【数字逻辑】学习笔记第三章 Part2 逻辑函数的化简

文章目录

一、主要内容
- 问题的提出
- 函数化简的目的
- 函数化简的方法：
二、代数法化简逻辑函数
三、卡诺图法化简逻辑函数
- 1. 卡诺图
- 2. 卡诺图填图
- - 1. 真值表填卡诺图
  - 2. 表达式化为最小项表达式填卡诺图
  - 3. 表达式作为一般与或式填卡诺图
- 3. 函数的卡诺图化简
- - 1. 典型卡诺图
  - 2. 函数的卡诺图化简
- 3. 含有任意项的逻辑函数的化简
- - 1. 任意项定义
  - 2. 带有任意项的逻辑函数的化简方法
四、练习

一、主要内容

问题的提出

同一个逻辑函数可以有多种表达形式；
一种形式的表达式，对应一种电路；
表达形式越复杂，则电路越复杂；

如何处理函数，以实现用尽量少的单元电路、尽量简单的电路类型来达到目的。即，逻辑函数要化简。

函数化简的目的

逻辑电路所用门的数量少，每个门的输入端个数少，降低成本；
逻辑电路构成级数少，保证逻辑电路能可靠地工作，提高电路的工作速度和可靠性。

函数化简的方法：

代数化简法（公式法）
卡诺图化简法

二、代数法化简逻辑函数

代数法化简逻辑函数的实质是反复运用逻辑代数的公式和规则，消去表达式中的多余项和多余变量。在用代数法化简逻辑函数时，往往要依靠经验和技巧，带有一定的试凑性。

方法：

并项：利用 AB+AB‾=AAB + A \overline B = AAB+AB=A 将两项并为一项，且消去一个变量 BBB；
消项：利用 A+AB=AA + AB = AA+AB=A 消去多余的项 ABABAB；
消元：利用 A+A‾B=A+BA + \overline AB = A + BA+AB=A+B 消去多余变量 A‾\overline AA；
配项：利用 AB+A‾C+BC=AB+A‾CAB + \overline AC + BC = AB + \overline ACAB+AC+BC=AB+AC 和互补律、重叠律先增添项，再消去多余项。

函数表达式一般化简成 与-或式 ，其最简应满足的两个条件：
1）表达式中“与”项的个数最少；
2）在满足1）的前提下，每个“与”项中的变量个数最少。
e.g.e.g.e.g. 化简F=AC‾+ABC+ACD‾+CDF = A\overline C + ABC + AC\overline D + CDF=AC+ABC+ACD+CD。
F=AC‾+ABC+ACD‾+CD=A(C‾+BC)+C(AD‾+D)=A(C‾+B)+C(A+D)=AC‾+AB+AC+CD=A(C‾+C)+AB+CD=A(1+B)+CD=A+CD\begin{aligned} F &= A\overline C + ABC + AC\overline D + CD \\ &= A(\overline C + BC) + C(A\overline D + D)\\ &= A(\overline C + B) + C(A+D)\\ &= A\overline C + AB + AC + CD\\ &= A(\overline C + C) + AB + CD\\ &= A(1 + B) + CD = A +CD \end{aligned} F=AC+ABC+ACD+CD=A(C+BC)+C(AD+D)=A(C+B)+C(A+D)=AC+AB+AC+CD=A(C+C)+AB+CD=A(1+B)+CD=A+CD

实际上，我们最经常使用的是卡诺圈法，代数法化简常常作为结果的印证，我也就不麻烦的输入公式了，直接截图吧。

三、卡诺图法化简逻辑函数

1. 卡诺图

卡诺图：是真值表的图形表示：

将变量分成两组，构成二维表；
行列组合排列顺序为循环码；
表中每个方格对应真值表中的一行，代表一个最小项。

■\blacksquare■ 逻辑相邻性

相邻方格的最小项，具有 逻辑相邻性 ，即有一个变量互为反变量；
具有逻辑相邻性的方格有
• 相接 —— 几何位置相邻的方格
• 相对 —— 上下两边、左右两边的方格
• 相重 —— 多变量卡诺图，以对称轴相折叠，叠在一起的方格（五变量）

2. 卡诺图填图

卡诺图有什么用？为什么要用循环码？

循环码：相邻两个码字有一位相反；
卡诺图：逻辑相邻项有一个变量互为反变量；
卡诺图中的两个逻辑相邻项相加可以消去一个变量。

用卡诺图法对逻辑函数进行化简时，首先要确定函数与卡诺图的关系，将函数用卡诺图的形式表现出来。真值表、表达式、卡诺图都可以表达一个逻辑函数。

1. 真值表填卡诺图

2. 表达式化为最小项表达式填卡诺图

对于 F=A‾BC‾+ABD+ACF = \overline AB\overline C + ABD + ACF=ABC+ABD+AC 来说，可以如下化简：
F=A‾BC‾D+A‾BC‾D‾+ABCD+ABC‾D+AB‾CD‾+AB‾CD+ABCD‾+ABCD=m5+m4+m15+m13+m10+m11+m14+m15=∑m(4,5,10,11,13,14,15)\begin{aligned} F &= \overline AB\overline CD + \overline A B\overline C\ \overline D + ABCD + AB\overline CD + A\overline BC\overline D + A\overline BCD + ABC\overline D + ABCD\\ &= m_5 + m_4 + m_{15} + m_{13} + m_{10} + m_{11} + m_{14} + m_{15}\\ &= \sum m(4,5,10,11,13,14,15) \end{aligned} F=ABCD+ABC D+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=m5+m4+m15+m13+m10+m11+m14+m15=∑m(4,5,10,11,13,14,15)

3. 表达式作为一般与或式填卡诺图

由一般与-或式填卡诺图示例1：三变量 F=AB+A‾CF = AB + \overline ACF=AB+AC
1.将所有满足 A=1且B=1A=1且B=1A=1且B=1的方格内填“1”
2.将所有满足 A=0且C=1A=0且C=1A=0且C=1 的方格内填“1”

由一般与或式填卡诺图示例2：四变量 F=BD+B‾D‾+AB‾CD+B‾CD‾F = BD + \overline B\ \overline D + A\overline B CD+ \overline B C \overline DF=BD+B D+ABCD+BCD
1.在所有满足 B=1且D=1B=1且D=1B=1且D=1 的方格内填“1”
2.将所有满足 B=0且D=0B=0且D=0B=0且D=0 的方格内填“1”
3.在所有满足 A=1且B=0且C=1且D=1A=1且B=0且C=1且D=1A=1且B=0且C=1且D=1 的方格内填“1”
4.在所有满足 B=0且C=1且D=0B=0且C=1且D=0B=0且C=1且D=0 的方格内填“1”

3. 函数的卡诺图化简

化简依据：相邻最小项 →\rightarrow→ 提出公因子 →\rightarrow→ 消去互补变量
e.g.AB+AB‾=A(B+B‾)=Ae.g.\ \ AB + A\overline B = A(B +\overline B) = Ae.g. AB+AB=A(B+B)=A
e.g.ABC+AB‾C=AC(B+B‾)=ACe.g.\ \ ABC + A\overline BC = AC(B + \overline B) = ACe.g. ABC+ABC=AC(B+B)=AC

方法：
1）填写函数卡诺图
2）对邻项方格画卡诺圈
3）消去互补变量，直接写出最简与-或式

1. 典型卡诺图

e.g.e.g.e.g. 二变量卡诺图的典型卡诺圈

e.g.e.g.e.g. 三变量卡诺图的典型卡诺圈

e.g.e.g.e.g. 四变量卡诺图的典型卡诺圈

2. 函数的卡诺图化简

无效圈示例1：不是矩形

无效圈示例2：没有新变量，无效圈

写出每个卡诺圈的最小项表达式：保留卡诺圈内值不变的变量。F=AB+BCF = AB + BCF=AB+BC：

F1：F(A,B,C,D)=∑m(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)F_1：F(A,B,C,D)= \sum m(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)F1：F(A,B,C,D)=∑m(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)

圈 111 ：函数的与-或表达式；
圈 000 ：反函数的与-或表达式(下面的左图：F‾=ABD\overline F=ABDF=ABD)
圈 111 ：函数的与-或表达式；
圈 000 ：函数的或-与表达式（此时保持不变为0的变量用原变量，为1用反变量）

需要注意的是：不同的圈法，会得到不同的最简结果：

3. 含有任意项的逻辑函数的化简

1. 任意项定义

一个逻辑函数，如果它的某些输入取值组合因受特殊原因制约而不会再现，或者虽然每种输入取值组合都可能出现，但此时函数取值为1还是为0无关紧要，那么这些输入取值组合对应的最小项称为无关项或者任意项 。任意项用 “d”或者 “ × ” 表示。

任意项可以加到函数表达式中，也可以不加到函数表达式中，并不影响函数的实际逻辑功能。其值可以取1，也可以取0。

例1：十字路口红绿灯，设控制信号 G=1→G=1 \rightarrowG=1→ 绿灯亮；控制信号 R=1→R=1 \rightarrowR=1→ 红灯亮；则 GRGRGR 可以为 GR=00,01,10GR=00, 01,10GR=00,01,10 ，但 GR≠11GR ≠ 11GR=11 。

例2：电动机正反转控制，设控制信号 F=1→F=1 \rightarrowF=1→ 正传；控制信号 R=1→R=1 →R=1→ 反转；则 FRFRFR 可以为 FR=00,01,10FR=00, 01, 10FR=00,01,10 ，但 FR≠11FR ≠ 11FR=11 。

例3：8421BCD8421BCD8421BCD 码中，从 1010～11111010 ～ 11111010～1111 的六种编码不允许出现，可视为无关最小项。

2. 带有任意项的逻辑函数的化简方法

例1：给定某电路的逻辑函数真值表如右图，求 FFF 的最简"与或"式：

例2：已知真值表如右图，用卡诺图化简：

四、练习

1.用代数法化简逻辑函数
F=AC+B‾C+BD‾+A(B+C‾)+A‾CD‾+AB‾DE=A(C+C‾)+B‾C+BD‾+AB+A‾CD‾+AB‾DE=A+B‾C+BD‾+A‾CD‾=A+(A‾B‾CD‾+A‾B‾CD+AB‾CD‾+AB‾CD)+(A‾BC‾D‾+A‾BCD‾+ABC‾D‾+ABCD‾)+(A‾BCD‾+A‾B‾CD‾)=A+B‾C+BD‾\begin{aligned} F &= AC + \overline BC + B\overline D + A(B + \overline C) + \overline AC\overline D + A\overline BDE\\ &= A(C + \overline C) + \overline BC + B\overline D + AB + \overline AC\overline D + A\overline BDE\\ &= A + \overline BC + B\overline D + \overline AC\overline D\\ &= A + (\overline A\ \overline BC\overline D + \overline A\ \overline BCD + A\overline BC\overline D + A\overline BCD) + (\overline AB\overline C\ \overline D + \overline ABC\overline D+AB\overline C\ \overline D+ABC\overline D) + (\overline ABC\overline D + \overline A\ \overline BC\overline D)\\ &= A + \overline BC + B\overline D \end{aligned} F=AC+BC+BD+A(B+C)+ACD+ABDE=A(C+C)+BC+BD+AB+ACD+ABDE=A+BC+BD+ACD=A+(A BCD+A BCD+ABCD+ABCD)+(ABC D+ABCD+ABC D+ABCD)+(ABCD+A BCD)=A+BC+BD
2.用卡诺图化简一下函数：
（1）F=BD+A‾BC‾+AC‾D+A‾CD+A‾B‾F = BD + \overline AB\overline C + A\overline CD+ \overline ACD + \overline A\ \overline BF=BD+ABC+ACD+ACD+A B
答：根据下面的卡诺图，化简函数为 F=A‾B‾+A‾C‾+BD+C‾DF=\overline A\ \overline B + \overline A\ \overline C +B D + \overline CDF=A B+A C+BD+CD

（2）F(A,B,C,D)=∑m(0,1,2,4,5,8,9,10,12,13)F(A,B,C,D) = \sum m(0,1,2,4,5,8,9,10,12,13)F(A,B,C,D)=∑m(0,1,2,4,5,8,9,10,12,13)
答：根据卡诺图，化简函数为：F=C‾+B‾D‾F = \overline C +\overline B\ \overline DF=C+B D

（3）F(A,B,C,D)=∑m(0,1,2,9,12)+∑d(4,6,10,11)F(A,B,C,D) = \sum m(0,1,2,9,12) + \sum d(4,6,10,11)F(A,B,C,D)=∑m(0,1,2,9,12)+∑d(4,6,10,11)
答：根据下面的卡诺图，化简函数为：F=A‾D‾+BC‾D‾+B‾C‾DF=\overline A\ \overline D +B \overline C\ \overline D +\overline B\ \overline CDF=A D+BC D+B CD

3.将以下的函数分别化简为最简与或式和最简或与式。
F(A,B,C,D)=∑m(2,3,5,6,7,10,11,13,14,15)F(A,B,C,D) = \sum m(2,3,5,6,7,10,11,13,14,15)F(A,B,C,D)=∑m(2,3,5,6,7,10,11,13,14,15)
答：根据下图，可得最简与或式为：F=C+BDF=C+BDF=C+BD；

根据下面的卡诺图，圈0得最简或与式为：F=(C+D)(B+C)F=(C+D)(B+C)F=(C+D)(B+C)