程： \\ \\ & 根的公式： ~~~~ \\ \\ & 韦达定理： x_1 + x_2 = ~~~~~~~ x_1 x_2 = \\ \\ & 判别式： \Delta=b^2 - 4ac \implies \begin{cases} \Delta >0 \\ \Delta =0 \\ \Delta <0 \\ \end{cases} \\\\ & 抛物线~ y=ax^2 + bx + c 的顶点：() \end{aligned} ​一元二次方程：根的公式：    韦达定理：x1​+x2​=       x1​x2​=判别式：Δ=b2−4ac⟹⎩⎪⎨⎪⎧​Δ>0Δ=0Δ<0​抛物线 y=ax2+bx+c的顶点：()​

极坐标方程与直角坐标转换

直角坐标化极坐标{x=y=⟹x2+y2=极坐标化直角坐标：ρ2=x2+y2⟹tan⁡θ=\begin{aligned} &直角坐标化极坐标 \begin{cases} x = \\ y = \end{cases} \implies x^2+y^2= \\\\ &极坐标化直角坐标 ：\rho ^2 = x^2+y^2 \implies \tan \theta = \\\\ \end{aligned} ​直角坐标化极坐标{x=y=​⟹x2+y2=极坐标化直角坐标：ρ2=x2+y2⟹tanθ=​

切线与法线方程

切线方程：法线方程：\begin{aligned} & 切线方程： \\ \\ & 法线方程： \end{aligned} ​切线方程：法线方程：​

因式分解公式

(a+b)2=(a−b)2=(a+b)3=(a−b)3=(a+b)(a−b)=a3+b3=a3−b3=an−bn=(a+b)n=\begin{aligned} & \\ & (a+b)^2 = \\ \\ & (a-b)^2 = \\ \\ & (a+b)^3 = \\ \\ & (a-b)^3 = \\ \\ & (a+b)(a-b) = \\ \\ & a^3 + b^3 = \\ \\ & a^3-b^3 = \\ \\ & a^n-b^n = \\ \\ & (a+b)^n = \end{aligned} ​(a+b)2=(a−b)2=(a+b)3=(a−b)3=(a+b)(a−b)=a3+b3=a3−b3=an−bn=(a+b)n=​

阶乘与双阶乘

n!=(规定0!=？)(2n)!!=(2n−1)!!=\begin{aligned} & n! = ~~~~~(规定0!=？) \\ \\ & (2n)!! = \\ \\ & (2n-1)!! = \end{aligned} ​n!=     (规定0!=？)(2n)!!=(2n−1)!!=​

函数的奇偶性

定义在[−a,a]上的任一函数，可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和：f(x)=\begin{aligned} & 定义在[-a,a]上的任一函数，可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和： \\ \\ & f(x) = \end{aligned} ​定义在[−a,a]上的任一函数，可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和：f(x)=​

排列组合

Anm=Cnm=\begin{aligned} A_n^m & = \\\\ C_n^m & = \end{aligned} Anm​Cnm​​==​

等差数列

an=Sn=Sn=\begin{aligned} & a_n = \\ \\ & S_n = \\ \\ & S_n = \\ \\ \end{aligned} ​an​=Sn​=Sn​=​

等比数列

an=Sn=\begin{aligned} & a_n = \\ \\ & S_n = \end{aligned} ​an​=Sn​=​

常用数列前n项和

∑k=1nk=1+2+3+⋯+n=∑k=1n(2k−1)=1+3+5+⋯+(2n−1)=∑k=1nk2=12+22+32+⋯+n2=∑k=1nk3=13+23+33+⋯+n3=∑k=1nk(k+1)=1×2+2×3+3×4+⋯+n(n+1)=∑k=1n1k(k+1)=11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)=\begin{aligned} & \\ & \sum_{k=1}^n k = 1 + 2+3+\cdots + n= \\ \\ & \sum_{k=1}^n (2k-1) = 1+ 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = \\ \\ & \sum_{k=1}^n k^2 = 1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2 = \\ \\ & \sum_{k=1}^n k^3 = 1^3 + 2^3 +3^3 +\cdots + n^3 = \\ \\ & \sum_{k=1}^n k(k+1) = 1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + \cdots + n(n+1) = \\\\ & \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} = \end{aligned} ​k=1∑n​k=1+2+3+⋯+n=k=1∑n​(2k−1)=1+3+5+⋯+(2n−1)=k=1∑n​k2=12+22+32+⋯+n2=k=1∑n​k3=13+23+33+⋯+n3=k=1∑n​k(k+1)=1×2+2×3+3×4+⋯+n(n+1)=k=1∑n​k(k+1)1​=1×21​+2×31​+3×41​+⋯+n(n+1)1​=​

不等式

?≤a2+b2?≤∣a∣+∣b∣?≤∣a−b∣?≤∣a1∣+∣a2∣+⋅⋅⋅+∣an∣?≤∫ab∣f(x)∣dx(a<b)ab?a+b2?a2+b22(a,b>0)abc3?a+b+c3?a2+b2+c23(a,b,c>0)?a1+a2+...+ann??xpp+xqq(ac+bd)2?(a2+b2)(c2+d2)(a1b1+a2b2+a3b3)2?(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)[∫abf(x)⋅g(x)dx]2≤sin⁡x?x?tan⁡x(0<x<π2)arctan⁡x?x?arcsin⁡x(0≤x≤1)x+1?exln⁡x?x−1?<ln⁡(1+1x)<?(x>0)\begin{aligned} & \\ & ? \le a ^ 2 + b^2 \\ \\ & ? \le |a| + |b| \\ \\ & ? \le |a-b| \\ \\ & ? \le |a_1| + |a_2| + \cdot\cdot\cdot + |a_n| \\ \\ & ? \le \int_a^b |f(x)| dx ~~~~~(a<b) \\ \\ & \sqrt{ab} ~~~?~~~ \frac{a+b}{2} ~~~?~~~ \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} ~~~~~(a,b>0) \\ \\ & \sqrt[3]{abc} ~~~?~~~ \frac{a+b+c}{3} ~~~?~~~ \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} ~~~~~(a,b,c>0) \\ \\ & ~~~?~~~ \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} ~~~?~~~\\ \\ & ~~~?~~~ \frac{x^p}{p} + \frac{x^q}{q} \\ \\ & (ac+bd)^2 ~~~?~~~ (a^2+b^2)(c^2+d^2) \\ \\ & (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)^2 ~~~?~~~ ({a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2)({b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2) \\ \\ & [\int_a^b f(x)\cdot g(x) dx]^2 \le \\ \\ & \sin x ~~~?~~~x ~~~?~~~ \tan x ~~~~~(0<x<\frac{\pi}{2}) \\ \\ & \arctan x ~~~?~~~ x ~~~?~~~ \arcsin x ~~~~~(0\le x \le 1) \\ \\ & x+1 ~~~?~~~ e^x \\ \\ & \ln x ~~~?~~~ x-1 \\ \\ & ? < \ln (1+\frac{1}{x}) < ? ~~~~~(x>0) \end{aligned} ​?≤a2+b2?≤∣a∣+∣b∣?≤∣a−b∣?≤∣a1​∣+∣a2​∣+⋅⋅⋅+∣an​∣?≤∫ab​∣f(x)∣dx     (a<b)ab​   ?   2a+b​   ?   2a2+b2​​     (a,b>0)3abc​   ?   3a+b+c​   ?   3a2+b2+c2​​     (a,b,c>0)   ?   na1​+a2​+...+an​​   ?      ?   pxp​+qxq​(ac+bd)2   ?   (a2+b2)(c2+d2)(a1​b1​+a2​b2​+a3​b3​)2   ?   (a1​2+a2​2+a3​2)(b1​2+b2​2+b3​2)[∫ab​f(x)⋅g(x)dx]2≤sinx   ?   x   ?   tanx     (0<x<2π​)arctanx   ?   x   ?   arcsinx     (0≤x≤1)x+1   ?   exlnx   ?   x−1?<ln(1+x1​)<?     (x>0)​

三角函数公式

诱导公式

sin⁡(−α)=cos⁡(−α)=sin⁡(π2−α)=cos⁡(π2−α)=sin⁡(π2+α)=cos⁡(π2+α)=sin⁡(π−α)=cos⁡(π−α)=sin⁡(π+α)=cos⁡(π+α)=\begin{aligned} & \sin (-\alpha) = \\ \\ & \cos (-\alpha) = \\ \\ & \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \\ \\ & \cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \\ \\ & \sin (\frac{\pi}{2} + \alpha) = \\ \\ & \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) = \\ \\ & \sin (\pi - \alpha) = \\ \\ & \cos (\pi - \alpha) = \\ \\ & \sin (\pi + \alpha) = \\ \\ & \cos (\pi + \alpha) = \\ \\ \\ \end{aligned} ​sin(−α)=cos(−α)=sin(2π​−α)=cos(2π​−α)=sin(2π​+α)=cos(2π​+α)=sin(π−α)=cos(π−α)=sin(π+α)=cos(π+α)=​

平方关系

1+tan⁡2α=1+cot⁡2α=sin⁡2α+cos⁡2α=\begin{aligned} & \\ & 1 + \tan ^2 \alpha = \\ \\ & 1 + \cot^2 \alpha = \\ \\ & \sin^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = \end{aligned} ​1+tan2α=1+cot2α=sin2α+cos2α=​

两角和与差的三角函数

sin⁡(α+β)=cos⁡(α+β)=sin⁡(α−β)=cos⁡(α−β)=tan⁡(α+β)=tan⁡(α−β)=\begin{aligned} & \sin (\alpha + \beta) = \\ \\ & \cos (\alpha + \beta) = \\ \\ & \sin (\alpha - \beta) = \\ \\ & \cos (\alpha - \beta) = \\ \\ & \tan (\alpha + \beta) = \\ \\ & \tan (\alpha - \beta) = \end{aligned} ​sin(α+β)=cos(α+β)=sin(α−β)=cos(α−β)=tan(α+β)=tan(α−β)=​

积化和差公式

cos⁡αcos⁡β=cos⁡αsin⁡β=sin⁡αcos⁡β=sin⁡αsin⁡β=\begin{aligned} & \cos \alpha \cos \beta = \\ \\ & \cos \alpha \sin \beta = \\ \\ & \sin \alpha \cos \beta = \\ \\ & \sin \alpha \sin \beta = \end{aligned} ​cosαcosβ=cosαsinβ=sinαcosβ=sinαsinβ=​

和差化积公式

sin⁡α+sin⁡β=sin⁡α−sin⁡β=cos⁡α+cos⁡β=cos⁡α−cos⁡β=\begin{aligned} & \sin \alpha + \sin \beta = \\ \\ & \sin \alpha - \sin \beta = \\ \\ & \cos \alpha + \cos \beta = \\ \\ & \cos \alpha - \cos \beta = \end{aligned} ​sinα+sinβ=sinα−sinβ=cosα+cosβ=cosα−cosβ=​

倍角公式

sin⁡2α=cos⁡2α=sin⁡3α=cos⁡3α=sin⁡2α=cos⁡2α=tan⁡2α=cot⁡2α=\begin{aligned} & \sin 2\alpha = \\ \\ & \cos 2\alpha = \\ \\ & \sin 3\alpha = \\ \\ & \cos 3 \alpha = \\ \\ & \sin^2 \alpha = \\ \\ & \cos^2 \alpha = \\ \\ & \tan 2\alpha = \\ \\ & \cot 2\alpha = \end{aligned} ​sin2α=cos2α=sin3α=cos3α=sin2α=cos2α=tan2α=cot2α=​

半角公式

sin⁡2α2=cos⁡2α2=sin⁡α2=cos⁡α2=tan⁡α2=cot⁡α2=\begin{aligned} & \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \\ \\ & \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \\ \\ & \sin \frac{\alpha}{2} = \\ \\ & \cos \frac{\alpha}{2} =\\ \\ & \tan \frac{\alpha}{2} = \\ \\ & \cot \frac{\alpha}{2} = \end{aligned} ​sin22α​=cos22α​=sin2α​=cos2α​=tan2α​=cot2α​=​

万能公式

sin⁡α=cos⁡α=\begin{aligned} & \sin \alpha = \\ \\ & \cos \alpha = \end{aligned} ​sinα=cosα=​

其他公式

1+sin⁡α=1−sin⁡α=\begin{aligned} & 1 + \sin \alpha = \\ \\ & 1 - \sin \alpha = \end{aligned} ​1+sinα=1−sinα=​

反三角函数恒等式

arcsin⁡x+arccos⁡x=arctan⁡x+arccotx=sin⁡(arccos⁡x)=cos⁡(arcsin⁡x)=sin⁡(arcsin⁡x)=arcsin⁡(sin⁡x)=cos⁡(arccos⁡x)=arccos⁡(cos⁡x)=arccos⁡(−x)=\begin{aligned} & \arcsin x + \arccos x = \\ \\ & \arctan x + arccot ~x= \\ \\ & \sin(\arccos x) = \\ \\ & \cos(\arcsin x) = \\ \\ & \sin(\arcsin x) = \\ \\ & \arcsin (\sin x) = \\ \\ & \cos (\arccos x) = \\ \\ & \arccos (\cos x) = \\ \\ & \arccos (-x) = \end{aligned} ​arcsinx+arccosx=arctanx+arccot x=sin(arccosx)=cos(arcsinx)=sin(arcsinx)=arcsin(sinx)=cos(arccosx)=arccos(cosx)=arccos(−x)=​

极限相关公式

数列极限递推式

an+1=f(an)结论一：f′(x)>0，{a2>a1⟹{an}单调递？a2<a1⟹{an}单调递？结论二（压缩映像原理）：？\begin{aligned} & a_{n+1} = f(a_n) \\\\ 结论一： & f'(x) > 0 ， \begin{cases} a_2 > a_1 \implies \{ a_n \} 单调递？ \\ a_2 < a_1 \implies \{ a_n \} 单调递？ \end{cases} \\\\ 结论二（压缩映像原理）：？ \end{aligned} 结论一：结论二（压缩映像原理）：？​an+1​=f(an​)f′(x)>0，{a2​>a1​⟹{an​}单调递？a2​<a1​⟹{an​}单调递？​​

重要极限公式

lim⁡x→0+xαln⁡x=lim⁡x→0+xα(ln⁡x)k=lim⁡x→+∞xαe−δx=lim⁡x→0sin⁡xx=lim⁡x→0(1+x)1x=lim⁡n→∞nn=lim⁡n→∞an=\begin{aligned} & \lim_{x \to 0^+} x^\alpha \ln x = \\\\ & \lim_{x \to 0^+} x^\alpha (\ln x)^k = \\\\ & \lim_{x \to +\infty} x^\alpha e^{-\delta x} = \\\\ & \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = \\ \\ & \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = \\\\ & \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = \\\\ & \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = \\\\ \end{aligned} ​x→0+lim​xαlnx=x→0+lim​xα(lnx)k=x→+∞lim​xαe−δx=x→0lim​xsinx​=x→0lim​(1+x)x1​=n→∞lim​nn​=n→∞lim​na​=​

常用等价无穷小

x→0时，x∼???????,1−cos⁡x∼?,(1+x)a−1∼?,ax−1∼?\begin{aligned} & x \to 0 时，\\\\ & x \sim??????? ~~,~~ 1- \cos x \sim ? ~~, \\ \\ & (1+x)^a - 1 \sim ? ~~,~~ a^x - 1 \sim ? \end{aligned} ​x→0时，x∼???????  ,  1−cosx∼?  ,(1+x)a−1∼?  ,  ax−1∼?​

1^∞ 型

lim⁡uv=e?\lim u^v = e^? limuv=e?

导数相关公式

导数定义

f′(x0)=f′(x0)=\begin{aligned} & f'(x_0) = \\\\ & f'(x_0) = \end{aligned} ​f′(x0​)=f′(x0​)=​

微分定义

Δy=Δy=AΔx=\begin{aligned} & \Delta y = \\ \\ & \Delta y = \\ \\ & A\Delta x = \end{aligned} ​Δy=Δy=AΔx=​

连续，可导及可微关系

一元函数

多元函数

导数四则运算

[u(x)±v(x)]′=[u(x)v(x)]′=[u(x)v(x)w(x)]′=[u(x)v(x)]′=\begin{aligned} & [u(x) \pm v(x)]' = \\ \\ & [u(x)v(x)]' = \\ \\ & [u(x)v(x)w(x)]' = \\ \\ & \begin{bmatrix}\frac{u(x)}{v(x)} \end{bmatrix}' = \\ \\ \end{aligned} ​[u(x)±v(x)]′=[u(x)v(x)]′=[u(x)v(x)w(x)]′=[v(x)u(x)​​]′=​

复合函数求导

{f[g(x)]}′=\{ f[g(x)] \}' = {f[g(x)]}′=

反函数求导

y=f(x),x=φ(y)⟹φ′(y)=yx′=yxx′′=\begin{aligned} & y = f(x), x = \varphi(y) \implies \varphi ' (y) = \\ \\ & y'_x = \\ \\ & y^{''}_{xx} = \end{aligned} ​y=f(x),x=φ(y)⟹φ′(y)=yx′​=yxx′′​=​

参数方程求导

{x=φ(t)y=ψ(t)dydx=d2ydx2=\begin{aligned} & \begin{cases} x = \varphi (t) \\ y = \psi (t) \end{cases} \\\\ & \frac{dy}{dx} = \\ \\ & \frac{d^2 y}{dx^2} = \end{aligned} ​{x=φ(t)y=ψ(t)​dxdy​=dx2d2y​=​

变限积分求导公式

设F(x)=∫φ1(x)φ2(x)f(t)dt,则F′(x)=\begin{aligned} & 设 F(x) = \int ^{\varphi_2(x)}_{\varphi_1(x)} f(t) dt, 则 \\ \\ & F'(x) = \end{aligned} ​设F(x)=∫φ1​(x)φ2​(x)​f(t)dt,则F′(x)=​

基本初等函数的导数公式（❤❤❤）

(xa)′=(ax)′=(ex)′=(logax)′=(ln⁡x)′=(sin⁡x)′=(cos⁡x)′=(arcsin⁡x)′=(arccos⁡x)′=(tan⁡x)′=(cot⁡x)′=(arctan⁡x)′=(arccotx)′=(sec⁡x)′=(csc⁡x)′=[ln⁡(x+x2+1)]′=[ln⁡(x+x2−1)]′=\begin{aligned} & (x^a)' = \\ \\ & (a^x)' = \\ \\ & (e^x)' = \\ \\ & (log_a x)' = \\ \\ & (\ln x)' = \\ \\ & (\sin x)' = \\ \\ & (\cos x)' = \\ \\ & (\arcsin x)' = \\ \\ & (\arccos x)' = \\ \\ & (\tan x)' = \\ \\ & (\cot x)' = \\ \\ & (\arctan x)' = \\ \\ & (arccot ~ x)' = \\ \\ & (\sec x)' = \\ \\ & (\csc x)' = \\ \\ & [\ln (x+\sqrt{x^2+1})]' = \\ \\ & [\ln (x+\sqrt{x^2-1})]' = \\ \\ \end{aligned} ​(xa)′=(ax)′=(ex)′=(loga​x)′=(lnx)′=(sinx)′=(cosx)′=(arcsinx)′=(arccosx)′=(tanx)′=(cotx)′=(arctanx)′=(arccot x)′=(secx)′=(cscx)′=[ln(x+x2+1​)]′=[ln(x+x2−1​)]′=​

高阶导数的运算

[u±v](n)=[u \pm v ]^{(n)} = [u±v](n)=
(uv)(n)=\begin{aligned} (uv)^{(n)} & = \\ \end{aligned} (uv)(n)​=​

常用初等函数的n阶导数公式

(ax)(n)=(ex)(n)=(sin⁡kx)(n)=(cos⁡kx)(n)=(ln⁡x)(n)=[ln⁡(1+x)](n)=[(x+x0)m](n)=(1x+a)(n)=\begin{aligned} & (a^x)^{(n)} = \\ \\ & (e^x)^{(n)} = \\ \\ & (\sin kx)^{(n)} = \\ \\ & (\cos kx)^{(n)} = \\ \\ & (\ln x) ^ {(n)} = \\ \\ & [\ln(1+x)]^{(n)} = \\ \\ & [(x+x_0)^m]^{(n)} = \\ \\ & (\frac{1}{x+a})^{(n)} = \\ \\ \end{aligned} ​(ax)(n)=(ex)(n)=(sinkx)(n)=(coskx)(n)=(lnx)(n)=[ln(1+x)](n)=[(x+x0​)m](n)=(x+a1​)(n)=​

极值判别条件

{1.f′(x)左右异号⟹{左正右负⟹极?值左负右正⟹极?值2.f′(x)=0,f′′(x)≠0⟹{f′′(x)<0⟹极?值f′′(x)>0⟹极?值3.f′′(x)到f(n−1)(x)=0，f(n)(x)≠0，n为?数⟹{f(n)(x)<0⟹极?值f(n)(x)>0⟹极?值\begin{cases} 1.~~f'(x)左右异号 \implies \begin{cases} 左正右负 \implies 极?值 \\ 左负右正 \implies 极?值 \end{cases} \\ \\ 2.~~f'(x)=0, f''(x)\ne 0 \implies \begin{cases} f''(x) < 0 \implies 极?值 \\ f''(x)>0 \implies 极?值 \end{cases} \\ \\ 3. ~~f''(x) 到 f^{(n-1)}(x)=0 ，f^{(n)}(x) \ne 0， n为?数 \implies \begin{cases} f^{(n)}(x) < 0 \implies 极?值 \\ f^{(n)}(x) > 0 \implies 极?值 \end{cases} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​1.  f′(x)左右异号⟹{左正右负⟹极?值左负右正⟹极?值​2.  f′(x)=0,f′′(x)​=0⟹{f′′(x)<0⟹极?值f′′(x)>0⟹极?值​3.  f′′(x)到f(n−1)(x)=0，f(n)(x)​=0，n为?数⟹{f(n)(x)<0⟹极?值f(n)(x)>0⟹极?值​​

凹凸性判定

1.{f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2⟹?f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2⟹?2.{f′′(x)>0⟹?f′′(x)<0⟹?\begin{aligned} 1.&\begin{cases} f(\frac{x_1+x_2}{2}) < \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \implies ? \\\\ f(\frac{x_1+x_2}{2}) > \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \implies ? \end{cases} \\\\ 2.&\begin{cases} f''(x) > 0 \implies ? \\\\ f''(x) < 0 \implies ? \end{cases} \end{aligned} 1.2.​⎩⎪⎨⎪⎧​f(2x1​+x2​​)<2f(x1​)+f(x2​)​⟹?f(2x1​+x2​​)>2f(x1​)+f(x2​)​⟹?​⎩⎪⎨⎪⎧​f′′(x)>0⟹?f′′(x)<0⟹?​​

拐点判别条件

{1.f′′(x)左右异号⟹{左负右正⟹?左正右负⟹?2.f′′(x)=0,f′′′(x)≠0⟹{f′′′(x)<0⟹?f′′′(x)>0⟹?3.f′′(x)到f(n−1)(x)=0，f(n)(x)≠0，n为?数⟹{f(n)(x)<0⟹?f(n)(x)>0⟹?\begin{cases} 1.~~f''(x)左右异号 \implies \begin{cases} 左负右正 \implies ? \\ 左正右负 \implies ? \end{cases} \\ \\ 2.~~f''(x)=0, f'''(x)\ne 0 \implies \begin{cases} f'''(x) < 0 \implies ? \\ f'''(x)>0 \implies ? \end{cases} \\ \\ 3. ~~f''(x) 到 f^{(n-1)}(x)=0 ，f^{(n)}(x) \ne 0， n为?数 \implies \begin{cases} f^{(n)}(x) < 0 \implies ? \\ f^{(n)}(x) > 0 \implies ? \end{cases} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​1.  f′′(x)左右异号⟹{左负右正⟹?左正右负⟹?​2.  f′′(x)=0,f′′′(x)​=0⟹{f′′′(x)<0⟹?f′′′(x)>0⟹?​3.  f′′(x)到f(n−1)(x)=0，f(n)(x)​=0，n为?数⟹{f(n)(x)<0⟹?f(n)(x)>0⟹?​​

斜渐近线

lim⁡x→??=alim⁡x→?(?)=b⟹斜渐近线为：y=ax+b\lim_{x \to ?} ? = a ~~~~\lim_{x \to ?}(?) = b \implies 斜渐近线为： y=ax+b x→?lim​?=a    x→?lim​(?)=b⟹斜渐近线为：y=ax+b

曲率

密切圆半径r=?曲率K=?曲率圆?\begin{aligned} 密切圆半径 ~~~~~ & r = ? \\ \\ 曲率 ~~~~~ &K = ? \\ \\ 曲率圆 ~~~~~& ? \end{aligned} 密切圆半径     曲率     曲率圆     ​r=?K=??​

积分相关公式

定积分的精确定义

∫abf(x)dx=?常用：∫01f(x)dx=?∫0kf(x)dx=?二重定积分精确定义：∬Df(x,y)dσ=?常用：∫01∫01f(x,y)dxdy=?\begin{aligned} & \int_a^b f(x) dx = ? \\ \\ \\ 常用：& \int_0^1 f(x) dx = ? \\ \\ & \int_0^k f(x) dx = ? \\ \\ \\ 二重定积分精确定义：& \iint\limits_D f(x,y) d\sigma = ? \\ \\ \\ 常用：&\int_0^1 \int_0^1 f(x,y) dxdy = ? \end{aligned} 常用：二重定积分精确定义：常用：​∫ab​f(x)dx=?∫01​f(x)dx=?∫0k​f(x)dx=?D∬​f(x,y)dσ=?∫01​∫01​f(x,y)dxdy=?​

分布积分公式

∫udv=?∫uv(n+1)dx=?\begin{aligned} & \int u dv = ? \\ & \int uv^{(n+1)}dx = ? \end{aligned} ​∫udv=?∫uv(n+1)dx=?​

分部积分表格法

?? ?

区间再现公式

∫abf(x)dx=?\int_a^b f(x) dx = ? ∫ab​f(x)dx=?

华里士公式

？？ ？

敛散性判别公式

∫1+∞1xpdx⟹?∫011xpdx⟹?\begin{aligned} & \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx \implies ? \\\\ & \int_0^1 \frac{1}{x^p} dx \implies & ? \\\\ \end{aligned} ​∫1+∞​xp1​dx⟹?∫01​xp1​dx⟹​?​

基本积分公式

以下公式中，α与a均为常数，除声明者外，a>0∫xαdx=?∫1xdx=?∫axdx=?∫exdx=?∫sin⁡xdx=?∫cos⁡xdx=?∫tan⁡xdx=?∫cot⁡xdx=?∫sec⁡xdx=?∫csc⁡xdx=?∫sec⁡2xdx=?∫csc⁡2xdx=?∫1a2+x2dx=?∫1a2−x2dx=?∫1a2−x2dx=？∫1x2±a2dx=？\begin{aligned} & 以下公式中，\alpha 与 a 均为常数，除声明者外，a>0 \\ \\ & \int x^\alpha dx = ? \\ \\ & \int \frac{1}{x} dx =?\\ \\ & \int a^x dx =? \\ \\ & \int e^x dx = ? \\ \\ & \int \sin x dx =? \\ \\ & \int \cos x dx =? \\ \\ & \int \tan x dx = ? \\ \\ & \int \cot xdx =? \\ \\ & \int \sec x dx =? \\ \\ & \int \csc x dx =? \\ \\ & \int \sec ^2 x dx = ? \\ \\ & \int \csc^2x dx = ? \\ \\ & \int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = ? \\ \\ & \int \frac{1}{a^2-x^2} dx =? \\ \\ & \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx =？ \\ \\ & \int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} dx = ？ \end{aligned} ​以下公式中，α与a均为常数，除声明者外，a>0∫xαdx=?∫x1​dx=?∫axdx=?∫exdx=?∫sinxdx=?∫cosxdx=?∫tanxdx=?∫cotxdx=?∫secxdx=?∫cscxdx=?∫sec2xdx=?∫csc2xdx=?∫a2+x21​dx=?∫a2−x21​dx=?∫a2−x2​1​dx=？∫x2±a2​1​dx=？​

重要积分公式

∫−∞+∞e−x2dx=？=？∫0+∞xne−xdx=？∫−aaf(x)dx=∫0a？dx∫0πxf(sin⁡x)dx=？=？∫abf(x)dx=？∫01？dx\begin{aligned} & \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = ？ = ？ \\ \\ & \int_{0}^{+\infty} x^n e^{-x} dx = ？ \\ \\ & \int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_0^a ？dx \\ \\ & \int_0^\pi xf(\sin x) dx = ？=？ \\ \\ & \int_a^b f(x) dx = ？ \int_0^1 ？ dx \end{aligned} ​∫−∞+∞​e−x2dx=？=？∫0+∞​xne−xdx=？∫−aa​f(x)dx=∫0a​？dx∫0π​xf(sinx)dx=？=？∫ab​f(x)dx=？∫01​？dx​

积分求平均值

f(x)在[a,b]上的平均值为：？f(x) 在[a,b]上的平均值为： ？ f(x)在[a,b]上的平均值为：？

定积分应用

定积分求平面图形面积

y=y1(x)与y=y2(x)，及x=a，x=b（a<b）所围成的平面图形面积：S=？曲线r=r1(θ)与r=r2(θ)与两射线θ=α与θ=β（0<β−α≤2π）所围成的曲边扇形的面积：S=？\begin{aligned} & y=y_1(x) 与 y=y_2(x)，及x=a，x=b（a<b）所围成的平面图形面积：\\ \\ & S= ？ \\ \\ \\ & 曲线 r=r_1(\theta) 与 r=r_2(\theta) 与 两射线 \theta = \alpha 与 \theta = \beta （0<\beta - \alpha \le 2\pi）所围成的曲边扇形的面积：\\ \\ & S = ？ \end{aligned} ​y=y1​(x)与y=y2​(x)，及x=a，x=b（a<b）所围成的平面图形面积：S=？曲线r=r1​(θ)与r=r2​(θ)与两射线θ=α与θ=β（0<β−α≤2π）所围成的曲边扇形的面积：S=？​

定积分求旋转体的体积

曲线y=y(x)与x=a，x=b(a<b)及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积V=？曲线y=y1(x)≥0与y=y2(x)≥0及x=a，x=b（a<b）所围成的平面图形绕x轴旋转一周所的到的旋转体的体积V=？曲线y=y(x)与x=a,x=b（0≤a<b）及x轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的的旋转体的体积Vy=？曲线y=y1(x)与y=y2(x)及x=a，x=b（0≤a≤b）所围成的圆形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V=？\begin{aligned} & 曲线 y=y(x)与x=a，x=b(a<b)及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积 \\ \\ & V = ？ \\ \\ \\ & 曲线y=y_1(x) \ge 0 与 y = y_2(x) \ge 0 及 x=a，x=b（a<b）所围成的平面图形绕x轴旋转一周所的到的旋转体的体积 \\ \\ & V = ？ \\ \\ \\ & 曲线 y=y(x) 与 x=a,x=b（0\le a < b） 及x轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的的旋转体的体积 \\ \\ & V_y = ？\\ \\ \\ & 曲线y=y_1(x)与y=y_2(x)及x=a，x=b（0\le a \le b）所围成的圆形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积 \\\\ & V= ？ \end{aligned} ​曲线y=y(x)与x=a，x=b(a<b)及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积V=？曲线y=y1​(x)≥0与y=y2​(x)≥0及x=a，x=b（a<b）所围成的平面图形绕x轴旋转一周所的到的旋转体的体积V=？曲线y=y(x)与x=a,x=b（0≤a<b）及x轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的的旋转体的体积Vy​=？曲线y=y1​(x)与y=y2​(x)及x=a，x=b（0≤a≤b）所围成的圆形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V=？​

平面曲线的弧长

L=∫ab？dxL=∫αβ？dtL=∫αβ？dθ\begin{aligned} & L = \int_a^b ？dx \\ \\ & L = \int_\alpha^\beta ？dt \\ \\ & L = \int_\alpha^\beta ？d\theta \end{aligned} ​L=∫ab​？dxL=∫αβ​？dtL=∫αβ​？dθ​

旋转曲面的面积

曲线y=y(x)在区间[a,b]上的曲线弧段绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的“面积”S=？dxS=？dt\begin{aligned} & 曲线y=y(x)在区间[a,b]上的曲线弧段绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的“面积” \\\\ & S = ？dx \\ \\ & S = ？dt \end{aligned} ​曲线y=y(x)在区间[a,b]上的曲线弧段绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的“面积”S=？dxS=？dt​

平面截面面积为已知的立体体积

在区间[a,b]上，垂直于x轴的平面截立体Ω所得到截面面积为x的连续函数A(x)，则Ω的体积为V=？\begin{aligned} & 在区间[a,b]上，垂直于x轴的平面截立体\Omega所得到截面面积为x的连续函数A(x)，则\Omega的体积为 \\ \\ & V = ？ \end{aligned} ​在区间[a,b]上，垂直于x轴的平面截立体Ω所得到截面面积为x的连续函数A(x)，则Ω的体积为V=？​

变力沿直线做功

设力函数为F(x)（a≤x≤b），则物体沿x轴从点a移动到点b时，变力F(x)所做的功为W=？\begin{aligned} & 设力函数为F(x) （a\le x \le b），则物体沿x轴从点a移动到点b时，变力F(x)所做的功为 \\\\ & W = ？ \end{aligned} ​设力函数为F(x)（a≤x≤b），则物体沿x轴从点a移动到点b时，变力F(x)所做的功为W=？​

抽水做功

W=？\begin{aligned} & W = ？ ~~~~~\\\\ \end{aligned} ​W=？

水压力

P=?\begin{aligned} & P = ? ~~~~~\\\\ \end{aligned} ​P=?

质心

直线段的质心（一维）

xˉ=\begin{aligned} & \bar{x} = \end{aligned} ​xˉ=​

不均匀薄片质心（二维）

xˉ=yˉ=\begin{aligned} & \bar{x} = \\\\ & \bar{y} = \\\\ \end{aligned} ​xˉ=yˉ​=​

形心

xˉ=yˉ=\begin{aligned} & \bar{x} = \\\\ & \bar{y} = \\\\ \end{aligned} ​xˉ=yˉ​=​

质量

m=∬D?dxdym = \iint\limits_D ?dxdy m=D∬​?dxdy

转动惯量

Ix=Iy=\begin{aligned} & I_x = & I_y = \end{aligned} ​Ix​=​Iy​=​

物理公式

浮力公式：F浮=压强：P=压强与气体体积成反比：水深h处的压强：P=在水中的压力：F压=力：F=做功：W功=引力：F=\begin{aligned} 浮力公式：~~~ & F_{浮} = \\\\ 压强：~~~& P = \\\\ 压强与气体体积成反比：~~~& \\\\ 水深h处的压强：~~~& P=\ \\\\ 在水中的压力：~~~& F_{_压} = \\ \\ 力：~~~& F = \\ \\ 做功：~~~& W_功 = \\\\ 引力：~~~ & F = \end{aligned} 浮力公式：   压强：   压强与气体体积成反比：   水深h处的压强：   在水中的压力：   力：   做功：   引力：   ​F浮​=P=P= F压​​=F=W功​=F=​

泰勒公式

f(x)=\begin{aligned} f(x) & = \\ \\ \end{aligned} f(x)​=

拉格朗日余项的泰勒公式

f(x)=f(x) = f(x)=

佩亚诺余项的泰勒公式

f(x)=f(x) = f(x)=

常用的泰勒展开式

sin⁡x=cos⁡x=arcsin⁡x=(1+x)α=11−x=11+x=ln⁡(1+x)=11+x2=arctan⁡x=tan⁡x=ex=\begin{aligned} & \sin x = \\ \\ & \cos x = \\ \\ & \arcsin x = \\ \\ \\ & (1+x)^\alpha =\\ \\ & \frac{1}{1-x} = \\ \\ & \frac{1}{1+x} = \\ \\ & \ln (1+x) = \\ \\ & \frac{1}{1+x^2} = \\ \\ & \arctan x = \\ \\ & \tan x = \\ \\ \\ & e^x = \end{aligned} ​sinx=cosx=arcsinx=(1+x)α=1−x1​=1+x1​=ln(1+x)=1+x21​=arctanx=tanx=ex=​

中值定理

罗尔定理

罗尔定理推论

若?至多?个根⟹至多?个根若?至多?个根 \implies 至多?个根 若?至多?个根⟹至多?个根

罗尔定理证明题辅助函数构造

f′′(x)+g(x)f′(x)=0⟹F(x)=f(x)+g(x)∫0xf(t)dt=0⟹F(x)=f′(x)+g(x)[f(x)−1]=0⟹F(x)=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅\begin{aligned} & f''(x) + g(x)f'(x) = 0 \implies F(x) = \\ \\ & f(x) + g(x)\int_0^x f(t)dt = 0 \implies F(x) = \\ \\ & f'(x) + g(x)[f(x)-1] =0 \implies F(x) = \\ \\ & \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot \end{aligned} ​f′′(x)+g(x)f′(x)=0⟹F(x)=f(x)+g(x)∫0x​f(t)dt=0⟹F(x)=f′(x)+g(x)[f(x)−1]=0⟹F(x)=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅​

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

积分中值定理

f(x)在[a,b]上连续⟹存在η∈[a,b],使得∫abf(x)dx=f(x)，g(x)在[a,b]上连续，且g(x)不变号⟹∫abf(x)g(x)dx=二重积分中值定理，D上连续，A为D的面积⟹∬Df(x,y)dxdy=\begin{aligned} & f(x)在[a,b]上连续 \implies 存在 \eta \in [a,b], 使得 \\ & \int_a^b f(x) dx = \\ \\ \\ & f(x)，g(x)在[a,b]上连续，且g(x)不变号 \implies \\ & \int_a^b f(x)g(x)dx = \\\\\\ & 二重积分中值定理，D上连续，A为D的面积 \implies \\ & \iint\limits_D f(x,y) dxdy = \end{aligned} ​f(x)在[a,b]上连续⟹存在η∈[a,b],使得∫ab​f(x)dx=f(x)，g(x)在[a,b]上连续，且g(x)不变号⟹∫ab​f(x)g(x)dx=二重积分中值定理，D上连续，A为D的面积⟹D∬​f(x,y)dxdy=​

多元微积分相关公式

多元微分定义

定义：Δz=全增量：Δz=线性增量：可微判定：\begin{aligned} 定义：& \Delta z = \\ \\ 全增量：& \Delta z = \\ \\ 线性增量：& \\ \\ 可微判定：& \end{aligned} 定义：全增量：线性增量：可微判定：​Δz=Δz=​

多元隐函数求导

∂z∂x=∂z∂y=\begin{aligned} & \frac{\partial z}{\partial x} = \\ \\ & \frac{\partial z}{\partial y} = \\ \end{aligned} ​∂x∂z​=∂y∂z​=​

极坐标下二重积分计算法

∬Df(x,y)dσ=\underset{D}{\iint} f(x,y)d\sigma = D∬​f(x,y)dσ=

隐函数存在定理

?

多元函数极值判定

?

拉格朗日数乘法求最值

?

多重积分的应用

空间曲面的面积

A=?\begin{aligned} & \\ & A = ? \end{aligned} ​A=?​

微分方程

一阶线性微分方程

y′+p(x)y=q(x)其中p(x),q(x)为连续函数⟹\begin{aligned} & y' + p(x)y = q(x) ~~~~~其中p(x),q(x)为连续函数 \implies \\\\ \end{aligned} ​y′+p(x)y=q(x)     其中p(x),q(x)为连续函数⟹

二阶常系数齐次线性微分方程的通解

y′′+py′+qy=0p,q为常数⇒特征方程为λ2+pλ+q=0⟹?\begin{aligned} & y'' + py' + qy =0 ~~~~~~~~p,q为常数 \\ \\ \xRightarrow{特征方程为} & ~~ \lambda^2 + p\lambda + q = 0 \implies ? \end{aligned} 特征方程为​​y′′+py′+qy=0        p,q为常数  λ2+pλ+q=0⟹?​

三阶常系数齐次线性微分方程的通解

y′′′+py′′+qy′+ry=0p,q,r为常数⇒特征方程为λ3+pλ2+qλ+r=0⟹?\begin{aligned} & y''' + py'' + qy' +ry =0 ~~~~~~~~p,q,r为常数 \\ \\ \xRightarrow{特征方程为} & ~~ \lambda^3 + p\lambda^2 + q\lambda + r = 0 \implies ? \end{aligned} 特征方程为​​y′′′+py′′+qy′+ry=0        p,q,r为常数  λ3+pλ2+qλ+r=0⟹?​

二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

y′′+py′+qy=f(x)（1）自由项f(x)=Pn(x)eax时，特解为y∗=?(2)自由项f(x)=eax[Pm(x)cos⁡βx+Pn(x)sin⁡βx]时，y∗=?\begin{aligned} & y'' + py'+qy = f(x) \\ \\ （1）& 自由项f(x)=P_n(x)e^{ax} ~时，特解为 ~ y^*= ? \\ \\ \\ \\ \\ (2) & 自由项~ f(x) = e^{ax}[P_m(x) \cos \beta x + P_n(x) \sin \beta x] ~时， \\ \\ & y^* = ? \end{aligned} （1）(2)​y′′+py′+qy=f(x)自由项f(x)=Pn​(x)eax 时，特解为 y∗=?自由项 f(x)=eax[Pm​(x)cosβx+Pn​(x)sinβx] 时，y∗=?​

“算子法”求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

?

线性代数

行列式

∣A∣=∣AT∣∣kA∣=?∣AB∣=∣A∣∣B∣Aij=?Mij\begin{aligned} & |A| = |A^T| \\ \\ & |kA| = ? \\ \\ & |AB| = |A||B| \\ \\ & A_{ij} = ?M_{ij} \\ \\ \end{aligned} ​∣A∣=∣AT∣∣kA∣=?∣AB∣=∣A∣∣B∣Aij​=?Mij​​

几个重要的行列式

∣a110…00a22…0⋮⋮⋮00…ann∣=∣a110…0a21a22…0⋮⋮⋮an1an2…ann∣=∣a11a12…a1n0a22…a2n⋮⋮⋮00…ann∣=?∣0…0a1n0…a2,n−10⋮⋮⋮an1…00∣=∣0…0a1n0…a2,n−1⋮an1∣=∣a1na2,n−10⋮⋮an1…00∣=?∣11⋯1x1x2⋯xnx12x22⋯xn2⋮⋮⋮x1n−1x2n−1⋯xnn−1∣=?∣abb⋯bbab⋯bbba⋯b⋮⋮⋮⋮bbb⋯a∣=?∣AOOB∣=∣ACOB∣=∣AOCB∣=∣OAn×nBm×mO∣=∣OABC∣=∣CABO∣=\begin{aligned} & \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{22} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = ? \\ \\ \\ & \begin{vmatrix} 0 & \dots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \dots & a_{2,n-1} & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & 0 & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & \dots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \dots & a_{2,n-1} & \\ \vdots & & & \\ a_{n1} & & & \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} & & & a_{1n} \\ & & a_{2,n-1} & 0 \\ & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & 0 & 0 \end{vmatrix} = ? \\ \\ \\ & \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \\ \end{vmatrix} = ? \\ \\ \\ & \begin{vmatrix} a & b & b & \cdots & b \\ b & a & b & \cdots & b \\ b & b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a \\ \end{vmatrix} = ? \\ \\ \\ & \begin{vmatrix} A & O \\ O & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & C \\ O & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & O \\ C & B \end{vmatrix} = \\ \\ \\ & \begin{vmatrix} O & A_{n\times n} \\ B_{m\times m} & O \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} O & A \\ B & C \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} C & A \\ B & O \end{vmatrix} = \end{aligned} ​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​0⋮0​0a22​⋮0​………​00⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​⋮an1​​0a22​⋮an2​​………​00⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​0⋮0​a12​a22​⋮0​………​a1n​a2n​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=?∣∣∣∣∣∣∣∣∣​00⋮an1​​………​0a2,n−1​⋮0​a1n​0⋮0​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣​00⋮an1​​……​0a2,n−1​​a1n​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣​an1​​…​a2,n−1​⋮0​a1n​0⋮0​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=?∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​1x1​x12​⋮x1n−1​​1x2​x22​⋮x2n−1​​⋯⋯⋯⋯​1xn​xn2​⋮xnn−1​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=?∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​abb⋮b​bab⋮b​bba⋮b​⋯⋯⋯⋯​bbb⋮a​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=?∣∣∣∣​AO​OB​∣∣∣∣​=∣∣∣∣​AO​CB​∣∣∣∣​=∣∣∣∣​AC​OB​∣∣∣∣​=∣∣∣∣​OBm×m​​An×n​O​∣∣∣∣​=∣∣∣∣​OB​AC​∣∣∣∣​=∣∣∣∣​CB​AO​∣∣∣∣​=​

矩阵

(AT)T=(kA)T=(A+B)T=(AB)T=AA∗=A∗A=∣A∗∣=A−1==∣A∣(A∗)−1(A−1)−1=(kA)−1=(AB)−1=(AT)−1=(AT)∗=(A−1)∗=(AB)∗=(A∗)∗=∣A−1∣=[A∣E]→初等行变换[E∣A−1][A∣B]→初等行变换[E∣?]\begin{aligned} & (A^T)^T = \\ \\ & (kA)^T = \\ \\ & (A+B)^T = \\ \\ & (AB)^T = \\ \\ & AA^* = A^*A = \\ \\ & |A^*|= \\ \\ & A^{-1} = \\ \\ & = |A|(A^*)^{-1} \\ \\ & (A^{-1})^{-1} = \\ \\ & (kA)^{-1} = \\ \\ & (AB)^{-1} = \\ \\ & (A^T)^{-1} = \\ \\ & (A^T)^* = \\ \\ & (A^{-1})^* = \\ \\ & (AB)^* = \\ \\ & (A^*)^* = \\ \\ & |A^{-1}| = \\ \\ & [A|E] \xrightarrow{初等行变换}[E|A^{-1}] \\\\ & [A|B] \xrightarrow{初等行变换}[E|?] \\\\ \end{aligned} ​(AT)T=(kA)T=(A+B)T=(AB)T=AA∗=A∗A=∣A∗∣=A−1==∣A∣(A∗)−1(A−1)−1=(kA)−1=(AB)−1=(AT)−1=(AT)∗=(A−1)∗=(AB)∗=(A∗)∗=∣A−1∣=[A∣E]初等行变换​[E∣A−1][A∣B]初等行变换​[E∣?]​

分块矩阵

[AOOB]n=\begin{aligned} \begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix}^n = \end{aligned} [AO​OB​]n=​

正交矩阵

A是正交矩阵⟺⟺⟺⟹∣A∣=⟹λ=\begin{aligned} & A是正交矩阵 \\\\ \iff & \\ \\ \iff &\\ \\ \iff & \\ \\ \implies & |A| = \\ \\ \implies & \lambda = \\ \\ \end{aligned} ⟺⟺⟺⟹⟹​A是正交矩阵∣A∣=λ=​

施密特正交化

β1=β2=β3=⋯⋯βn=\begin{aligned} & \beta_1 = \\ \\ & \beta_2 = \\ \\ & \beta_3 =\\ \\ & \cdots\cdots \\\\ & \beta_n = \\ \\ \\ \end{aligned} ​β1​=β2​=β3​=⋯⋯βn​=​

可逆矩阵

A可逆⟺⟺⟺Ax=0⟺Ax=b⟺r(A)=⟺特征值\begin{aligned} & A可逆 \\\\ \iff & \\ \\ \iff & \\\\ \iff & Ax=0 \\\\ \iff & Ax=b \\\\ \iff & r(A)= \\\\ \iff & 特征值 \end{aligned} ⟺⟺⟺⟺⟺⟺​A可逆Ax=0Ax=br(A)=特征值​

等价矩阵

A,B等价⟺A≅B⟺⟺{α1,α2,⋯,αs}≅{β1,β2,⋯,βt}⟺⟺⟺\begin{aligned} & A, B等价 \\\\ \iff & A \cong B \\ \\ \iff & \\ \\ \iff & \\\\\\ & \{\alpha_1,\alpha_2, \cdots, \alpha_s\} \cong \{\beta_1,\beta_2, \cdots, \beta_t \} \\ \\ \iff & \\ \\ \iff & \\ \\ \iff & \\ \\ \end{aligned} ⟺⟺⟺⟺⟺⟺​A,B等价A≅B{α1​,α2​,⋯,αs​}≅{β1​,β2​,⋯,βt​}​

秩相关公式

A是m×n矩阵，则：r(A)≤min{m,n}r(AT)=r(kA)=r(A+B)≤r(AB)≤r(A)+r(B)−?≤r(A)+r(B)≤？（其中，AB=O,n是A的列数或B的行数）r(AOOB)=？≤r(AOCB)≤？？=r(ATA)r(A)=1⟹∃非零α,β，使得A=？r(ααT)=？{r(A)=？⟹r(A∗)=？r(A)=？⟹r(A∗)=？r(A)<？⟹r(A∗)=？\begin{aligned} & A是m\times n矩阵，则：\\\\ & r(A) \le min\{m,n\} \\ \\ & r(A^T) = \\ \\ & r(kA) = \\ \\ & r(A+B) \le \\ \\ & r(AB) \le \\ \\ & r(A) + r(B) -? \le \\ \\ & r(A) + r(B) \le ？ ~~~~（其中，AB=O,n是A的列数或B的行数） \\\\ & r\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \end{pmatrix} =\\ \\ & ？\le r\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \end{pmatrix} \le ？ \\\\ & ？= r(A^T A) \\ \\ & r(A) = 1 \implies \exists 非零 \alpha, \beta ，使得 A = ？ \\ \\ & r(\alpha \alpha^T) = ？ \\ \\ & \begin{cases} r(A) = ？ ~~~ \implies ~~~ r(A^*) = ？ \\ r(A) = ？ ~~~ \implies ~~~ r(A^*) = ？ \\ r(A) < ？ ~~~ \implies ~~~ r(A^*) = ？ \\ \end{cases} \\\\ \end{aligned} ​A是m×n矩阵，则：r(A)≤min{m,n}r(AT)=r(kA)=r(A+B)≤r(AB)≤r(A)+r(B)−?≤r(A)+r(B)≤？    （其中，AB=O,n是A的列数或B的行数）r(AO​OB​)=？≤r(AC​OB​)≤？？=r(ATA)r(A)=1⟹∃非零α,β，使得A=？r(ααT)=？⎩⎪⎨⎪⎧​r(A)=？   ⟹   r(A∗)=？r(A)=？   ⟹   r(A∗)=？r(A)<？   ⟹   r(A∗)=？​​

特征值与特征向量

∑i=1nλi=∏i=1nλi=\begin{aligned} & \sum_{i=1}^n \lambda_i =\\ \\ & \prod_{i=1}^n \lambda_i = \\\\ \end{aligned} ​i=1∑n​λi​=i=1∏n​λi​=​

矩阵AkAAkf(A)A−1A∗A−1+f(A)特征值对应的特征向量\def\arraystretch{2} \begin{array}{c:c:c:c:c:c:c:c} 矩阵 & A & kA & A^k & f(A) & A^{-1} & A^* & A^{-1} + f(A) \\ \hline 特征值 & & & & & & & \\ \hline 对应的特征向量 & & &&&&& \end{array} 矩阵特征值对应的特征向量​A​kA​Ak​f(A)​A−1​A∗​A−1+f(A)​​

相似矩阵

A∼B⟺⟺？（判断两矩阵是否相似）⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹\begin{aligned} & A \sim B \\ \\ \iff & \\\\ \iff & ？（判断两矩阵是否相似）\\\\\\ \implies & \\ \\ \implies & \\ \\ \implies & \\ \\ \implies & \\ \\ \implies & \\ \\ \implies & \\ \\ \implies & \\ \\ \implies & \\ \\ \implies & \\ \\ \implies & \\ \\ \implies & \\ \\ \end{aligned} ⟺⟺⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹​A∼B？（判断两矩阵是否相似）​

相似对角化

A∼Λ⟺⟺A=AT（A是实对称矩阵）⟹⟹⟹\begin{aligned} & A \sim \Lambda \\ \\ \iff & \\\\ \iff & \\ \\ \\ \\ & A = A^T ~~~~~（A是实对称矩阵） \\ \\ \implies & \\ \\ \implies & \\\\ \implies & \\ \\ \end{aligned} ⟺⟺⟹⟹⟹​A∼ΛA=AT     （A是实对称矩阵）​

正定二次型

f=xTAx正定⟺⟺⟺⟺⟺⟺⟹⟹⟹？正定(AOOB)正定⟺\begin{aligned} & f=x^TAx正定 \\\\ \iff & \\ \\ \iff &\\ \\ \iff & \\ \\ \iff & \\ \\ \iff & \\ \\ \iff & \\ \\ \implies & \\ \\ \implies & \\ \\ \implies & ？正定 \\ \\ \\ & \begin{pmatrix} A & O \\ O & B \end{pmatrix} 正定 \iff \end{aligned} ⟺⟺⟺⟺⟺⟺⟹⟹⟹​f=xTAx正定？正定(AO​OB​)正定⟺​

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