最近看到有小伙伴留言FAVAR模型，我之前也没接触过这个模型，然后拜读了下面这篇文章，写下简略的读书笔记。希望各位小伙伴批评指正，一起学习！

【公众号】：经济知识综合

中国货币政策的动态有效性研究–基于 TVP-SV-FAVAR 模型的实证分析

1. 引言

文章创新点：

采用TVP-SV-FAVAR 模型，将中国经济发展过程中的结构突变特征考虑在内。并对货币政策的动态有效性进行研究，
分别对数量型货币政策和价格型货币政策对宏观经济的调控进行研究，最终发现两种货币政策的影响机制有所不同。
对“价格之谜”有一定的解释力度。

这篇文章的引言层层递进，抓住了主要问题，从我国的经济发展出发，说明我国的经济结构和宏观调控的结构性变革，同时将货币政策的有效性及其动态变化考虑在内，因此作者选用TVP-SV-FAVAR模型，对中国货币政策的有效性及其特征变化进行实证分析。

在文献综述部分，作者首先针对货币政策的有效性进行讨论，部分学者认为货币政策是中性的，即货币政策对经济发展没有显著影响，部分学者对1978-2000年和1994-2010年的中国货币政策有效性进行实证，结论均支持长期货币中性。然而，更多的学者持货币政策“非中性”的观点，认为货币政策对于经济系统具有重要的调控作用。

然后作者针对货币政策的传导机制展开讨论，Taylor 认为利率是唯一能够与物价和经济增长保持长期稳定关系的变量，这表明利率与物价和经济增长之间存在着协整关系，调整利率应该成为货币当局的主要操作方式。Meltzer（1995）货币政策能够改变资产价格，从而引起需求和产出改变。周英章和蒋振声（2002）认为中国的货币政策是通过信贷渠道和货币渠道的共同传导发挥作用的，相比之下信贷渠道占主导地位。

然后作者分析了TVP-SV-FAVAR 模型对于现有问题的实用性。

2. 模型设定：

2.1 SVAR模型

yt\boldsymbol{y}_{t}yt 是K×1K \times 1K×1阶的观察变量，A,F1,…,FsA, F_{1}, \ldots, F_{s}~A,F1,…,Fs 是K×KK \times KK×K阶系数矩阵，utu_{t}ut 是K×1K \times 1K×1阶的结构扰动，假定 $ ut∼N(0,ΣΣ)u_{t} \sim N(0, \Sigma \Sigma)ut∼N(0,ΣΣ)

Ayt=F1yt−1+⋯+Fsyt−s+ut,t=s+1,…,nA \boldsymbol{y}_{t} = F_{1} \boldsymbol{y}_{t-1}+\cdots+F_{s} \boldsymbol{y}_{t-s}+u_{t}, \quad t=s+1, \ldots, n Ayt=F1yt−1+⋯+Fsyt−s+ut,t=s+1,…,n

通过递归识别来具体结构扰动之间的同步关系，假定AAA是下三角阵，这涉及到SVAR系统的理论机制设置，A矩阵左乘以yt{y}_{t}yt来描述yt{y}_{t}yt内部的同期影响。

Σ=(σ10⋯00⋱⋱⋮⋮⋱⋱00⋯0σk)\Sigma=\left(\begin{array}{cccc} \sigma_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \sigma_{k} \end{array}\right)Σ=⎝⎜⎜⎜⎜⎛σ10⋮00⋱⋱⋯⋯⋱⋱00⋮0σk⎠⎟⎟⎟⎟⎞ ， A=(10⋯0a21⋱⋱⋮⋮⋱⋱0ak1⋯ak,k−11)A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ a_{k 1} & \cdots & a_{k, k-1} & 1 \end{array}\right)A=⎝⎜⎜⎜⎜⎛1a21⋮ak10⋱⋱⋯⋯⋱⋱ak,k−10⋮01⎠⎟⎟⎟⎟⎞

Reduced Form of VAR Model:，直接求解SAVR，不易求解，需转化为Reduced Form，这就需要判断A矩阵是否可逆？

yt=B1yt−1+⋯+Bsyt−s+A−1Σεt,εt∼N(0,Ik)\boldsymbol{y}_{t}=B_{1} \boldsymbol{y}_{t-1}+\cdots+B_{s} \boldsymbol{y}_{t-s}+A^{-1} \Sigma \varepsilon_{t}, \quad \varepsilon_{t} \sim N\left(0, I_{k}\right) yt=B1yt−1+⋯+Bsyt−s+A−1Σεt,εt∼N(0,Ik)

其中，Bi=A−1Fi,for i=1,…,sB_{i}=A^{-1} F_{i}, \text { for } i=1, \ldots, sBi=A−1Fi, for i=1,…,s ，将BiB_iBi的元素按照行进行堆叠生成β(k2s×1vector )\boldsymbol{\beta}\left(k^{2} s \times 1 \text { vector }\right)β(k2s×1 vector )，定义：Xt=Ik⊗(yt−1′,…,yt−s′)X_{t}=I_{k} \otimes\left(\boldsymbol{y}_{t-1}^{\prime}, \ldots, \boldsymbol{y}_{t-s}^{\prime}\right)Xt=Ik⊗(yt−1′,…,yt−s′)。⊗\otimes⊗代表克罗内克积，

yt=Xtβ+A−1Σεt\boldsymbol{y}_{t}=X_{t} \boldsymbol{\beta}+A^{-1} \Sigma \varepsilon_{t} yt=Xtβ+A−1Σεt

2.2 FAVAR模型（向量增强自回归模型），

所有的参数都不随时间变化。

[FtYt]=B1[Ft−1Yt−1]+⋯+Bp[Ft−pYt−p]+vt(1)\left[\begin{array}{l} F_{t} \\ Y_{t} \end{array}\right]=B_{1}\left[\begin{array}{l} F_{t-1} \\ Y_{t-1} \end{array}\right]+\cdots+B_{p}\left[\begin{array}{l} F_{t-p} \\ Y_{t-p} \end{array}\right]+v_{t} \tag{1}[FtYt]=B1[Ft−1Yt−1]+⋯+Bp[Ft−pYt−p]+vt(1)

Ft~F_t~ Ft 为潜在因子构成的K×1~K \times1~ K×1 维向量，YtY_t~Yt 为可观测变量和货币政策工具变量构成的L×1L\times1L×1维向量；Bi,i=1,2,⋯,p~B_{i},~ i= 1,2,\cdots,p~ Bi, i=1,2,⋯,p 是（K+L）×（K+L）~（K+L）\times（K+L）~ （K+L）×（K+L）的系数矩阵；vt∼N(0,Ω)v_{t} \sim N(0,\Omega)~vt∼N(0,Ω) 是Ω\OmegaΩ是（K+L）×（K+L）~（K+L）\times（K+L）~ （K+L）×（K+L）的协方差矩阵。

Xt=ΛfFt+ΛyYt+et(2)X_{t}=\Lambda^{f} F_{t}+\Lambda^{y} Y_{t}+e_{t} \tag{2}Xt=ΛfFt+ΛyYt+et(2)

XtX_{t}~Xt 表示经济系统中存在的大量时间序列，维度是N×1~N \times1~ N×1 向量，且K+L≪1~K+L \ll1~ K+L≪1 ，
Λf,Λy\Lambda^{f},\Lambda^{y}~Λf,Λy 分别为Ft,YtF^{t},Y^{t}~Ft,Yt 的因子载荷矩阵，其维度分别是N×K~N \times K~ N×K ,N×L~N \times L~ N×L ;et∼N(0,H)e_{t} \sim N(0,H)et∼N(0,H),HHH 是一个对角矩阵，同时假定扰动项ete_{t}et 与潜在因子 FtF_tFt不相关，其自身也不存在序列相关，即：
E(ei,tFt)=0,E(ei,tej,s)=0(i,j=1,⋯,N;ts=1,⋯,T;i≠j,t≠s)E\left(e_{i, t} F_{t}\right)=0, E\left(e_{i, t} e_{j, s}\right)=0 \quad (i, j=1, \cdots, N ; ts=1, \cdots, T ; i \neq j, t \neq s)E(ei,tFt)=0,E(ei,tej,s)=0(i,j=1,⋯,N;ts=1,⋯,T;i=j,t=s)

2.3 TVP模型

Regression（回归）：
yt=xt′β+zt′αt+εt,εt∼N(0,σt2),t=1,…,ny_{t}=x_{t}^{\prime} \beta+z_{t}^{\prime} \alpha_{t}+\varepsilon_{t}, \quad \varepsilon_{t} \sim N\left(0, \sigma_{t}^{2}\right), \quad t=1, \ldots, n yt=xt′β+zt′αt+εt,εt∼N(0,σt2),t=1,…,n

Time-Varying coefficients（时变系数）：

αt+1=αt+ut,ut∼N(0,Σ),t=0,…,n−1\alpha_{t+1}=\alpha_{t}+u_{t}, \quad u_{t} \sim N(0, \Sigma), \quad t=0, \ldots, n-1αt+1=αt+ut,ut∼N(0,Σ),t=0,…,n−1

Stochastic volatility（随机波动率）：

σt2=γexp⁡(ht),ht+1=ϕht+ηt,ηt∼N(0,σn2),t=0,…,n−1\sigma_{t}^{2}=\gamma \exp \left(h_{t}\right), \quad h_{t+1}=\phi h_{t}+\eta_{t}, \quad \eta_{t} \sim N\left(0, \sigma_{n}^{2}\right), \quad t=0, \ldots, n-1 σt2=γexp(ht),ht+1=ϕht+ηt,ηt∼N(0,σn2),t=0,…,n−1

yty_tyt是标量；xtx_txt , ztz_tzt分别是k×1k \times 1k×1 和 p×1p \times 1p×1维向量；β\betaβ 是k×1k \times 1k×1阶常系数；αt\alpha_tαt 是p×1p \times 1p×1阶时变系数，hth_tht 是随机波动率。

初始化：假定 α0=0,u0∼N(0,Σ0),γ>0,h0=0\alpha_{0}=0,u_{0} \sim N\left(0, \Sigma_{0}\right), \gamma>0, ~ h_{0}=0α0=0,u0∼N(0,Σ0),γ>0, h0=0 。

2.4 TVP-SV-VAR模型:

与前文 2.1节 SAVR模型相呼应，TVP-SV-VAR模型为：

yt=Xtβt+At−1Σtεt,t=s+1,…,n(TVP-SV-VAR)\boldsymbol{y}_{t}=X_{t} \boldsymbol{\beta}_{t}+A_{t}^{-1} \Sigma_{t} \varepsilon_{t}, \quad t=s+1, \ldots, n \tag{TVP-SV-VAR}yt=Xtβt+At−1Σtεt,t=s+1,…,n(TVP-SV-VAR)
系数 βt\boldsymbol{\beta}_{t}βt，参数 AtA_{t}At,Σt\Sigma_{t}Σt 都是时变的，[Primiceri (2005)] 提出at=[a21Ta31T⋮ak,k−1T]\boldsymbol{a}_{t}=\begin{bmatrix} a_{21}^{T} \\ a_{31}^{T}\\ \vdots\\ a_{k, k-1}^{T} \end{bmatrix}at=⎣⎢⎢⎢⎡a21Ta31T⋮ak,k−1T⎦⎥⎥⎥⎤ 成为下三角矩阵AtA_tAt 的堆叠矩阵，ht=[h1tTh2tT⋮hktT]\boldsymbol{h}_{t}=\begin{bmatrix} h_{1 t}^{T} \\ h_{2 t}^{T}\\ \vdots\\ h_{k t}^{T} \end{bmatrix}ht=⎣⎢⎢⎢⎡h1tTh2tT⋮hktT⎦⎥⎥⎥⎤,并且hjt=log⁡σjt2,j=1,…,k,t=s+1,…,nh_{j t}=\log \sigma_{j t}^{2}, j=1, \ldots, k, t=s+1, \ldots, nhjt=logσjt2,j=1,…,k,t=s+1,…,n

假定TVP-SV-VAR的参数服从以下随机游走过程：

βt+1=βt+uβtat+1=at+uatht+1=ht+uht\begin{aligned} &\boldsymbol{\beta}_{t+1}=\boldsymbol{\beta}_{t}+u_{\beta t}\quad \\ &\boldsymbol{a}_{t+1}=\boldsymbol{a}_{t}+u_{a t} \quad \\ &\boldsymbol{h}_{t+1}=\boldsymbol{h}_{t}+u_{h t} \end{aligned}βt+1=βt+uβtat+1=at+uatht+1=ht+uht

βs+1∼N(μβ0,Σβ0),as+1∼N(μa0,Σa0),N(μh0,hs+1∼Σh0)\boldsymbol{\beta}_{s+1} \sim N\left(\mu_{\beta_{0}}, \Sigma_{\beta_{0}}\right), \boldsymbol{a}_{s+1} \sim N\left(\mu_{a_{0}}, \Sigma_{a_{0}}\right),N\left(\mu_{h_{0}}, \boldsymbol{h}_{s+1} \sim\Sigma_{h_{0}}\right)βs+1∼N(μβ0,Σβ0),as+1∼N(μa0,Σa0),N(μh0,hs+1∼Σh0)
(εtuβtuatuht)∼N(0,(IOOOOΣβOOOOΣaOOOOΣh))\left(\begin{array}{c} \varepsilon_{t} \\ u_{\beta t} \\ u_{a t} \\ u_{h t} \end{array}\right) \sim N\left(0,\left(\begin{array}{cccc} I & O & O & O \\ O & \Sigma_{\beta} & O & O \\ O & O & \Sigma_{a} & O \\ O & O & O & \Sigma_{h} \end{array}\right)\right)⎝⎜⎜⎛εtuβtuatuht⎠⎟⎟⎞∼N⎝⎜⎜⎛0,⎝⎜⎜⎛IOOOOΣβOOOOΣaOOOOΣh⎠⎟⎟⎞⎠⎟⎟⎞

从nakajima的matlab code运行结果中，共可以发现七张图，其中图三，图四是针对SVAR结构中的A矩阵的元素绘制的，其中图四为A矩阵的逆矩阵，表示其影响机制上的影响关系。下图是图四matlab code 运行结果的图四。

怎么判断运行结果的优劣？这里用的是MCMC抽样方法去学习参数，最终通过贝叶斯估计近确推断参数的后验分布，上述matlab code 运行结果的图三、图四均为A矩阵元素的后验均值，如果这个分布的5% 分位点和 95% 分位点都不包括0 ，那么这个参数的估计是显著的。下图中a2ta_{2t}a2t后期的后验均值在0附近波动，说明其估计不显著！

2.5 TVP-SV-FAVAR模型,

参数随时间而变化，：
[FtYt]=B1,t[Ft−1Yt−1]+⋯+Bp,t[Ft−pYt−p]+vt(3)\left[\begin{array}{l} F_{t} \\ Y_{t} \end{array}\right]=B_{1, t}\left[\begin{array}{l} F_{t-1} \\ Y_{t-1} \end{array}\right]+\cdots+B_{p, t}\left[\begin{array}{l} F_{t-p} \\ Y_{t-p} \end{array}\right]+v_{t}\tag{3} [FtYt]=B1,t[Ft−1Yt−1]+⋯+Bp,t[Ft−pYt−p]+vt(3)

Ft~F_t~ Ft 为潜在因子构成的K×1~K \times1~ K×1 维向量，YtY_t~Yt 为可观测变量和货币政策工具变量构成的L×1L\times1L×1维向量；Bi,i=1,2,⋯,p,t=1,2,⋯,T~B_{i},~ i= 1,2,\cdots,p~, t = 1,2,\cdots,T~ Bi, i=1,2,⋯,p ,t=1,2,⋯,T 是M×MM × MM×M 阶时变系数矩阵;vt∼N(0,ΩT)~v_{t} \sim N\left(0, \Omega_{T}\right) vt∼N(0,ΩT)是M×MM × MM×M 阶时变协方差矩阵。

方程（2）和方程（3）分别构成了TVP-SV-FAVAR模型模型的主体，分别被称为“因子方程”和“时变参数FAVAR方程”

参数估计过程：

首先对协方差矩阵Ωt~\Omega_t~ Ωt 进行分解
AtΩtAt′=∑t∑t⟹Ωt=At−1∑t∑t(At−1)A_{t} \Omega_{t} A_{t}^{\prime}=\sum_{t} \sum_{t} \quad \Longrightarrow \quad\Omega_{t}=A_{t}^{-1} \sum_{t} \sum_{t}\left(A_{t}^{-1}\right)AtΩtAt′=t∑t∑⟹Ωt=At−1t∑t∑(At−1)

其中 Σt\Sigma_tΣt是一个对角矩阵，∑t=diag⁡(σ1,t,⋯,σM,t)\sum_{t}=\operatorname{diag}\left(\sigma_{1, t}, \cdots, \sigma_{M, t}\right)~∑t=diag(σ1,t,⋯,σM,t) ,AtA_{t}At是下三角矩阵，
At=[10⋯0a21,t1⋱⋮⋮⋱⋱0aM1,t⋯aM(M−1),t1]A_{t}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21, t} & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ a_{M 1, t} & \cdots & a_{M(M-1), t} & 1 \end{array}\right] At=⎣⎢⎢⎢⎢⎡1a21,t⋮aM1,t01⋱⋯⋯⋱⋱aM(M−1),t0⋮01⎦⎥⎥⎥⎥⎤

将（3）中的系数矩阵BtB_tBt按照行元素重新堆叠
Bt=(vec⁡(B1,t)′,⋯,vec⁡(Bp,t)′)′log⁡σt=(log⁡σ1,t′,⋯,log⁡σM,t′),αt=(aj1,t′,⋯,aj(j−1),t′)′,j=1,⋯,M∘\begin{aligned} B_{t}&=\left(\operatorname{vec}\left(B_{1, t}\right)^{\prime}, \cdots, \operatorname{vec}\left(B_{p, t}\right)^{\prime}\right)^{\prime} \\ \log \sigma_{t} & =(\log\left.\sigma_{1, t}^{\prime}, \cdots, \log \sigma_{M, t}^{\prime}\right),\\ \alpha_{t} &= \left(a_{j 1, t}^{\prime}, \cdots, a_{j(j-1), t}^{\prime}\right)^{\prime}, j=1, \cdots, M_{\circ} \end{aligned} Btlogσtαt=(vec(B1,t)′,⋯,vec(Bp,t)′)′=(logσ1,t′,⋯,logσM,t′),=(aj1,t′,⋯,aj(j−1),t′)′,j=1,⋯,M∘
假定Bt,αt,log⁡σt~B_{t},\alpha_{t},\log \sigma_{t}~ Bt,αt,logσt 服从一下的随机游走过程：
Bt=Bt−1+JtBηtBαt=αt−1+Jtαηtαlog⁡σt=log⁡σt−1+Jtσηtσ\begin{aligned} B_{t} &=B_{t-1}+J_{t}^{B} \eta_{t}^{B} \\ \alpha_{t} &=\alpha_{t-1}+J_{t}^{\alpha} \eta_{t}^{\alpha} \\ \log \sigma_{t} &=\log \sigma_{t-1}+J_{t}^{\sigma} \eta_{t}^{\sigma} \end{aligned} Btαtlogσt=Bt−1+JtBηtB=αt−1+Jtαηtα=logσt−1+Jtσηtσ
θt∈{Bt,αt,log⁡σt}\theta_{t} \in\left\{B_{t}, \alpha_{t}, \log \sigma_{t}\right\}θt∈{Bt,αt,logσt},其中ηtθ∼N(0,Qθ)~\eta_{t}^{\theta} \sim N\left(0, Q_{\theta}\right)~ ηtθ∼N(0,Qθ) 为互相独立的冲击变量，QθQ_{\theta}Qθ是向量参数的Bt,αt,log⁡σt~B_{t}, \alpha_{t}, \log \sigma_{t}~ Bt,αt,logσt 冲击协方差矩阵。JθJ_{\theta}Jθ取值为 0 或 1,Jθ=1J_{\theta} = 1~Jθ=1 表示参数是时变的，Jθ=0J_{\theta} = 0~Jθ=0 表示参数是固定的;

Gt=ΛZt+WutGZt=Bt(L)Zt+At−1∑tutZ(4)\begin{array}{c} G_{t}=\Lambda Z_{t}+W u_{t}^{G} \tag{4} \\ Z_{t}=B_{t}(L) Z_{t}+A_{t}^{-1} \sum_{t} u_{t}^{Z} \end{array} Gt=ΛZt+WutGZt=Bt(L)Zt+At−1∑tutZ(4)
Gt=[XtYt]Zt=[FtYt]W=diag⁡(exp⁡(h1/2),⋯,exp⁡(hN/2),⋯,exp⁡(HN/2),01×L)⟹WW′=[H01×L]Λ=[ΛfΛy0L×KIL]Bt(L)=B1,tL+⋯+Bp,tLp\begin{aligned} G_{t}& =\begin{bmatrix} X_{t} \\ Y_{t} \end{bmatrix} \ \ Z_{t}=\begin{bmatrix} F_{t} \\ Y_{t} \end{bmatrix} \\ W & =\operatorname{diag}\left(\exp \left(h_{1} / 2\right), \cdots, \exp \left(h_{N} / 2\right), \cdots, \exp \left(H_{N} / 2\right), 0_{1 \times L}\right) \ \ \\ \Longrightarrow & W W^{\prime}=\begin{bmatrix} H \\ 0_{1} \times L \end{bmatrix} \quad \Lambda=\left[\begin{array}{ll} \Lambda^{f} & \Lambda^{y} \\ 0_{L \times K} & I_{L} \end{array}\right]\\ & B_{t}(L)=B_{1, t} L+\cdots+B_{p, t} L^{p} \end{aligned} GtW⟹=[XtYt] Zt=[FtYt]=diag(exp(h1/2),⋯,exp(hN/2),⋯,exp(HN/2),01×L) WW′=[H01×L]Λ=[Λf0L×KΛyIL]Bt(L)=B1,tL+⋯+Bp,tLp

(utG,utZ)\left(u_{t}^{G}, u_{t}^{Z}\right)(utG,utZ)是取自标准正态分布且相互独立的扰动项，

通过方程（4）向量移动平均（VMA）表达式：

Gt=ΛB~t(L)−1At−1∑tutZ+WutG=Δt(L)ζt(5)G_{t}=\Lambda \tilde{B}_{t}(L)^{-1} A_{t}^{-1} \sum_{t} u_{t}^{Z}+W u_{t}^{G}=\Delta_{t}(L) \zeta_{t} \tag{5}Gt=ΛB~t(L)−1At−1t∑utZ+WutG=Δt(L)ζt(5)

其中，B~t(L)=I−Bt(L),ζt∼N(0,1)\tilde{B}_{t}(L)=I-B_{t}(L), \zeta_{t} \sim N(0,1)B~t(L)=I−Bt(L),ζt∼N(0,1),可以对模型（5）进行脉冲响应分析

Step1 : 利用主成分分析法，从宏观经济信息集XtX_tXt 提取前 K 个主成分构成潜在因子FtF_tFt
Step2：基于第一步中提取的潜在因子使用MCMC方法对模型参数进行估计。

2.6 主成分分析法提取潜在因子:

Method1: Bernanke 等( 2005) 提出的方案,首先将信息集XtX_tXt中的所有要素分为“慢速变化”和“快速变化”两组，然后分别对和“慢速变量”进行主成分分析，提取前K个主成分构成信息集合 PCtPC_tPCt和 PCtsPC_t^{s}PCts,最后，对回归方程:
PCt=βsPCts+βYYt+μtPC_t = \beta_{s} PC_t^{s} + \beta_{Y}Y_{t} + \mu_{t}PCt=βsPCts+βYYt+μt

由此得到潜在因子FtF_{t}Ft的估计值，F^t=PCt−βYYt\hat{F}_{t} = PC_t -\beta_{Y}Y_{t}F^t=PCt−βYYt, 将其代入方程（3）即可对模型参数进行估计，该方案得到的潜在因子称为“BBE 因子”，记为TVP-SV-FAVAR-BBE！

Method2：由 Belviso 和 Milani( 2006) 提出首先将信息集XtX_tXt中的所有变量分为III组：Xt1,Xt2,⋯,XtIX_{t}^{1},X_{t}^{2}, \cdots , X_{t}^{I}Xt1,Xt2,⋯,XtI, 其中 XtiX_{t}^{i}Xti 是Ni×1N_{i} \times 1Ni×1 维向量，∑iINi=N\sum_{i}^{I} N_{i} = N∑iINi=N, 然后，对每一组变量进行主成分分析，得到相应的潜在因子: Ft1,Ft2,⋯,FtIF_{t}^{1} , F_{t}^{2},\cdots ,F_{t}^{I}Ft1,Ft2,⋯,FtI,其中 FtiF_{t}^{i}Fti 是 Ki×1K_{i} \times 1Ki×1 维向量,∑iIKi=K\sum_{i}^{I} K_{i} = K∑iIKi=K。最后，将 Ft1,Ft2,⋯,FtIF_{t}^{1} , F_{t}^{2},\cdots ,F_{t}^{I}Ft1,Ft2,⋯,FtI代入方程（3）即可对模型参数进行估计。得到的潜在因子我们将其称为“分组因子”，对应的模型记为 TVPSV-FAVAR-Block。

3. 实证研究:

3.1 变量选取与数据说明:

共选取了 136 个经济指标，作为描述宏观经济情况的变量。
数据来源，中经网统计数据库，部分数据来自于 Wind 数据库和 EIU 国家数据库

经济变量	具体
实际经济活动变量	工业增加值、消费、投资、进出口、财政收支、就业、工资等
货币、信贷和金融变量	货币供应量、信贷、存贷款、股票市值、债券发行量等
利率和汇率变量	包括各种利率和汇率指标
价格水平变量	包括居民消费价格指数、工业生产者价格指数、企业商品交易价格指数、进出口价格指数等

3.2 数据清洗：

消除季节性因素，进行季节调整。
FABAR 模型要求所有变量均转化为标准化的平稳序列
平稳化处理，标准化处理。

平稳化处理主要有两种方式: 一是数据本身就平稳的直接取原值; 二是对非平稳数据做一阶对数差分处理。

3.3 参数时变特征检验:

采用 Koop 等( 2009) 的 S 个抽样序列，那么就可以得到JtθJ_{t}^{\theta}Jtθ的平均后验概率值，计算公式：

E(Jtθ∣Data)=1S∑s=1S(Jtθ)s,θt∈{Bt,αt,log⁡σt}E\left(J_{t}^{\theta} \mid D a t a\right)=\frac{1}{S} \sum_{s=1}^{S}\left(J_{t}^{\theta}\right)_{s}, \theta_{t} \in\left\{B_{t}, \alpha_{t}, \log \sigma_{t}\right\} E(Jtθ∣Data)=S1s=1∑S(Jtθ)s,θt∈{Bt,αt,logσt}

其中，Jt(s)θJ_{t(s)}^{\theta}Jt(s)θ是JtθJ_{t}^{\theta}Jtθ的第 s 个 MCMC 抽样序列。

通过考察 FAVAＲ模型的估计参数在样本考察期发生状态转移的概率，如果后验概率p(πθ∣Data )p\left(\pi_{\theta} \mid \text { Data }\right)p(πθ∣ Data )接近于1，那么就可以认为模型的参数是时变的。

3.4 实证结果

根据 Korobilis( 2013) 对于初始条件的设定，时变参数 FVAR 方程参数的先验分布为:
B0∼N(B‾,V‾)QB−1∼W(0.005×(dim⁡(B)+1)×V‾,(dim⁡(B)+1))dim⁡(B)=M×M×Pα0∼N(0,4I)Qα−1∼W(0.01×(dim⁡(α)+1)×I,(dim⁡(α)+1))dim⁡(α)=M(M−1)/2log⁡σ0∼N(0,4I)Qσ−1∼W(0.0001×(dim⁡(σ)+1)×I,(dim⁡(σ)+1))dim⁡(σ)=M[Λif,Λiy]∼N(01×M,10IM),hi0∼N(0,4),σh−1∼Gamma (0.01,0.01),i=1,⋯,N\begin{aligned} &B_{0} \sim N(\underline{B},\underline{V}) \\ &Q_{B}^{-1} \sim W(0.005 \times(\operatorname{dim}(B)+1) \times \underline{V},(\operatorname{dim}(B)+1)) \\ & \operatorname{dim}(B)=M \times M \times P \\ \\ & \alpha_{0} \sim N(0,4 I) \\ & Q_{\alpha}^{-1} \sim W(0.01 \times(\operatorname{dim}(\alpha)+1) \times I,(\operatorname{dim}(\alpha)+1)) \\ & \operatorname{dim}(\alpha)=M(M-1) / 2 \\ \\ & \log \sigma_{0} \sim N(0,4 I) \\ &Q_{\sigma}^{-1} \sim W(0.0001 \times(\operatorname{dim}(\sigma)+1) \times I,(\operatorname{dim}(\sigma)+1)) \\ & \operatorname{dim}(\sigma)=M \\ \\ & \left[\Lambda_{i}^{f}, \Lambda_{i}^{y}\right] \sim N\left(0_{1 \times M},\right.\left.10 I_{M}\right), \\ &h_{i 0} \sim N(0,4),\\ & \sigma_{h}^{-1} \sim \text { Gamma }(0.01,0.01), i=1, \cdots, N \end{aligned} B0∼N(B,V)QB−1∼W(0.005×(dim(B)+1)×V,(dim(B)+1))dim(B)=M×M×Pα0∼N(0,4I)Qα−1∼W(0.01×(dim(α)+1)×I,(dim(α)+1))dim(α)=M(M−1)/2logσ0∼N(0,4I)Qσ−1∼W(0.0001×(dim(σ)+1)×I,(dim(σ)+1))dim(σ)=M[Λif,Λiy]∼N(01×M,10IM),hi0∼N(0,4),σh−1∼ Gamma (0.01,0.01),i=1,⋯,N

其中， B‾\underline{B}B 和 V‾\underline{V}V 的取值如下:即方程因变量自身一阶滞后变量系数的先验期望为 0.9，其他变量的先验期望均为 0。
B‾ijτ={0.9i=j,τ=10others τ=1,⋯,p\underline{B}_{i j \tau}=\left\{\begin{array}{ll} 0.9 & i=j, \tau=1 \\ 0 & \text { others } \end{array} \quad \tau=1, \cdots, p\right.Bijτ={0.90i=j,τ=1 others τ=1,⋯,p

si2s_{i}^{2}si2是因变量 yiy_iyi 的单变量 p 阶自回归模型的残差;i=1,⋯,M;j=1,⋯,Mpi=1, \cdots, M ; j=1, \cdots, M pi=1,⋯,M;j=1,⋯,Mp
V‾ijt={1τ2i=j0.001si2τ2sj2i≠jτ=1,⋯,p\underline{V}_{i j t}=\left\{\begin{array}{lc} \frac{1}{\tau^{2}} & i=j \\ \frac{0.001 s_{i}^{2}}{\tau^{2} s_{j}^{2}} & i \neq j \end{array} \quad \tau=1, \cdots, p\right.Vijt={τ21τ2sj20.001si2i=ji=jτ=1,⋯,p

3.5 分析过程

脉冲响应时点的选择：原因在于其间发生了一系列重要的国内和国际事件，

2005 年 7 月的人民币汇率制度改革、
2007 年 8 月美国次贷危机爆发、
2010 年欧洲主权债务危机爆发
以及中国经济步入“新常态”。

在此期间，我国的经济结构和经济发展环境均发生了重要的变化，通过比较不同时点上
的脉冲响应结果，有助于我们更好地考察货币政策效果的动态变化趋势和特征。

数量型货币政策的动态有效性

随着经济全球化的发展，国际金融危机和欧债危机爆发后，以美国、日本为代表的发达经济体持续推行的量化宽松政策制约了我国货币政策实施的自主性，我国政策当局可能会被动跟随发达经济体调整货币政策，这会影响货币政策的有效性。在此强调了经济系统的复杂性！
价格型货币政策的动态有效性

对“价格之谜”进行了有效地解释。

4 主要结论

主要有三条结论，与引言部分的创新点相呼应，

最后，在未来一段时间内应该继续采用数量型调控和价格型调控相结合的调控模式，同时使用数量型和价格型货币政策对国民经济进行调控，充分发挥二者的协同效应，以更好地促进国民经济的发展。进一步阐述了两种货币政策之间的关系

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