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二元函数可导、可微与连续性的关系.pdf

专题研究

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二元函数可导、可微与连续胜昀关系

◎毛海勤 (杭州师范大学钱江学院 310012)

【摘要】本文提出的是基于我们所学的关于二元函数导二、可导性、可微性与连续性之间的关系

数和微分、连续的内容，以此研究它们三者之间的关系，以二元函数可导性、可微性与连续性的关系：

便于我们更简便易懂地使用它们． (1)二元函数可微性与连续性的关系

【关键词】函数；可导性；可微性；连续性定理 1 如果函数z=_厂(，Y)在点 (，Y)处可微分，那么

函数在该点处必定连续．

一、概述

证明．‘函数。=_厂(，Y)在点(，Y)处可微，则有

1．函数可导的定义

Az=AAx+BAy+0(P)．

(1)二元函数偏导数的定义：

故limAz= lim △ =0．

方向的偏导： p }O (A ，A1)一 (0．0)

设有二元函数 =-厂(，Y)，点 (。，Y。)是其定义域，J内从而有 lira _厂(+Ax，Y+Ay)：

一点．把Y固定在Y。而让在。有增量，相应地函数 z= lim [／ )+△z]=／，Y)．

_厂(，Y)有增量 (称为对的偏增量 )Az=f(‰ + ，Y。)一

．．函数 z：_厂(，Y)在点 (，Y)处连续．

f(。，Y。)．

故二元函数可微必定连续，但是连续不一定可微．

如果 △z与 Ax之比当一0时的极限存在，那么此极

(2)二元丽数可微与可导的关系

限值称为函数 =_厂(，Y)在 (。，Y。)处对的偏导数 (partial

定理 2 如果函数 =_厂(，Y)在点 (，Y)处可微分，那

derivative)．记作f'x( ，Y0)．

Y方向的偏导：么，函数在点(，y)处的偏导数警，尝必定存在，并且函数

a oy

如果与 Ay之比当 △y—O时的极限存在，那么此极

在点(，)，)处的全微分为 d：= △ + ZSAy

限值称为函数 = ，Y)在 (。，Y)处对 Y的偏导数 (partial ．

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