计算机控制系统——数字控制器设计之模拟控制器的离散化（Chapter 5）

我们这章要设计计算机中的控制器D(z)，D(z)是Z域中的表达，是输出信号的Z变换与输入信号Z变换的比值 $D(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}$ ，这个比值等式映射到时域中就是 $a_{0}u(k)+a_{1}u(k-1)+...=b_{0}e(k)+...$ ，这就是我们要找的时域中的控制算法。

计算机控制系统典型图：

我们假设：A/D D/A转换器的精度足够高，采样没有延迟，上述框图可以简化为下面框图：

。。。略过一些前面的东西，不太明白，过段时间再来补充

模拟控制器的离散化方法

下面我们均认为模拟控制器已经被设计出来了，表示为G(s)。

1、直接Z变换方法或者叫做Impulse Invariance（脉冲响应不变法）

我们可以直接对模拟控制器G(s)进行Z变换得到G(z)。

有人问了，什么尼玛叫做对G(s)进行Z变化，难道Z变换不是针对离散信号的嘛？至少我们信号课上没讲过。。。

请看下图:

对G(s)进行Z变换的“物理意义”就是：G(s)有一个一一对应的时域信号g(t)，时域信号采样得到g*(t)，然后对这个离散信号进行Z变换得到G(z)。具体Z变换请看我的另一篇博文《计算机控制系统中的Z变换》。

那么为什么又叫做，impulse invariance法呢？先来看看impulse invariance法的定义：

我们对G(s)输入一个脉冲信号，输出是hs(t)，hs(t)是什么，就是g(t)，即G(s)的拉普拉斯反变换；我们对G(z)也输入一个脉冲信号，得到输出hz（t），我们希望hs（t）采样之后时刻与hz（t）相等，那这样的G（z）是什么呢？那就是：

$G(z)=Z\{h_{z}(t)\}=Z\{h_{s}(t)\}=Z\{G(s)\}$

这里求得的G（z）也就是脉冲响应传递函数（impulse transfer function）。

性质：

①若D（s）稳定，那么D（z）稳定；（原因是：这直接是Z变换）

②频率周期性混叠

（解决频率混叠办法：

）

③ $Z\{G_{1}(s)G_{2}(s)\}\neq Z\{G_{1}(s)\}Z\{G_{2}(s)\}$ 原因是G（z）不能直接用 $z=e^{sT}$ 替换G（s）得到

④只对可以滤掉高频信号或者本身是低频信号的的系统试用

考试例题：

2、step invariance（阶跃响应不变法）

上一种方法是同时输入脉冲响应，结果相同。这种方法是同时输入阶跃响应，我们要求输出的结果（采样处）相同，如下图：

推导如下：

故变换公式为：

$D(z)=(1-z^{-1})Z\{\frac{D(s)}{s}\}$

说明：相当于D(s)串联一个ZOH然后直接进行Z变换，符合解决方法1种频率混叠的解决方案1，故频率混叠可以被有效减少。

性质：

①D(s)是稳定的，那么D(z)稳定

② $Z\{G_{1}(s)G_{2}(s)\}\neq Z\{G_{1}(s)\}Z\{G_{2}(s)\}$ 原因是： $\frac{(1-e^{-Ts})G(s)}{s}$ 不能直接由 $z=e^{sT}$ 得到

③it is applicable for the system which has rich high-frequency information

总结有用的z变换公式：

$Z\{\frac{1}{(s+a)^{2}+b^{2}}\}=\frac{sin(bT)e^{-aT}z^{-1}/b}{1-e^{-aT}cos(bT)z^{-1}+e^{-2aT}z^{-2}},(a>0)$

$Z\{\frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}\}=\frac{1-cos(bT)e^{-aT}z^{-1}}{1-e^{-aT}cos(bT)z^{-1}+e^{-2aT}z^{-2}},(a>0)$

3、差分变换法

设想模拟控制器为一个积分器，于是有 $\frac{du(t)}{dt}=e(t)$ ，在离散控制器种，用 $u(kT)-u((k-1)T)$ 来表示微分du(t)，e(t)dt即这一瞬间的面积可以用两种方法代替，e(kT)T或者e((k-1)T)T，分别对应后向差分和前向差分，即

后向差分（backward）

$u(kT)-u((k-1)T)=e(kT)T\Rightarrow (1-z^{-1})U(z)=E(z)T\Rightarrow \frac{U(z)}{E(z)}=\frac{1}{s}=\frac{zT}{z-1}\Rightarrow s=\frac{z-1}{zT}=\frac{1-z^{-1}}{T}$

前向差分（forward）

$u(kT)-u((k-1)T)=e((k-1)T)T\Rightarrow (1-z^{-1})U(z)=z^{-1}E(z)T\Rightarrow \frac{U(z)}{E(z)}=\frac{1}{s}=\frac{T}{z-1}\Rightarrow s=\frac{z-1}{T}=\frac{1-z^{-1}}{z^{-1}T}$

这个对应关系式是直接可以替换的，即用相应的式子替换掉G(s)中的s，即可得到G(z)！

1>前向差分：

$z=sT+1$

(4)没有频率重叠，但有频率失真！

stability is the foundation of everything, not stable, not useful!基本不用前向差分！！！

2>后向差分

$z=\frac{1}{1-sT}$

（4）没有频率重叠，变换式一一对应；但是失真严重

考试例题：由于直接代换，相对于前两道题，比较直接

4、双线性变换Tustin

差分法是用矩形面积代替积分面积，双线性是用梯形面积代替积分面积。