穷举法(枚举法)实例解析

生活中我们常常会遇到很多看似简单，却比较繁琐的问题。例如写出1000以内的素数集合，破解三位数密码的无数次尝试等比较繁琐的工作，但是计算机处理这类反反复复的作业，却比较轻松。

充分利用计算机运算速度快、精确度高的特点，对要解决问题的所有可能情况，一个不漏地进行检验，从中找出符合要求的答案，这也就是我们所说的枚举法，或者叫做穷举法。

穷举法的运用确实比较广泛，但是我们要充分明确穷举法运用的实际条件：
1、循环条件；
2、穷举对象；
3、穷举算法

接下来，让我们进入实际例题中，充分明确穷举法的运用：
有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共有18只，共有腿118条，翅膀20对。问蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物各有多少只？(蜘蛛又8条腿；蜻蜓有6条腿，两对翅膀；蝉有6条腿，一对翅膀)

分析如下：
首先我们确定三种动物的实际数量，决定循环次数。对三种动物各进行一次循环，实现三次嵌套循环。其次，就是填充判断条件。

第一种方法：(根据动物的总数量)

(1)确定循环次数：

for(x=0;x<18;x++)  //蜘蛛的总数不能超过18只for(y=0;y<18;y++)  //蜻蜓的总数不能超过18只for(z=0;z<18;z++)  //蝉的总数不能超过18只

(2)循环嵌套：

for(x=0;x<18;x++)  //蜘蛛的总数不能超过18只for(y=0;y<18;y++)  //蜻蜓的总数不能超过18只for(z=0;z<18;z++)  //蝉的总数不能超过18只

(3)判断条件：

if((x+y+z)==18 && (8*x+6*y+6*z)==118 && (2*y+z)==20)

(4)总体代码如下：

#include<stdio.h>
void Count();
int main()
{Count();return 0;
}
void Count()
{int x,y,z;for(x=0;x<18;x++)  //蜘蛛的总数不能超过18只for(y=0;y<18;y++)  //蜻蜓的总数不能超过18只for(z=0;z<18;z++)  //蝉的总数不能超过18只{if((x+y+z)==18 && (8*x+6*y+6*z)==118 && (2*y+z)==20)  //判断条件{printf("x=%d,y=%d,z=%d\n",x,y,z);}}
}

(5)运行结果：

(6)结果分析：

从循环的分析，每一种的动物都进行了三次循环，极大地增加了时间复杂度。

第二种方法：(根据三种动物的总数，以及腿和翅膀的数量)

(1)确定循环次数

for(x=0;x<14;x++)  //蜘蛛的总数不能超过14只for(y=0;y<10;y++)  //蜻蜓的总数不能超过10只for(z=0;z<18;z++)  //蝉的总数不能超过18只

(2)判断条件

if((x+y+z)==18 && (8*x+6*y+6*z)==118 && (2*y+z)==20)

(3)总体代码如下：

#include<stdio.h>
void Count();
int main()
{Count();return 0;
}
void Count()
{int x,y,z;for(x=0;x<14;x++)  //蜘蛛的总数不能超过14只for(y=0;y<10;y++)  //蜻蜓的总数不能超过10只for(z=0;z<18;z++)  //蝉的总数不能超过18只{if((x+y+z)==18 && (8*x+6*y+6*z)==118 && (2*y+z)==20)  //判断条件{printf("x=%d,y=%d,z=%d\n",x,y,z);}}
}

(4)运行结果：

(5)结果分析：

从循环的分析，每一种的动物都进行了内外三次循环，但是第二种方法的循环次数有所减少，间接减少了时间的效率问题。

总结：

通过以上两种方法解决问题，我们知道这两种方法的效率明显不同。特别是第一种方法，时间的效率低于第二种方法。

穷举需要注意以下几个要点：

(1)循环次数分析
(2)判断条件要充分利用
(3)算法