题目

求下列行列式的值：
∣A∣=∣a1b1a1b2a1b3a1b4a2b1a2b2a2b3a2b4a3b1a3b2a3b3a3b4a4b1a4b2a4b3a4b4∣.\left| A \right|=\left| \begin{matrix} {{a}_{1}}{{b}_{1}} & {{a}_{1}}{{b}_{2}} & {{a}_{1}}{{b}_{3}} & {{a}_{1}}{{b}_{4}} \\ {{a}_{2}}{{b}_{1}} & {{a}_{2}}{{b}_{2}} & {{a}_{2}}{{b}_{3}} & {{a}_{2}}{{b}_{4}} \\ {{a}_{3}}{{b}_{1}} & {{a}_{3}}{{b}_{2}} & {{a}_{3}}{{b}_{3}} & {{a}_{3}}{{b}_{4}} \\ {{a}_{4}}{{b}_{1}} & {{a}_{4}}{{b}_{2}} & {{a}_{4}}{{b}_{3}} & {{a}_{4}}{{b}_{4}} \\ \end{matrix} \right|.∣A∣=∣∣∣∣∣∣∣∣a1b1a2b1a3b1a4b1a1b2a2b2a3b2a4b2a1b3a2b3a3b3a4b3a1b4a2b4a3b4a4b4∣∣∣∣∣∣∣∣.

解答

AAA的每一列j(=1,2,3,4)j\left( =1,2,3,4 \right)j(=1,2,3,4)都有公因数bj{{b}_{j}}bj，依次进行提取得到
∣A∣=(∏j=14bj)∣a1a1a1a1a2a2a2a2a3a3a3a3a4a4a4a4∣=:(∏j=14bj)∣A′∣.(1)\left| A \right|=\left( \prod\limits_{j=1}^{4}{{{b}_{j}}} \right)\left| \begin{matrix} {{a}_{1}} & {{a}_{1}} & {{a}_{1}} & {{a}_{1}} \\ {{a}_{2}} & {{a}_{2}} & {{a}_{2}} & {{a}_{2}} \\ {{a}_{3}} & {{a}_{3}} & {{a}_{3}} & {{a}_{3}} \\ {{a}_{4}} & {{a}_{4}} & {{a}_{4}} & {{a}_{4}} \\ \end{matrix} \right|=:\left( \prod\limits_{j=1}^{4}{{{b}_{j}}} \right)\left| A' \right|. \tag{1}∣A∣=(j=1∏4bj)∣∣∣∣∣∣∣∣a1a2a3a4a1a2a3a4a1a2a3a4a1a2a3a4∣∣∣∣∣∣∣∣=:(j=1∏4bj)∣A′∣.(1)
A′A'A′的每一行i(=1,2,3,4)i\left( =1,2,3,4 \right)i(=1,2,3,4)都有公因数ai{{a}_{i}}ai，依次进行提取得到
∣A′∣=(∏i=14ai)∣1111111111111111∣=:(∏i=14ai)∣B∣.(2)\left| A' \right|=\left( \prod\limits_{i=1}^{4}{{{a}_{i}}} \right)\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{matrix} \right|=:\left( \prod\limits_{i=1}^{4}{{{a}_{i}}} \right)\left| B \right|. \tag{2}∣A′∣=(i=1∏4ai)∣∣∣∣∣∣∣∣1111111111111111∣∣∣∣∣∣∣∣=:(i=1∏4ai)∣B∣.(2)
很显然BBB中每一行互成比例（相等），故有
∣B∣=0.(3)\left| B \right|=0. \tag{3}∣B∣=0.(3)
由式（1），式（2），式（3），可得
∣A∣=0.\left| A \right|=0.∣A∣=0.

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