Frequency domain enhancement

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频域增强

对于那些在空间域中表述起来比较困难，甚至是不太可能实现的图像处理问题，可以先通过对图像进行离散傅里叶变换把图像变换到频率域，然后利用适当的频率域图像处理方式对图像进行处理，处理完后再把它转换回空间域中，从而解决那些在空间域不便于解决的图像处理问题。

如下图所示，远离中心点的越对应图像中的高频成分。

若将低频部分滤除，保留高频部分，实质是相当于进行了锐化。

若将高频部分滤除，保留低频部分，实质是相当于进行了平滑。

由傅里叶频谱的特性可知，u和v同时为0时的频率成分对应于图像的平均灰度级。当从(傅里叶)变换的原点离开时，低频对应着图像的慢变化分量，比如一幅图像中较平坦的区域；当进一步离开原点时，较高的频率开始对应图像中变化越来越快的灰度级，它们反映了一幅图像中物体的边缘和灰度级突发改变(如噪声)部分的图像成分。
频率域图像增强正是基于这种机理，通过对图像的傅里叶频谱进行低通滤波(使低频通过，使高频衰减)来虑除噪声，通过对图像的傅里叶频谱进行高通滤波(使高频通过，使低频衰减) 突出图像中的边缘和轮廓。

设f(x,y)为输入图像，F(u,v)为输入图像的傅里叶变换，H(u,v)为转移函数(也称为滤波函数)， G(u,v)为对F(u,v)进行频率域滤波后的输出， g(x,y)为经频率域滤波后的输出图像，则有：

低通滤波器

频域增强核心问题：如何选取半径 $D_{0}$

在频域中越陡峭，在时域中就有周期性

可看到理想低通滤波器的高频到低频的过渡垂直下降（十分陡峭），会有振铃效应如下：

线都粘连到了一起，且图像一环一环的

和下面的butterworth比较一下

n为阶数，阶数越高，振铃效应越明显

由于butterworth滤波器过渡是连续衰减的，所以振铃效应减轻。

对于高斯噪声比较有效，实际应用中较多

滤波效果：

放大之后有断裂处，高斯滤波之后连接并模糊

高通滤波器

高通=全通-低通

高通即锐化

工程实践中模板运算比傅立叶变换用的多的多。

频率域图像增强的步骤为：

1)用(-1)(x+y)乘以输入图像，进行中心变换；
2)对步骤1)的计算结果图像(-1)(x+y)f(x,y)进行二维傅里叶变换，即求F(u,v)；
3)用设计的转移函数H(u,v)乘以F(u,v)，即按式求G(u,v)；
4)求步骤(3)的计算结果的傅里叶反变换，即计算F-1[G(u,v)]；
5)取步骤（4)的计算结果的实部；
6)用(-1)(x+y)乘以步骤5)的计算结果，就可得到通过频率域增强后的图像g(x,y)。

转移函数H(u,v)的设计:
    比较笼统的说法是，频率域在很大程度上凭直观指定滤波器。
    比较具体的说法是，一般利用频率成分和图像外表之间的对应关系选选择频率滤波器。
    更为一般的方法是利用基于数学和统计准则的近似设计二维数字滤波器。

基于频率域的图像噪声消除——频率域低通滤波

在频率域中，图像中的噪声和边缘对应于傅里叶频谱的高频部分，选择能使低频通过、使高频衰减的转移函数，就可以实现低通滤波，达到虑除噪声的目的。

在半径为D0的圆内，所有的频率没有衰减地通过该滤波器;而在此半径的圆之外的所有频率完全被衰减掉。所以称D0为截至频率。

转移函数透视图

透视图的含义：

只有那些位于该圆柱体内的频率范围的信号才能通过，而位于圆柱体外的频率成分都将被虑除掉。

透视图的含义是：
只有那些位于该草帽型体内的频率范围的信号才能通过，而位于草帽型体外的频率成分都将被虑除掉。

带阻滤波器

在某些应用中，图像的质量可能受到带有一定规律的结构性噪声的影响。比如，图像上叠加有正弦干扰图案就是这类噪声的一个典型情况。当正弦干扰图案比较明显时，会在图像的频谱平面上出现2个比较明显的对称点（由于傅里叶变换的共轭对称性所致)。象这种用于消除以某点为对称中心的给定区域内的频率，或用于阻止以原点为对称中心的一定频率范围内信号通过的问题，就可以用带阻滤波器实现。

带阻滤波转移函数的透视图

透视图的含义是：
只有那些位于两个立方体外的频率范围的信号才能通过，而位于两个立方体内的频率成分都将被虑除掉。

带通滤波器

带通滤波器转移函数的透视图：

透视图的含义是：
只有那些位于两个立方体内的频率范围的信号会被通过，而位于两个立方体外的频率成分都将被虑除掉。

乘性噪声降噪

为消除信号中的乘性噪声，通过对原始信号进行
同态变换———对数变换，将乘性噪声转变为加性噪声，去除噪声与信号的相倚性；并运用小波分析方法进一步对变换后的信号进行去噪处理；最后，联合指数逆变换获得提取的真实信号，以达到消除原始信号中乘性噪声的目的。

现有的有效处理方法是引入同态变换去除噪声与信号的相倚性，将乘性噪声转化为加性噪声，再对信号进行滤波处理，此方法的去噪效果明显优于传统的去噪方法。联合同态映射与小波变换，提出一种基于同态映射与小波变换的乘性噪声消除方法，并进行仿真实验验证。

泊松噪声降噪

以上两种降噪请戳这里