RSA非对称加密算法详解
RSA加密算法是最常用的非对称加密算法,由罗纳德·李维斯特(Ron Rivest)、阿迪·萨莫尔(Adi Shamir)和伦纳德·阿德曼(Leonard Adleman)于1977年一起提出,RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。非对称加密算法的特点就是加密秘钥和解密秘钥不同,秘钥分为公钥和私钥,用私钥加密的明文,只能用公钥解密;用公钥加密的明文,只能用私钥解密。
RSA是第一个比较完善的公开密钥算法,它既能用于加密,也能用于数字签名。这个算法经受住了多年深入的密码分析,虽然密码分析者既不能证明也不能否定RSA的安全性,但这恰恰说明该算法有一定的可信性,目前它已经成为最流行的公开密钥算法。RSA的安全基于大数分解的难度。其公钥和私钥是一对大素数(100到200位十进制数或更大)的函数。从一个公钥和密文恢复出明文的难度,等价于分解两个大素数之积(这是公认的数学难题)。
首先复习一下数学上的几个基本概念,它们在后面的介绍中要用到:
一、 什么是“素数”?
素数是这样的整数,它除了能表示为它自己和1的乘积以外,不能表示为任何其它两个整数的乘积。例如,15=3*5,所以15不是素数;又如,12=6*2=4*3,所以12也不是素数。另一方面,13除了等于13*1以外,不能表示为其它任何两个整数的乘积,所以13是一个素数。素数也称为“质数”。
二、什么是“互质数”(或“互素数”)?
小学数学教材对互质数是这样定义的:“公约数只有1的两个数,叫做互质数。”这里所说的“两个数”是指自然数。
判别方法主要有以下几种(不限于此):
(1)两个质数一定是互质数。例如,2与7、13与19。
(2)一个质数如果不能整除另一个合数,这两个数为互质数。例如,3与10、5与 26。
(3)1不是质数也不是合数,它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。
(4)相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。
(5)相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。
(6)大数是质数的两个数是互质数。如97与88。
(7)小数是质数,大数不是小数的倍数的两个数是互质数。如 7和 16。
(8)两个数都是合数(二数差又较大),小数所有的质因数,都不是大数的约数,这两个数是互质数。如357与715,357=3×7×17,而3、7和17都不是715的约数,这两个数为互质数。等等。
三、什么是模指数运算?
指数运算谁都懂,不必说了,先说说模运算。模运算是整数运算,有一个整数m,以n为模做模运算,即m mod n。怎样做呢?让m去被n整除,只取所得的余数作为结果,就叫做模运算。例如,10 mod 3=1;26 mod 6=2;28 mod 2 =0等等。
模指数运算就是先做指数运算,取其结果再做模运算。如(5^3) mod 7 = (125 mod 7) = 6。
接下来正式讲解RSA加密算法。
四、RSA算法描述
RSA的公钥、私钥的组成,以及加密过程、解密过程的公式可见于下表:
公钥KU |
n:两素数p和q的乘积(p和q必须保密)(n为模值) e:与(p-1)*(q-1)互质(e称为公钥指数) |
私钥KR |
n:两素数p和q的乘积(p和q必须保密)(n为模值) d:满足(d*e) mod ((p-1)*(q-1)) = 1(d称为私钥指数) |
加密过程 | C=M^e mod n (C为密文) |
解密过程 | M=C^d mod n (M为明文) |
其中,符号^表示数学上的指数运算;mod表示模运算,即相除取余数。具体算法步骤如下:
(1)选择一对不同的、足够大的素数p,q。
(2)计算n=p*q。
(3)计算f(n)=(p-1)*(q-1),同时对p, q严加保密,不让任何人知道。
(4)找一个与f(n)互质的数e作为公钥指数,且1<e<f(n)。
(5)计算私钥指数d,使得d满足(d*e) mod f(n) = 1
(6)公钥KU=(e,n),私钥KR=(d,n)。
(7)加密时,先将明文变换成0至n-1的一个整数M。若明文较长,可先分割成适当的组,然后再进行交换。设密文为C,则加密过程为:C=M^e mod n。
(8)解密过程为:M=C^d mod n。
五、实例描述
本文不对RSA算法的正确性作严格的数学证明,我们通过一个简单的例子来理解RSA的工作原理。为了便于计算。在以下实例中只选取小数值的素数p,q,以及e,假设用户A需要将明文“key”通过RSA加密后传递给用户B,过程如下:
(1)设计公私密钥(e,n)和(d,n)。
令p=3,q=11,得出n=p×q=3×11=33;f(n)=(p-1)(q-1)=2×10=20;取e=3,(3与20互质)则e×d mod f(n) = 1,即3×d mod 20 =1。
d怎样取值呢?可以用试算的办法来寻找。试算结果见下表:
通过试算我们找到,当d=7时,e×d mod f(n) = 1等式成立。因此,可令d=7。从而我们可以设计出一对公私密钥,加密密钥(公钥)为:KU =(e,n)=(3,33),解密密钥(私钥)为:KR =(d,n)=(7,33)。
(2)英文数字化。
将明文信息数字化,并将每块两个数字分组。假定明文英文字母编码表为按字母顺序排列数值,即:
则得到分组后的key的明文信息为:11,05,25。
(3)明文加密
用户加密密钥(3,33) 将数字化明文分组信息加密成密文。由C=M^e mod n得:
M1 = C1^e mod n = 11^3 mod 33 = 11
M2 = C2^e mod n = 5^3 mod 33 = 26
M3 = C3^e mod n = 25^3 mod 33 = 16
因此,得到相应的密文信息为:11,26,16。
(4)密文解密
用户B收到密文,若将其解密,只需要计算M=C^d mod n,即:
C1 = M1^d mod n = 11^7 mod 33 = 11
C2 = M2^d mod n = 26^7 mod 33 = 5
C3 = M3^d mod n = 16^7 mod 33 = 25
用户B得到明文信息为:11,05,25。根据上面的编码表将其转换为英文,我们又得到了恢复后的原文“key”。
当然,实际运用要比这复杂得多,由于RSA算法的公钥私钥的长度(模长度)要到1024位甚至2048位才能保证安全,因此,p、q、e的选取、公钥私钥的生成,加密解密模指数运算都有一定的计算程序,需要仰仗计算机高速完成。
六、RSA的安全性
首先,我们来探讨为什么RSA密码难于破解?
在RSA密码应用中,公钥KU是被公开的,即e和n的数值可以被第三方窃听者得到。破解RSA密码的问题就是从已知的e和n的数值(n等于pq),想法求出d的数值,这样就可以得到私钥来破解密文。从上文中的公式:(d*e) mod ((p-1)*(q-1)) = 1,我们可以看出,密码破解的实质问题是:从p*q的数值,去求出(p-1)和(q-1)。换句话说,只要求出p和q的值,我们就能求出d的值而得到私钥。
当p和q是一个大素数的时候,从它们的积p*q去分解因子p和q,这是一个公认的数学难题。比如当p*q大到1024位时,迄今为止还没有人能够利用任何计算工具去完成分解因子的任务。因此,RSA从提出到现在已近二十年,经历了各种攻击的考验,逐渐为人们接受,普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。
缺点1:虽然RSA的安全性依赖于大数的因子分解,但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。即RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何。
下表列出了对同一安全级别所对应的密钥长度。
保密级别 |
对称密钥长度(bit) |
RSA密钥长度(bit) |
ECC密钥长度(bit) |
保密年限 |
80 |
80 |
1024 |
160 |
2010 |
112 |
112 |
2048 |
224 |
2030 |
128 |
128 |
3072 |
256 |
2040 |
192 |
192 |
7680 |
384 |
2080 |
256 |
256 |
15360 |
512 |
2120 |
缺点2:从上边可以看出,同样安全级别的加密算法,RSA需要更长的密钥。这就使运算速度较慢,较对称密码算法慢几个数量级。且随着大数分解技术的发展,这个长度还在增加,不利于数据格式的标准化。
缺点3:RSA产生密钥很麻烦,受到素数产生技术的限制,因而难以做到一次一密。
因此,使用RSA只能加密少量数据,大量的数据加密还要靠对称密码算法。实际应用中一般用来加密对称算法的密钥,而密文多用对称加密算法加密传输。
七、RSA1024/2048
RSA算法密钥长度的选择是安全性和程序性能平衡的结果,密钥长度越长,安全性越好,加密解密所需时间越长。实际中常使用1024bit秘钥和2048bit秘钥,分别称为RSA1024和RSA2048。秘钥包含公钥和私钥,即公钥私钥长度一样,都是1024bit或2048bit。RSA几个特性如下:
1.密钥长度增长一倍,公钥操作所需时间增加约4倍,私钥操作所需时间增加约8倍,公私钥生成时间约增长16倍。
2. 一次能加密的密文长度与密钥长度成正比, len_in_byte(raw_data) = len_in_bit(key)/8 -11,如1024bit的密钥,一次能加密的内容长度为 1024/8 -11 = 117 byte。所以非对称加密一般都用于加密对称加密算法的密钥,而不是直接加密内容。
3. 加密后密文的长度为密钥的长度,如密钥长度为1024bit(128Byte),最后生成的密文固定为 1024bit(128Byte)。
关于RSA密钥长度、明文长度和密文长度请参考:RSA密钥长度、明文长度和密文长度。
参考文献:
[1]https://www.cnblogs.com/jiftle/p/7903762.html
[2]https://blog.csdn.net/liwei16611/article/details/83751851
[3]http://blog.sina.com.cn/s/blog_4fcd1ea301012o4q.html
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