[线筛五连]线筛欧拉函数

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线筛欧拉函数

欧拉函数定义

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1φ(1)=1\varphi(1)=1）

写成式子如下：

φ(x)=∑i=1x[gcd(i,n)=1]φ(x)=∑i=1x[gcd(i,n)=1]

\varphi(x)=\sum_{i=1}^x[gcd(i,n)=1]

欧拉函数性质

计算欧拉函数的值时，有公式如下：

φ(x)=x∏p|x(1−1p)φ(x)=x∏p|x(1−1p)

\varphi(x)=x\prod_{p|x}(1-\frac{1}{p})

那么显然，对于互质的两个数x,yx,yx,y，其质因数的集合完全不相同，就有：

φ(xy)=[xy∏p|xy(1−1p)]φ(xy)=[xy∏p|xy(1−1p)]

\varphi(xy)=[xy\prod_{p|xy}(1-\frac{1}{p})]

φ(xy)=[x∏p1|x(1−1p1)]×[y∏p2|x(1−1p2)]φ(xy)=[x∏p1|x(1−1p1)]×[y∏p2|x(1−1p2)]

\varphi(xy)=[x\prod_{p_1|x}(1-\frac{1}{p_1})]\times [y\prod_{p_2|x}(1-\frac{1}{p_2})]

φ(xy)=φ(x)×φ(y)φ(xy)=φ(x)×φ(y)

\varphi(xy)=\varphi(x)\times \varphi(y)

所以，欧拉函数是积性的。

另外，欧拉函数还可以由莫比乌斯函数推导，具体的将在莫比乌斯反演总结中叙述。

欧拉函数的线筛

设T=i×p[j]T=i×p[j]T=i\times p[j]

1.当TTT为素数时，显然，与T" role="presentation" style="position: relative;">TTT互质的数有T−1T−1T-1个；

2.当TTT拥有多个最小质因子（即i mod p[j]=0" role="presentation" style="position: relative;">i mod p[j]=0i mod p[j]=0i\ mod\ p[j]=0）时，根据上面最初的公式，iii与T" role="presentation" style="position: relative;">TTT的质因子集合是一样的，所以区别就在于前面的系数，故φ(T)=φ(i)×p[j]φ(T)=φ(i)×p[j]\varphi(T)=\varphi(i)\times p[j]；

3.当TTT的最小质因子仅有一个（即i mod p[j]≠0" role="presentation" style="position: relative;">i mod p[j]≠0i mod p[j]≠0i\ mod\ p[j]\ne 0）时，显然gcd(i,p[j])=1gcd(i,p[j])=1gcd(i,p[j])=1，由于欧拉函数为积性函数，所以有φ(T)=φ(i)×φ(p[j])=φ(i)×(p[j]−1)φ(T)=φ(i)×φ(p[j])=φ(i)×(p[j]−1)\varphi(T)=\varphi(i)\times\varphi(p[j])=\varphi(i)\times(p[j]-1)；

讨论完毕，得到线筛方程：

φ(T)=⎧⎩⎨⎪⎪T−1φ(i)×p[j]φ(i)×(p[j]−1)T∈Primei mod p[j]=0i mod p[j]≠0φ(T)={T−1T∈Primeφ(i)×p[j]imodp[j]=0φ(i)×(p[j]−1)imodp[j]≠0

\varphi(T)=\left\{ \begin{array}\\ T-1&\\ \varphi(i)\times p[j]&\\ \varphi(i)\times(p[j]-1)&\\ \end{array}\right.

代码

void get()
{R i,j,t;check[1]=phi[1]=1;for(i=2;i<=N;++i){if(!check[i])p[++p[0]]=i,phi[i]=i-1;for(j=1;j<=p[0];++j){t=i*p[j];if(t>N)break;check[t]=1;if(i%p[j]==0){phi[t]=phi[i]*p[j];break;}phi[t]=phi[i]*(p[j]-1);}phi[i]+=phi[i-1];}
}